王亞杰 趙亞哥白* 任小龍 黃新宇 王 璇 韓靜怡

(東北林業(yè)大學(xué)，黑龍江哈爾濱 150040)

過(guò)去的許多試驗(yàn)表明，金屬橡膠材料是一種具有良好的變形自恢復(fù)能力的非線性干摩擦阻尼材料。它具有含有良好三次非線性成分［1］的無(wú)記憶恢復(fù)力，除此還具有優(yōu)秀的變形自恢復(fù)能力即記憶恢復(fù)力，金屬橡膠耗能器的恢復(fù)能力具有非線性遲滯效應(yīng)，其阻尼成分既有粘性阻尼又有干摩擦阻尼。國(guó)內(nèi)外現(xiàn)在有宏觀力學(xué)模型與微觀力學(xué)模型兩種建立金屬橡膠本構(gòu)關(guān)系比較著名的方法，在建立本構(gòu)關(guān)系時(shí)需考慮金屬橡膠材料諸多復(fù)雜性質(zhì)。

1 建立宏觀力學(xué)模型

通常采用理論法和實(shí)驗(yàn)法［2］兩種方法來(lái)建立宏觀數(shù)學(xué)本構(gòu)模型，理論法常常被看做“白箱”問(wèn)題，通過(guò)運(yùn)用現(xiàn)有的定理規(guī)律，來(lái)推導(dǎo)判斷系統(tǒng)中狀態(tài)參數(shù)與作用的關(guān)系。而實(shí)驗(yàn)法是直接從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)出發(fā)，通過(guò)歸納總結(jié)來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，這種情況又被稱為“黑箱”問(wèn)題。但是在實(shí)際中遇到的問(wèn)題往往是介于兩者之間的問(wèn)題，必須將定理分析與實(shí)驗(yàn)歸納融合起來(lái)來(lái)尋找解決方法，遇到這種情況可以根據(jù)部分已知特性并通過(guò)特殊處理后來(lái)推導(dǎo)未知參數(shù)從而確定完整的狀態(tài)方程，這種問(wèn)題常常被稱之為“灰箱”問(wèn)題。目前常采用最小二乘法來(lái)確定未知參數(shù)，相比于極大似然法，輔助變量法等其他方法，最小二乘法具有概念簡(jiǎn)單，使用情況更加廣泛等很多優(yōu)點(diǎn)，用其求得的估計(jì)值具有最優(yōu)統(tǒng)計(jì)特性，可以實(shí)現(xiàn)使得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在平方誤差意義上達(dá)到最小誤差的效果。其實(shí)現(xiàn)過(guò)程為:假定一組變量含有m個(gè)元素x=(x1，x2…，xm)與某個(gè)變量z成某種確定的線性關(guān)系，如下:

方程中:θ=(θ1，θ2，…，θm)為一組參數(shù)并且是常數(shù)，式中 θi是未知的，該未知參數(shù)的取值可以通過(guò)在不同時(shí)刻觀測(cè)變量z和x的關(guān)系來(lái)估計(jì)。假設(shè)已經(jīng)在t1，t2，…，tn時(shí)刻對(duì)二者作了n次觀測(cè)，其觀測(cè)數(shù)據(jù)用 z(i)和 x1(i)，x2(i)，…，xm(i)，(i=1，2，…，n)兩組參數(shù)來(lái)代表，如此便可以得到以下方程:

上述方程又可定義為回歸函數(shù)，θm則為回歸系數(shù)。其又可寫成矩陣形式如下所示:

式中:

為了估計(jì)參數(shù)θ，前提是m≥n。如果m與n值相等，那么θ值則有唯一解，即是:

再設(shè) J=(Z －Xθ)T(Z － Xθ)=ZTZ － θTXTZ － ZTXθ+θTXTXθ。

從而解得θ～=(XTX)－1XTZθ即為在最小二乘法基礎(chǔ)上的估計(jì)值。

白鴻柏、黃協(xié)清［1］通過(guò)運(yùn)用宏觀力學(xué)分析方法，并使用最小二乘法對(duì)各參數(shù)進(jìn)行識(shí)別取值來(lái)確定金屬橡膠隔振器中的力—位移之三次非線性遲滯泛函本構(gòu)關(guān)系，又得到三階非線性多項(xiàng)式的彈性力和等效粘性阻尼力疊加組成了金屬橡膠的恢復(fù)力的結(jié)論。姜洪源［3］曾提出建立金屬橡膠構(gòu)件的變形模型可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)的理論方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。

2 細(xì)觀力學(xué)模型的研究

由于承受徑向和軸向荷載的微螺旋彈簧沖壓使得金屬橡膠材料的細(xì)觀結(jié)構(gòu)特征成型，則金屬橡膠的剛度由微螺旋彈簧的剛度決定。在分析中可忽略彈簧絲軸力和剪力的影響，只考慮彎矩影響。陳艷秋曾提出用小曲梁的串并連來(lái)描述材料總體剛度，可將雜亂金屬絲看成多層微小彈簧，每一個(gè)彈簧都有一定剛度，它們共同組成金屬橡膠總的剛度。彭威，白鴻柏［5］也曾通過(guò)引用新的材料參數(shù)鋪層比例系數(shù)來(lái)建立微彈簧組合變形的細(xì)觀本構(gòu)模型。

3 建立硬化折線本構(gòu)模型

為建立金屬橡膠本構(gòu)模型，可以運(yùn)用實(shí)驗(yàn)法，該方法的簡(jiǎn)化分析模型不僅便于計(jì)算，簡(jiǎn)化了MR耗能減振結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析方法，而且能夠表征材料的應(yīng)變硬化特征，與試驗(yàn)曲線符合。根據(jù)實(shí)驗(yàn)法原理，在室溫下對(duì)相對(duì)密度為0.27，加載頻率為1 Hz，并處于最大應(yīng)變幅值為20%的應(yīng)力—應(yīng)變曲線部分的金屬橡膠材料進(jìn)行擬合，其相應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖1所示。

構(gòu)建模型可以利用MATLAB計(jì)算軟件來(lái)實(shí)現(xiàn):第一步將MR應(yīng)力—應(yīng)變曲線分成兩部分，分別為加載段和卸載段;然后對(duì)前者采用局部依次擬合的方法，來(lái)得到圖中的OA與AB曲線段，從而得到簡(jiǎn)化模型的強(qiáng)化應(yīng)力、初始彈性模量等重要參數(shù)，最后確定BC段和CO段依據(jù)原則為能量相等，使簡(jiǎn)化模型與實(shí)際曲線包圍相等的面積(見(jiàn)圖2)。

圖1 OMR-D“τ — γ”遲滯回線

圖2 應(yīng)變硬化折線本構(gòu)模型擬合

下面將以此為例來(lái)編制計(jì)算程序，其詳細(xì)步驟如下所述:

1)把名義應(yīng)力、名義應(yīng)變根據(jù)相應(yīng)轉(zhuǎn)換關(guān)系轉(zhuǎn)換為真實(shí)應(yīng)力與應(yīng)變，將數(shù)據(jù)拷入txt文件中，以便MATLAB讀取。

2)將原點(diǎn)和應(yīng)力最大值作為擬合折線的兩個(gè)點(diǎn)，近似讀取中間加載點(diǎn)的坐標(biāo)，寫入系統(tǒng)，bx，by為選定剛度變化拐點(diǎn)坐標(biāo)，cx，cy為最大橫縱坐標(biāo)。

3)輸出面積差矩陣。

豎方向223個(gè)點(diǎn)表示應(yīng)變點(diǎn)，i=1∶223，表示曲線最大橫坐標(biāo)值乘以10，縱坐標(biāo)j=1∶20，表示有20個(gè)點(diǎn)。

4)計(jì)算步驟，假設(shè)已經(jīng)確定了(15，04)為加載段拐點(diǎn)的坐標(biāo)，并確定了(22，3)為曲線最大的點(diǎn)的坐標(biāo)，這時(shí)卸載段的橫坐標(biāo)應(yīng)該處于這兩個(gè)坐標(biāo)之間，若此時(shí)取x=19為卸載拐點(diǎn)橫坐標(biāo)，那么190那一行就是在矩陣?yán)锩鎸?duì)應(yīng)的，找到這行最小面積差的那個(gè)點(diǎn)0.233 7，j=8，將其代入 for j=1∶20，y=(j/2 －1) × ( －1) ×0.1 進(jìn)行處理計(jì)算，便可以得到y(tǒng)，此時(shí)，便確定了卸載點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

注意事項(xiàng):

1)根據(jù)面積最小原理計(jì)算，若有兩個(gè)符合要求的卸載點(diǎn)，則需選擇橫坐標(biāo)位置符合真實(shí)規(guī)律的點(diǎn)。

2)卸載點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)最好取中間的點(diǎn)(見(jiàn)圖3)。

圖3 本構(gòu)擬合面積相等卸載點(diǎn)

最后根據(jù)上述數(shù)值可以調(diào)整ABAQUS關(guān)于金屬橡膠的子程序參數(shù)，從而進(jìn)一步建立本構(gòu)模型。

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)討論細(xì)觀力學(xué)模型并引入宏觀力學(xué)模型，采用最小二乘法為參數(shù)估計(jì)的方法，研究變量y與若干元素的線性關(guān)系得到回歸函數(shù)，定義誤差矢量來(lái)求得回歸系數(shù)的最小二乘的大致值。來(lái)建立金屬橡膠構(gòu)件的變形模型，在室溫下相對(duì)密度為0.27，加載頻率為1 Hz，并處于最大應(yīng)變幅值為20%的應(yīng)力—應(yīng)變曲線部分的金屬橡膠材料進(jìn)行擬合，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果按照包絡(luò)面積相等原則，通過(guò)MATLAB計(jì)算軟件來(lái)處理，從而得到應(yīng)變硬化折線本構(gòu)模型。下一步要研究如何建立金屬橡膠阻尼器的剪力墻—連續(xù)梁結(jié)構(gòu)分析模型，調(diào)整ABAQUS的子程序參數(shù)，使金屬橡膠本構(gòu)模型更加具體化，提高其可靠性。