高廣鑫， 樊治平， 尤天慧， 郭婭舒

(1.南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇 南京 211106； 2. 東北大學(xué) 工商管理學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110167)

0 引言

組合拍賣(mài)是指投標(biāo)者可以對(duì)多個(gè)拍賣(mài)物品的任何一個(gè)組合進(jìn)行投標(biāo)，也可以同時(shí)對(duì)幾個(gè)組合進(jìn)行投標(biāo)的拍賣(mài)形式[1]。組合拍賣(mài)主要應(yīng)用于存在互補(bǔ)性或替代性關(guān)系的物品的交易[2,3]，例如無(wú)線(xiàn)電頻譜拍賣(mài)[4,5]、網(wǎng)上集中采購(gòu)拍賣(mài)[6]、機(jī)場(chǎng)跑道空位拍賣(mài)[7]、航班地面等待時(shí)隙分配[8]和網(wǎng)頁(yè)廣告位拍賣(mài)[9]等。與其他拍賣(mài)機(jī)制相比，組合拍賣(mài)可以使得投標(biāo)者靈活地表達(dá)其對(duì)拍賣(mài)物品間互補(bǔ)性或替代性的偏好，降低投標(biāo)者風(fēng)險(xiǎn)，增加賣(mài)方收益，從而提高拍賣(mài)效率[2]。許多實(shí)驗(yàn)研究表明[10～15]，一級(jí)價(jià)格密封式拍賣(mài)過(guò)程中投標(biāo)者往往會(huì)表現(xiàn)出預(yù)期后悔心理行為，并且投標(biāo)者的預(yù)期后悔心理行為將會(huì)對(duì)其投標(biāo)策略產(chǎn)生影響。但是，以往研究成果大多是針對(duì)單物品拍賣(mài)研究考慮投標(biāo)者后悔心理行為的投標(biāo)均衡策略[10～11,15,16]，而針對(duì)多物品組合拍賣(mài)情形的研究較少關(guān)注。因此，在已有研究的基礎(chǔ)上，有必要針對(duì)考慮投標(biāo)者后悔心理行為的組合拍賣(mài)的投標(biāo)均衡策略進(jìn)行深入研究，這有助于投標(biāo)者針對(duì)組合拍賣(mài)進(jìn)行科學(xué)投標(biāo)決策。

目前，針對(duì)考慮投標(biāo)者后悔心理行為的組合拍賣(mài)的投標(biāo)均衡策略的研究尚不多見(jiàn)，但可以看到一些相關(guān)的研究成果[10～18]。例如：Engelbrecht-Wiggans[10]針對(duì)一級(jí)價(jià)格密封式單物品拍賣(mài)中投標(biāo)者的最優(yōu)投標(biāo)策略問(wèn)題進(jìn)行了研究，他指出使得投標(biāo)者期望效用最大化的投標(biāo)策略不僅依賴(lài)于其期望的貨幣收入，也依賴(lài)于多種形式的后悔情感，同時(shí)對(duì)拍賣(mài)中的超投標(biāo)現(xiàn)象做出了解釋?zhuān)籈ngelbrecht-Wiggans和Katok[11]針對(duì)一級(jí)價(jià)格密封式單物品拍賣(mài)的最優(yōu)投標(biāo)策略確定問(wèn)題的研究，在獨(dú)立私人估價(jià)模型的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了考慮投標(biāo)者后悔行為的期望效用函數(shù)，并通過(guò)分析確定了最優(yōu)投標(biāo)策略，從而解釋了觀測(cè)到的超投標(biāo)現(xiàn)象；Fishman和Durham[12]針對(duì)拍賣(mài)中投標(biāo)者后悔情感對(duì)投標(biāo)策略的影響，通過(guò)利用與后悔情感相關(guān)的反饋信息作為變化的實(shí)驗(yàn)條件，測(cè)試了投標(biāo)者后悔情感對(duì)投標(biāo)策略的影響，并對(duì)均衡投標(biāo)結(jié)果進(jìn)行了預(yù)測(cè)分析；Filiz和Ozbay[13]針對(duì)單物品拍賣(mài)中失敗者后悔情感對(duì)于投標(biāo)策略的影響進(jìn)行了研究，研究結(jié)果表明：投標(biāo)者預(yù)期的失敗者后悔是產(chǎn)生超投標(biāo)現(xiàn)象的主要原因，而在競(jìng)標(biāo)獲勝的情形下，投標(biāo)者一般不會(huì)預(yù)期后悔，并且不會(huì)出現(xiàn)明顯的低投標(biāo)現(xiàn)象；Du等[14]針對(duì)拍賣(mài)中投標(biāo)者預(yù)期后悔對(duì)投標(biāo)策略的影響，通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法研究了投標(biāo)過(guò)程中預(yù)期后悔與實(shí)際經(jīng)歷的后悔之間的誤差，并得到預(yù)期后悔大于實(shí)際經(jīng)歷的后悔的結(jié)論；Engelbrecht-Wiggans和Katok[15]針對(duì)一級(jí)價(jià)格密封式拍賣(mài)中與后悔情感相關(guān)的反饋信息對(duì)投標(biāo)行為的影響進(jìn)行了研究，他們指出在拍賣(mài)中可能存在兩種投標(biāo)者后悔情感，即獲勝者后悔和失敗者后悔，通常情況下，投標(biāo)者對(duì)于獲勝者后悔敏感時(shí)會(huì)降低平均投標(biāo)價(jià)，而當(dāng)投標(biāo)者對(duì)于失敗者后悔更敏感時(shí)便會(huì)提高平均投標(biāo)價(jià)，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這個(gè)結(jié)論；在已有研究基礎(chǔ)上，他們還通過(guò)改變后悔反饋信息將投標(biāo)者后悔行為和損失規(guī)避行為區(qū)別開(kāi)來(lái)，進(jìn)行了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究和理論分析[17]，分別測(cè)試了兩種行為對(duì)于投標(biāo)策略的影響，并指出相對(duì)于損失規(guī)避來(lái)說(shuō)投標(biāo)者后悔對(duì)于投標(biāo)行為的影響更大；Astor等[18]針對(duì)一級(jí)價(jià)格密封式拍賣(mài)中投標(biāo)者的獲勝者后悔和失敗者后悔情感，通過(guò)心理學(xué)實(shí)驗(yàn)操縱投標(biāo)者情感進(jìn)程，驗(yàn)證了文獻(xiàn)[15]中不同類(lèi)型的后悔參數(shù)的準(zhǔn)確性。

綜上，已有研究對(duì)考慮投標(biāo)者后悔心理行為的單物品拍賣(mài)的投標(biāo)策略研究做出了重要貢獻(xiàn)，需要指出的是，在現(xiàn)實(shí)中，組合拍賣(mài)作為單物品拍賣(mài)的一種擴(kuò)充得到了廣泛應(yīng)用[2]，但已有研究沒(méi)有針對(duì)考慮投標(biāo)者后悔心理行為組合拍賣(mài)的投標(biāo)策略進(jìn)行深入研究。因此，在已有研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究考慮投標(biāo)者后悔心理行為的組合拍賣(mài)的投標(biāo)均衡策略問(wèn)題是有必要的。鑒于此，本文則是針對(duì)考慮投標(biāo)者后悔心理行為的組合拍賣(mài)的投標(biāo)均衡策略問(wèn)題，在全局投標(biāo)者存在預(yù)期后悔心理行為的假設(shè)下，在文獻(xiàn)[10]和[15]采用線(xiàn)性后悔函數(shù)來(lái)刻畫(huà)投標(biāo)者后悔心理行為的基礎(chǔ)上，構(gòu)建組合拍賣(mài)模型，并分析全局投標(biāo)者投標(biāo)均衡策略需要滿(mǎn)足的充分和必要條件。進(jìn)一步地，依據(jù)構(gòu)建的模型，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)，分析局部投標(biāo)者人數(shù)、組合效應(yīng)系數(shù)和全局投標(biāo)者后悔參數(shù)對(duì)全局投標(biāo)者投標(biāo)均衡策略的影響。最后，通過(guò)一個(gè)關(guān)于無(wú)線(xiàn)電頻譜組合拍賣(mài)的算例說(shuō)明本文給出的模型及投標(biāo)均衡策略分析方法的潛在應(yīng)用。

1 問(wèn)題描述與符號(hào)說(shuō)明

考慮拍賣(mài)者要采用組合拍賣(mài)的方式同時(shí)出售兩個(gè)異質(zhì)互補(bǔ)性物品(A和B)，假定在拍賣(mài)中存在兩類(lèi)投標(biāo)者同時(shí)參與競(jìng)標(biāo)，其中第一類(lèi)投標(biāo)者(以下稱(chēng)作局部投標(biāo)者)只對(duì)兩個(gè)拍賣(mài)物品中的某一個(gè)感興趣，他們中會(huì)有一部分投標(biāo)者僅對(duì)物品A進(jìn)行投標(biāo)，而另一部分投標(biāo)者僅對(duì)物品B進(jìn)行投標(biāo)，且局部投標(biāo)者之間是相互對(duì)稱(chēng)的，也就是說(shuō)，他們對(duì)每個(gè)物品的估價(jià)在某一區(qū)間內(nèi)均服從同一概率分布；而第二類(lèi)投標(biāo)者(以下稱(chēng)作全局投標(biāo)者)對(duì)提供的兩個(gè)物品都感興趣，他們會(huì)針對(duì)物品A和B的組合進(jìn)行投標(biāo)，且若其同時(shí)贏得兩個(gè)物品，那么其所獲得的效用大于分別贏得兩個(gè)物品中任意一個(gè)的效用之和，也就是說(shuō)全局投標(biāo)者同時(shí)贏得兩個(gè)物品時(shí)將獲得組合效應(yīng)α，α>0。在拍賣(mài)過(guò)程中，每個(gè)投標(biāo)者僅有一次投標(biāo)機(jī)會(huì)，且拍賣(mài)結(jié)束后，每個(gè)投標(biāo)者不僅會(huì)得知自身獲勝狀態(tài)而且還會(huì)知道拍賣(mài)的最終獲勝價(jià)。

基于上述描述，考慮全局投標(biāo)者在投標(biāo)前存在預(yù)期后悔心理行為[13,15]，具體描述如下：

若投標(biāo)者預(yù)期投標(biāo)失敗，且獲勝價(jià)不高于其支付意愿，則意味著該投標(biāo)者錯(cuò)過(guò)了一個(gè)能以合適的價(jià)格水平獲勝的機(jī)會(huì)，而實(shí)際上這個(gè)價(jià)格只要比獲勝價(jià)高最小單位數(shù)量即可，此時(shí)該投標(biāo)者會(huì)因?yàn)殄e(cuò)失一個(gè)良好的獲勝機(jī)會(huì)而產(chǎn)生后悔預(yù)期，進(jìn)而在實(shí)際拍賣(mài)中，會(huì)適當(dāng)?shù)靥岣咦约旱耐稑?biāo)價(jià)格水平來(lái)贏得拍賣(mài)物品。

顯然，影響全局投標(biāo)者事前期望效用的因素體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一個(gè)是投標(biāo)者預(yù)期投標(biāo)獲勝的期望收益；另一個(gè)是投標(biāo)者預(yù)期投標(biāo)失敗的后悔感知效用。本文要解決的問(wèn)題是在考慮影響投標(biāo)者事前期望效用的因素的情況下，針對(duì)全局投標(biāo)者，如何構(gòu)建考慮投標(biāo)者后悔心理行為的組合拍賣(mài)模型，并分析其投標(biāo)均衡策略。

為了便于下文分析，本文涉及的相關(guān)符號(hào)及變量的含義描述如下：

2 拍賣(mài)模型構(gòu)建及投標(biāo)均衡策略分析

為了解決上述提及的問(wèn)題，下面分別給出投標(biāo)者后悔心理行為刻畫(huà)、拍賣(mài)模型構(gòu)建以及投標(biāo)均衡策略分析的描述。

2.1 投標(biāo)者后悔心理行為刻畫(huà)

在競(jìng)拍投標(biāo)前，投標(biāo)者不僅會(huì)考慮當(dāng)其投標(biāo)成功時(shí)的預(yù)期收益，通常還會(huì)考慮當(dāng)其預(yù)期投標(biāo)失敗時(shí)的后悔效用，即當(dāng)投標(biāo)者預(yù)期拍賣(mài)最終獲勝價(jià)不高于自身估價(jià)時(shí)，其會(huì)產(chǎn)生后悔感知。也就是說(shuō)，投標(biāo)者在投標(biāo)前會(huì)對(duì)可能產(chǎn)生的后悔有所預(yù)期，且總是期望其后悔程度盡可能的小，并試圖選擇使自身期望收益最大同時(shí)后悔感知程度最小的投標(biāo)策略。依據(jù)文獻(xiàn)[10]和[15]，投標(biāo)者的后悔函數(shù)可被表示為

R(Δv)=βΔv,Δv=v-z

(1)

其中Δv表示投標(biāo)者對(duì)拍賣(mài)物品的估價(jià)v與贏得該物品的獲勝價(jià)z之間的差值，且Δv≥0;β表示投標(biāo)者針對(duì)未贏得該物品的后悔感知程度，0≤β≤1，且β越大，表示投標(biāo)者預(yù)期的后悔感知程度越大。

進(jìn)一步地，依據(jù)式(1)，可計(jì)算得到投標(biāo)者的后悔期望值即后悔感知效用E(R)，即

(2)

其中b表示投標(biāo)者對(duì)拍賣(mài)物品的投標(biāo)價(jià)，且b∈[0,v]；1-L(b)表示投標(biāo)者投標(biāo)失敗的概率。

2.2 拍賣(mài)模型構(gòu)建

為了構(gòu)建考慮投標(biāo)者后悔心理行為的組合拍賣(mài)模型，根據(jù)文獻(xiàn)[4]和[15]分別針對(duì)組合拍賣(mài)問(wèn)題和考慮投標(biāo)者后悔心理行為的拍賣(mài)問(wèn)題的闡述，這里給出如下前提假設(shè)：

假設(shè)1拍賣(mài)者要通過(guò)同時(shí)拍賣(mài)的方式出售兩個(gè)異質(zhì)互補(bǔ)性物品(A和B)，拍賣(mài)規(guī)則是第一價(jià)格密封式拍賣(mài)；

假設(shè)2在拍賣(mài)中，對(duì)一種物品(A或B)感興趣的局部投標(biāo)者人數(shù)相同且均為定值n，即nA=nB=n，且只存在1個(gè)全局投標(biāo)者r，這些信息對(duì)于每個(gè)投標(biāo)者來(lái)說(shuō)都是公共知識(shí)；

假設(shè)3在拍賣(mài)過(guò)程中，全局投標(biāo)者r存在預(yù)期后悔心理行為，且投標(biāo)者r的預(yù)期后悔心理行為對(duì)其事前期望效用的影響與后悔值的大小成反比，即在投標(biāo)者期望收益一定時(shí)，后悔值越大，則投標(biāo)者的事前期望效用越小，反之亦然。

這里需要指出的是，在一般組合拍賣(mài)甚至是具有某種特殊結(jié)構(gòu)的組合拍賣(mài)中，投標(biāo)策略均很難求得[19]，因此，假設(shè)1和2是本文模型考慮的一個(gè)簡(jiǎn)單情況；實(shí)驗(yàn)研究表明[10～16]，投標(biāo)者在進(jìn)行投標(biāo)決策時(shí)存在后悔心理行為，并且該心理行為對(duì)投標(biāo)者的期望效用是有影響的，依據(jù)實(shí)際投標(biāo)情況可知，假設(shè)3意味著投標(biāo)者的期望效用與自身的后悔心理行為有關(guān)。

本文的組合拍賣(mài)模型是針對(duì)全局投標(biāo)者構(gòu)建的事前期望效用計(jì)算模型。全局投標(biāo)者在做出投標(biāo)決策時(shí)，不僅要考慮預(yù)期投標(biāo)成功時(shí)的期望收益，同時(shí)還要考慮預(yù)期投標(biāo)失敗時(shí)的后悔感知效用。

當(dāng)全局投標(biāo)者r預(yù)期投標(biāo)成功時(shí)，其期望收益函數(shù)可被表示為

=L(bA)L(bB)(vc-bc)+

[1-L(bA)]L(bB)(vB-bB)+

L(bA)[1-L(bB)](vA-bA)

=L(bA)L(bB)(vA+vB+α-bA-bB)+

[1-L(bA)]L(bB)(vB-bB)+

L(bA)[1-L(bB)](vA-bA)

(3)

當(dāng)全局投標(biāo)者r預(yù)期投標(biāo)失敗時(shí)，其后悔感知效用函數(shù)由三部分組成：

dL(zA|zA≥bA)[1-L(bA)]

(4)

dL(zB|zA≥bB)[1-L(bB)]

(5)

dL(zA|zA≥bA)[1-L(bA)]+

dL(zB|zB≥bB)[1-L(bB)]

(6)

依據(jù)式(4)～(6)，可得到全局投標(biāo)者r的后悔感知效用函數(shù)E(R)為

dL(zA|zA≥bA)[1-L(bA)]+

dL(zB|zB≥bB)[1-L(bB)]

(7)

由上述投標(biāo)者預(yù)期投標(biāo)成功和失敗的兩種情況分析，關(guān)于全局投標(biāo)者r的組合拍賣(mài)模型，即投標(biāo)者r的事前期望效用可由下式表示：

EUc=π-E(R)

=L(bA)L(bB)(vA+vB+α-bA-bB)+

[1-L(bA)]L(bB)(vB-bB)+

L(bA)[1-L(bB)](vA-bA)-

dL(zA|zA≥bA)[1-L(bA)]-

dL(zB|zB≥bB)[1-L(bB)]

(8)

2.3 投標(biāo)均衡策略分析

由于組合拍賣(mài)中投標(biāo)策略分析和求解的復(fù)雜性[19]，特別是將投標(biāo)者心理行為引入組合拍賣(mài)模型，使得投標(biāo)均衡策略求解變得更加復(fù)雜。因此，為了分析的需要，這里有必要對(duì)一些變量做如下的假設(shè)和轉(zhuǎn)換。

(2)假設(shè)局部投標(biāo)者對(duì)每一個(gè)拍賣(mài)物品的估價(jià)相互獨(dú)立且服從[0,1]范圍內(nèi)的均勻分布[4,15]，即F(vij)=vij；

(3)局部投標(biāo)者的投標(biāo)價(jià)與其估價(jià)之間存在增函數(shù)關(guān)系[20～23]，為了便于分析，這里假設(shè)兩者之間呈線(xiàn)性正比關(guān)系，即bij=ρvij，0≤ρ≤1，0≤vij≤1，i=1,2,…,n，j=A，B,顯然，bij∈[0,ρ]。

依據(jù)假設(shè)條件(2)和(3)，分布函數(shù)L(x)可以轉(zhuǎn)換為

L(x)=P(zj≤x)=P(ρvij≤x)n

=P(vij≤x/ρ)n=(x/ρ)n

(9)

顯然，密度函數(shù)l(x)為

l(x)=L′(x)=(n/ρ)(x/ρ)n-1

(10)

將式(9)和(10)代入式(8)，并化簡(jiǎn)可得

EUc=α(δbc/ρ)n[(1-δ)bc/ρ]n+

(vA-δbc)(δbc/ρ)n+

[vB-(1-δ)bc][(1-δ)bc/ρ]n-

(11)

針對(duì)式(11)求關(guān)于bc的一階導(dǎo)數(shù)，即

nδnvA+n(1-δ)nvB+nδnβA(vA+θα-δbc)+n(1-δ)nβB[vB+(1-θ)α-(1-δ)bc]}

(12)

nδnvA-n(1-δ)nvB-nδnβA(vA+θα)-n(1-δ)nβB[vB+(1-θ)α]}1/n,0

(13)

式(13)僅是投標(biāo)均衡策略bc*滿(mǎn)足的必要條件，下面給出其需要滿(mǎn)足的充分條件。

針對(duì)式(11)求關(guān)于bc的二階導(dǎo)數(shù)，即

(n-1)δn[(1+βA)vA+αβAθ]+(n-1)(1-δ)n[(1+βB)vB+αβB(1-θ)]}

(14)

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)針對(duì)存在若干個(gè)局部投標(biāo)者和一個(gè)全局投標(biāo)者的兩個(gè)異質(zhì)物品組合拍賣(mài)，在考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為的情形下，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析針對(duì)每個(gè)物品投標(biāo)的局部投標(biāo)者人數(shù)、拍賣(mài)物品的組合效應(yīng)及全局投標(biāo)者后悔參數(shù)對(duì)全局投標(biāo)者投標(biāo)均衡策略的影響。

3.1 局部投標(biāo)者人數(shù)對(duì)全局投標(biāo)者的投標(biāo)均衡策略的影響

由數(shù)值仿真結(jié)果可以觀察到：隨著對(duì)每個(gè)物品投標(biāo)的局部投標(biāo)者人數(shù)增加，全局投標(biāo)者的最優(yōu)組合投標(biāo)價(jià)bc*及針對(duì)物品A和B的最優(yōu)投標(biāo)價(jià)均增大，且當(dāng)n取值較小時(shí)(n≤10)，bc*的增幅較明顯，隨著n的繼續(xù)增加，bc*增幅放緩。這說(shuō)明，在組合拍賣(mài)中，潛在的局部投標(biāo)者人數(shù)越多，拍賣(mài)的競(jìng)爭(zhēng)越激烈，全局投標(biāo)者若想同時(shí)贏得物品A和B，就需要不斷提高投標(biāo)價(jià)來(lái)增大投標(biāo)獲勝的概率；同時(shí)，當(dāng)潛在的局部投標(biāo)者人數(shù)相對(duì)較多時(shí)，全局投標(biāo)者的最優(yōu)投標(biāo)價(jià)雖然還會(huì)增大，但其增幅將明顯減小，這是由于此時(shí)全局投標(biāo)者的投標(biāo)價(jià)水平已經(jīng)很高，雖然在此基礎(chǔ)上大幅提高投標(biāo)價(jià)將增大贏得拍賣(mài)物品的概率，但是有可能給全局投標(biāo)者帶來(lái)負(fù)的期望效用，因此，全局投標(biāo)者會(huì)減小bc*的增幅，這與拍賣(mài)實(shí)際情況相符。

表1 針對(duì)每個(gè)物品投標(biāo)的局部投標(biāo)者人數(shù)n對(duì)全局投標(biāo)者的投標(biāo)均衡策略的影響

3.2 組合效應(yīng)系數(shù)對(duì)全局投標(biāo)者的投標(biāo)均衡策略的影響

當(dāng)n=2，10和30時(shí)，分別代表局部投標(biāo)者人數(shù)少、適中、多三種情況，在4.1節(jié)參數(shù)α設(shè)置的前提下，將組合效應(yīng)系數(shù)視為變量，令依次取0.1，0.15，0.2，0.25，0.3，0.35，0.4和0.45，利用MATLAB7.8.0(R2009a)軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，可以得到全局投標(biāo)者的投標(biāo)均衡策略隨α的變化規(guī)律，如表2～4所示。

由數(shù)值仿真結(jié)果可以觀察到：隨著組合效應(yīng)系數(shù)值增加，全局投標(biāo)者的最優(yōu)組合投標(biāo)價(jià)bc*及針對(duì)物品A和B的最優(yōu)投標(biāo)價(jià)均增大，即拍賣(mài)物品的組合給全局投標(biāo)者帶來(lái)的組合效應(yīng)越大，全局投標(biāo)者的投標(biāo)價(jià)就越高，且隨著局部投標(biāo)者人數(shù)增多，全局投標(biāo)者在各個(gè)組合效應(yīng)水平的最優(yōu)投標(biāo)價(jià)都將增大。這說(shuō)明，在組合拍賣(mài)中，若全局投標(biāo)者認(rèn)為獲得的組合效應(yīng)越大，那么同時(shí)贏得所有拍賣(mài)物品對(duì)其越有利，相應(yīng)地，最優(yōu)投標(biāo)價(jià)就越高；同時(shí)，當(dāng)參與拍賣(mài)的局部投標(biāo)者人數(shù)增多時(shí)，拍賣(mài)競(jìng)爭(zhēng)加劇，全局投標(biāo)者需要支付更高的投標(biāo)價(jià)來(lái)贏得拍賣(mài)物品的組合。

表2 組合效應(yīng)系數(shù)α對(duì)全局投標(biāo)者的投標(biāo)均衡策略的影響(n=2)

表3 組合效應(yīng)系數(shù)α對(duì)全局投標(biāo)者的投標(biāo)均衡策略的影響(n=10)

表4 組合效應(yīng)系數(shù)α對(duì)全局投標(biāo)者的投標(biāo)均衡策略的影響(n=30)

3.3 全局投標(biāo)者后悔參數(shù)對(duì)其投標(biāo)均衡策略的影響

當(dāng)n=2，10和30時(shí)，分別代表局部投標(biāo)者人數(shù)少、適中和多三種情況，在3.1節(jié)參數(shù)設(shè)置的前提下，將全局投標(biāo)者針對(duì)每個(gè)拍賣(mài)物品的后悔參數(shù)(βA,βB)視為變量，令(βA,βB)依次取(0.1,0.15)，(0.15,0.2)，(0.2,0.25)，(0.25,0.3)，(0.3,0.35)，(0.35,0.4)，(0.4,0.45)，(0.45,0.5)，(0.5,0.55)，(0.55,0.6)和(0.6,0.65)，利用MATLAB 7.8.0(R2009a)軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，可以得到全局投標(biāo)者的投標(biāo)均衡策略隨(βA,βB)的變化規(guī)律，如表5～7所示。由數(shù)值仿真結(jié)果可以觀察到：

1)在任一局部投標(biāo)者人數(shù)狀態(tài)下(n)，全局投標(biāo)者最優(yōu)組合投標(biāo)價(jià)bc*及針對(duì)物品A和B的最優(yōu)投標(biāo)價(jià)均與全局投標(biāo)者的后悔參數(shù)值(后悔感知程度)呈正相關(guān)關(guān)系。這是由于全局投標(biāo)者的后悔感知程度越高，其錯(cuò)失一個(gè)以合適的價(jià)格贏得組合拍賣(mài)的機(jī)會(huì)的概率就越大，因此，全局投標(biāo)者需要不斷提高自身投標(biāo)價(jià)來(lái)削弱其預(yù)期后悔感知，同時(shí)增大拍賣(mài)獲勝概率。

2)針對(duì)同一后悔參數(shù)組合(βA,βB)，全局投標(biāo)者最優(yōu)投標(biāo)價(jià)bc*與局部投標(biāo)者人數(shù)n呈正相關(guān)關(guān)系。這是因?yàn)?，在一定的預(yù)期后悔感知情況下，若全局投標(biāo)者得到的局部投標(biāo)者人數(shù)信號(hào)越強(qiáng)，即局部投標(biāo)者人數(shù)越多，則競(jìng)拍的激烈程度就越強(qiáng)，伴隨著拍賣(mài)競(jìng)爭(zhēng)加劇，全局投標(biāo)者需要支付更高的投標(biāo)價(jià)來(lái)贏得拍賣(mài)物品組合。

表5 全局投標(biāo)者后悔參數(shù)(βA,βB)對(duì)其投標(biāo)均衡策略的影響(n=2)

表6 全局投標(biāo)者后悔參數(shù)(βA,βB)對(duì)其投標(biāo)均衡策略的影響(n=10)

表7 全局投標(biāo)者后悔參數(shù)(βA,βB)對(duì)其投標(biāo)均衡策略的影響(n=30)

4 算例分析

為了進(jìn)一步說(shuō)明上文給出的組合拍賣(mài)模型及全局投標(biāo)者投標(biāo)均衡策略分析方法的潛在應(yīng)用，這里給出無(wú)線(xiàn)電頻譜組合拍賣(mài)的全局投標(biāo)者投標(biāo)均衡策略確定的一個(gè)算例分析；基于算例的參數(shù)取值，進(jìn)一步給出本文所提方法與相關(guān)投標(biāo)策略確定方法的比較分析。

4.1 無(wú)線(xiàn)電頻譜組合拍賣(mài)的投標(biāo)均衡策略

無(wú)線(xiàn)電頻譜作為一種稀缺不可再生的資源，在各國(guó)政治、軍事和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域均占有重要的戰(zhàn)略地位。如何合理高效地分配和管理頻譜資源是一項(xiàng)艱巨而緊迫的工作[5]。針對(duì)無(wú)線(xiàn)電頻譜這種特殊的公共資源，一些學(xué)者指出采用拍賣(mài)的模式來(lái)分配會(huì)更有效[28,29]。這里，考慮中國(guó)S地區(qū)的無(wú)線(xiàn)電管理部門(mén)欲采用一級(jí)價(jià)格組合拍賣(mài)的方式，將本地區(qū)內(nèi)兩個(gè)相鄰區(qū)域的3.5GHz頻段上兩段帶寬無(wú)線(xiàn)接入頻譜1×150MHz(頻譜A)和1×200MHz(頻譜B)分配給市場(chǎng)上的電信運(yùn)營(yíng)商。經(jīng)過(guò)初步資格審查后，共有9個(gè)合格的運(yùn)營(yíng)商允許參加拍賣(mài)，其中只對(duì)單一頻譜A或B感興趣的局部投標(biāo)者個(gè)數(shù)均為4，即n=4，而對(duì)兩個(gè)頻譜均感興趣的全局投標(biāo)者個(gè)數(shù)為1(記該全局投標(biāo)者為r)。這種情形可以理解為，無(wú)線(xiàn)電管理部門(mén)同時(shí)同地開(kāi)設(shè)兩個(gè)拍賣(mài)各拍賣(mài)一個(gè)頻譜，有8個(gè)運(yùn)營(yíng)商(局部投標(biāo)者)分別參加自己感興趣的某個(gè)拍賣(mài)，運(yùn)營(yíng)商r(全局投標(biāo)者)則會(huì)同時(shí)參加兩個(gè)拍賣(mài)。假設(shè)局部投標(biāo)者對(duì)頻譜A或B的估價(jià)服從[0,1]上的均勻分布，且局部投標(biāo)者的投標(biāo)價(jià)范圍為[0,ρ]=[0,0.8](單位：百萬(wàn)元)；全局投標(biāo)者r對(duì)于頻譜A和B的估價(jià)分別為60萬(wàn)元和70萬(wàn)元，即vA=0.6，vB=0.7，且其認(rèn)為兩個(gè)頻譜A和B的組合能帶來(lái)互補(bǔ)性效用α=0.2，頻譜A對(duì)組合效應(yīng)的貢獻(xiàn)度θ=0.5，全局投標(biāo)者r的后悔參數(shù)為βA=0.4，βB=0.45。根據(jù)本文給出的全局投標(biāo)者投標(biāo)均衡策略分析過(guò)程，來(lái)確定其在該組合拍賣(mài)中的投標(biāo)均衡策略。

特別地，當(dāng)后悔參數(shù)βA=βB=0時(shí)，即不考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為的情形，組合拍賣(mài)模型退化為

EUc=π=L(bA)L(bB)(vA+vB+α-bA-bB)+[1-L(bA)]L(bB)(vB-vB)+L(bA)[1-L(bB)](vA-bA)

=α(δbc/ρ)n[(1-δ)bc/ρ]n+(cA-δbc)(δbc/ρ)n+[vB-(1-δ)bc][(1-δ)bc/ρ]n

通過(guò)與考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為的情形對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)，在不考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為的情形下，全局投標(biāo)者的期望效用僅由其預(yù)期投標(biāo)獲勝的期望收益決定，由此求得的最優(yōu)投標(biāo)價(jià)相對(duì)較低。而在實(shí)際拍賣(mài)中，全局投標(biāo)者通常會(huì)存在針對(duì)投標(biāo)失敗的預(yù)期后悔感知，為了使得自身后悔程度盡可能小同時(shí)獲勝收益盡可能大，其往往會(huì)提高自身投標(biāo)價(jià)水平，這也進(jìn)一步解釋了實(shí)際拍賣(mài)中常出現(xiàn)的超投標(biāo)的現(xiàn)象。

4.2 投標(biāo)均衡策略確定方法比較分析

基于4.1節(jié)參數(shù)的具體取值，即n=4，ρ=0.8，α=0.2，vA=0.6，vB=0.7，βA=0.4，βB=0.45，且假設(shè)局部投標(biāo)者的投標(biāo)者價(jià)值服從[0,1]范圍內(nèi)的均勻分布，針對(duì)由本文得到的投標(biāo)均衡策略(包括考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為與不考慮后悔心理行為兩種情形)與未考慮投標(biāo)者心理行為的組合拍賣(mài)投標(biāo)均衡策略[4]和考慮投標(biāo)者后悔心理行為的單物品拍賣(mài)投標(biāo)均衡策略進(jìn)行比較分析[15,16]，比較結(jié)果如表8所示。由表8可以看出，由Krishna和Rosenthal[4]確定的未考慮投標(biāo)者心理行為的組合拍賣(mài)投標(biāo)策略與本文得到的不考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為情形下的投標(biāo)策略大致相等，即1.1058≈1.1162，同時(shí)，其小于本文在考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為情形下得到的投標(biāo)策略，即1.1058<1.2449，這主要是由于Krishna和Rosenthal沒(méi)有考慮全局投標(biāo)者在拍賣(mài)過(guò)程中的預(yù)期后悔心理行為(可視為預(yù)期后悔感知程度為0的特殊情形)，而3.3節(jié)數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果表明，全局投標(biāo)者的預(yù)期后悔感知程度與其投標(biāo)策略呈正相關(guān)關(guān)系，因此，在一定條件下(βA=βB=0)，由Krishna和Rosenthal確定的投標(biāo)策略?xún)H是本文得到結(jié)果的一個(gè)特例，其無(wú)法解釋組合拍賣(mài)中的超投標(biāo)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象；Engelbrecht-Wiggans和Katok[15]、高廣鑫和樊治平[16]確定的均是在考慮投標(biāo)者后悔心理行為情形下的單物品拍賣(mài)投標(biāo)策略，為了便于比較分析，我們計(jì)算了文獻(xiàn)[15]和[16]分別針對(duì)物品和的最優(yōu)投標(biāo)價(jià)，在此基礎(chǔ)上，將計(jì)算得到的兩個(gè)單物品投標(biāo)價(jià)合成組合投標(biāo)價(jià)，由表8可知，由文獻(xiàn)[15]和[16]確定的投標(biāo)策略大致相等，即1.1062≈1.107，但二者均明顯小于本文在考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為情形下得到的投標(biāo)均衡策略，即1.1062≈1.107<1.2449，甚至其小于本文在不考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為情形下得到的投標(biāo)均衡策略，即1.1062≈1.107<1.1162，這主要是由于文獻(xiàn)[15]和[16]是針對(duì)單物品拍賣(mài)確定的投標(biāo)策略，其沒(méi)有考慮組合拍賣(mài)中多物品之間的組合給全局投標(biāo)者帶來(lái)的組合效應(yīng)，而3.2節(jié)數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果表明，拍賣(mài)物品給全局投標(biāo)者帶來(lái)的組合效應(yīng)與其投標(biāo)策略呈正相關(guān)關(guān)系，因此，由文獻(xiàn)[15]和[16]確定的投標(biāo)策略不能適用于多物品組合拍賣(mài)的環(huán)境。綜上，由本文確定的考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為的投標(biāo)均衡策略，不僅能夠反映全局投標(biāo)者在組合拍賣(mài)過(guò)程中表現(xiàn)的后悔規(guī)避心理行為，而且符合多物品組合拍賣(mài)的實(shí)際情況和特點(diǎn)。

表8 本文所提方法的結(jié)果與相關(guān)方法所得結(jié)果的比較

5 結(jié)論

本文研究了考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為的組合拍賣(mài)的全局投標(biāo)者投標(biāo)均衡策略確定問(wèn)題，在采用Engelbrecht-Wiggans和Katok提出的后悔函數(shù)刻畫(huà)投標(biāo)者后悔心理行為的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了組合拍賣(mài)模型，通過(guò)分析得出了全局投標(biāo)者投標(biāo)均衡策略需要滿(mǎn)足的充分和必要條件，同時(shí)依據(jù)構(gòu)建的模型對(duì)影響全局投標(biāo)者投標(biāo)均衡策略的三個(gè)重要參數(shù)(局部投標(biāo)者人數(shù)、組合效應(yīng)系數(shù)和全局投標(biāo)者后悔參數(shù))進(jìn)行了數(shù)值仿真，進(jìn)一步地，通過(guò)一個(gè)關(guān)于無(wú)線(xiàn)電頻譜組合拍賣(mài)的算例說(shuō)明了本文構(gòu)建的模型及投標(biāo)均衡策略分析方法的潛在應(yīng)用。與已有相關(guān)研究不同的是，本文著重考慮了組合拍賣(mài)中全局投標(biāo)者存在后悔心理行為的情形，并分析了這類(lèi)投標(biāo)者的投標(biāo)均衡策略。通過(guò)本文的研究，得到以下主要結(jié)論：

1)在組合拍賣(mài)中，全局投標(biāo)者的后悔心理行為對(duì)于其投標(biāo)均衡策略具有重要的影響，與不考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為的情形相比較，存在預(yù)期后悔感知的全局投標(biāo)者會(huì)提高其投標(biāo)價(jià)，這一結(jié)論有利于解釋實(shí)際組合拍賣(mài)中的超投標(biāo)現(xiàn)象；

2)在考慮全局投標(biāo)者后悔心理行為的組合拍賣(mài)中，其最優(yōu)投標(biāo)價(jià)通常隨局部投標(biāo)者人數(shù)、組合效應(yīng)系數(shù)和全局投標(biāo)者后悔參數(shù)的增加而增加。

本文構(gòu)建的組合拍賣(mài)模型和全局投標(biāo)者投標(biāo)均衡策略分析方法，為解決現(xiàn)實(shí)中考慮全局投標(biāo)者心理行為的組合拍賣(mài)投標(biāo)策略確定問(wèn)題，提供了一種新的途徑。與其他相關(guān)的投標(biāo)均衡策略確定方法相比，運(yùn)用本文方法確定的投標(biāo)均衡策略，較好地反映了全局投標(biāo)者的預(yù)期后悔心理行為，符合多物品組合拍賣(mài)投標(biāo)的現(xiàn)實(shí)情況。