馮 玲，雷麗梅,2

(1.福州大學經(jīng)濟與管理學院, 福建 福州 350002；2.福建商學院，福建 福州 350012)

1 引言

利率從政府管制過渡到由市場的供求決定，如何有效規(guī)避因利率大幅波動所帶來的風險，越來越為市場所重視。而為了順應市場的需求，我國于2013年9月宣布重啟國債期貨，宣告了中國國債市場重新進入雙邊市場時代，近幾年，我國的國債期貨市場日益繁榮，種類亦愈豐富，5年期和10年期的國債期貨合約相繼問世，而2年期的國債期貨合約也在2018年8月17日正式掛牌上市。自此，這3種期限的國債期貨合約中規(guī)定的可交割國債的范圍囊括了短、中、長期國債，構(gòu)建與1至10年的時間跨度的國債收益率曲線相匹配的一系列債券衍產(chǎn)品，將有助于金融機構(gòu)進一步提高利率風險管理能力。但是，一方面以國債為標的的各種金融產(chǎn)品定價的準確性顯著依賴于一個精確的遠期利率模型。另一方面，由于國債期貨是內(nèi)嵌了期權(quán)的期貨產(chǎn)品，如何準確求解其理論價格更為復雜。

在遠期利率建模方面，雷麗梅和馮玲[1]的研究表明，通過用一個二維量子場取代傳統(tǒng)金融上的布朗運動，可有效納入遠期利率在到期時間和日歷時間兩個維度上的相關性，而在其基礎上構(gòu)建的考慮心理感知剩余時間變量后的最優(yōu)場理論模型，提供了對實際遠期利率的92.67%的定價精度，顯著優(yōu)于傳統(tǒng)金融上只能考慮日歷時間方向上的相關性的主流兩因子HJM模型的69.02%的擬合優(yōu)度。因而，在本文的國債期貨定價過程中，將繼續(xù)運用量子場理論來對國債遠期利率進行建模。

而在國債期貨定價方面，質(zhì)量期權(quán)是國債期貨內(nèi)嵌期權(quán)最重要的一個組成部分，已成為了大部分學者的共識。國外如Ritchken和Sankarasubramanian[2]基于遠期利率隨機過程、Carr和Chen[3]基于Vasicek模型、Rendleman和Richard[4]基于BDT模型、Nunes和Oliverira[5]基于多因子HJM模型分別提出了相應的國債期貨定價模型，并對質(zhì)量期權(quán)價值進行分析。在同時考慮擇時期權(quán)和質(zhì)量期權(quán)價值方面，Chen等[6]以及Ramzi和Hatem[7]等對此做出了較為經(jīng)典的論述。而國內(nèi)，周子康等[8]研究表明，最便宜可交割券的選擇與國債期貨定價密切相關；周榮喜和王曉光[9]基于多因子仿射期限結(jié)構(gòu)模型對國債期貨標的——國債的定價進行研究；陳蓉和葛駿[10]則對國債期貨定價的經(jīng)典模型做了相對完整的綜述。隨后徐靜[11]和王蘇生等[12]基于持有成本模型為國債期貨進行了定價，他們均忽略了國債期貨交易交割規(guī)則內(nèi)嵌的質(zhì)量期權(quán)和擇時期權(quán)的影響，之后，有學者開始考慮對國債期貨內(nèi)嵌期權(quán)進行定價后，再對國債期貨合約進行定價。如陳蓉和葛俊[13]基于兩樹拼接改進的BDT模型，利用“直接定價法”和“兩步定價法”對我國國債期貨及質(zhì)量期權(quán)進行定價。

通過分析國債期貨定價的相關文獻可知，在國債期貨定價方面，考慮內(nèi)嵌期權(quán)的大多數(shù)學者對國債期貨的定價通常是利用不同的模型分別對國債的遠期價格和質(zhì)量期權(quán)進行定價，然后將不考慮期權(quán)時的國債期貨理論結(jié)算價減去質(zhì)量期權(quán)價值作為國債期貨的結(jié)算價。這種定價方式一方面可能存在由定價模型不統(tǒng)一帶來的模型誤差問題，另一方面可能忽視了不含權(quán)國債期貨價格、內(nèi)嵌期權(quán)價值與考慮內(nèi)嵌期權(quán)價值的國債期貨價格三者之間的相互影響的關聯(lián)性。而雷麗梅和馮玲所構(gòu)建的國債遠期利率的量子場理論模型以及Hatem等[14]利用動態(tài)規(guī)劃方法為可贖回債券中內(nèi)嵌的贖回期權(quán)定價的思路，給了我們將晶格場理論下的遠期利率模型與動態(tài)規(guī)劃方法相結(jié)合來直接對國債期貨及其內(nèi)嵌期權(quán)進行定價的啟發(fā)，本研究正是在雷麗梅和馮玲的研究基礎上，利用動態(tài)規(guī)劃方法將國債期貨的所有交易交割規(guī)則納入一個模型進行建模，實現(xiàn)了在統(tǒng)一的模型框架下對國債期貨及其內(nèi)嵌的擇時期權(quán)和質(zhì)量期權(quán)進行定價。

2 遠期利率的晶格場理論模型

2.1 遠期利率的量子場理論模型

在構(gòu)建遠期利率的晶格場理論模型之前，首先需要對雷麗梅和馮玲所構(gòu)建的國債遠期利率的量子場理論模型作簡單回顧。通過用一個既依賴于日歷時間t，也依賴于到期時間T的二維量子場A(t,T)取代傳統(tǒng)主流兩因子HJM模型中只依賴于日歷時間的白噪聲W(t)，將國債瞬時遠期利率的演化方程以二維量子場A(t,T)形式表示為：

(1)

其中，f(t0,T)是t0時刻觀測到的瞬時遠期利率，即初始遠期利率曲線，α(t,T)和σ(t,T)分別對應現(xiàn)實世界的遠期利率的漂移率和波動率。

而刻畫瞬時遠期利率演化的拉格朗日算符是由參數(shù)μ和λ來定義的[15]：

(2)

其對應的作用量(action)指數(shù)S[A]為：

(3)

其中，μ是刻畫場A(t,T)的“rigidity”參數(shù)，λ刻畫的是遠期利率曲線的“stiffness”，則稱該理論為剛性作用量下的量子場理論。

而量子場A(t,T)在點(t,T)和(t′,T′)間的相關性定義為：

〈A(t,T)A(t′,T′)〉=E[A(t,T)A(t′,T′)]

(4)

其中D(T,T′;t)稱為傳播子(propagator)算符，是場A(t,T)在點(t, T)的波動對A(t′,T′)在另一個點(t′,T′)的波動的影響的度量。δ(t-t′)為狄拉克δ函數(shù)，當t≠t′時，δ(t-t′)=0。

在剛性作用量下的遠期利率場理論模型中，傳播子(propagator)算符具有如下表達式：

(5)

其中

g+(θ+)=e-λθ+cosh(b)sinh[b+λθ+sinh(b)];

g-(θ-)=e-λ|θ-|cosh(b)sinh[b+λ|θ-|sinh(b)];

2.2 遠期利率的晶格場理論模型

遠期利率的量子場理論是定義在連續(xù)的t—T平面上的梯形域上。為了得到一個數(shù)值算法，t—T平面被離散化在包含有限個點的晶格上，日歷時間t方向被離散化為間隔為εt的晶格上，而未來時間T方向被離散化為間隔為εT的晶格上。

則由式(2)和(3)可知，連續(xù)日歷時間t和未來時間T下的剛性作用量(stiff action)為：

S=

(6)

在實證中定義的時間晶格，取t0=0。與日歷時間一樣，未來時間均是以向后標記的，未來時間的起點放在回報函數(shù)。也就是說，離散化連續(xù)的日歷時間和未來時間的標記(t,T)，以使晶格剩余時間定義為t*-t，而未來剩余時間定義為TFR-T，其中TFR是標的工具的到期時間。

給定由T≥t定義的遠期利率梯形域，并由圖1所示。離散的Tn范圍取決于離散時間τm，日歷時間和未來時間晶格分別間隔ε和a。在到期日t*，未來時間取N=(T-t*)/a個晶格點，即對應定義的回報函數(shù)的N個遠期利率。

因此，對t∈[0,t*]，離散化的日歷時間和未來時間為：

t→τm=(M-m+1)/ε;m=1,2,…,M+1

?0≤τm≤Mε;τ1=t*=Mε;τM+1=0

n=1,2,…,N+m

(7)

圖1 晶格場論遠期利率的梯形域

為了定義晶格場理論，需要對場f(t,T)和所有參數(shù)進行調(diào)整，以獲得只有無量綱的量出現(xiàn)在晶格場理論下作用量(action)中。定義下列的無量綱的晶格量。

=af((M-m+1)ε,Mε+(N-n+1)a);

由無量綱的量子場變量fm,n可得到下列的離散化：

因此，由式(6)可得到下列完全以無量綱的場變量和參數(shù)的形式表示的晶格作用量：

SL

(8)

對式(8)進行分部積分可得：

SL

(9)

(10)

其中fm=(fm1,fm2,…,fm,N+m)，注意到遠期利率向量fm的成分的個數(shù)取決于時間晶格m且有N+m-1個組成部分；原因在于遠期利率是定義在T≥t上，它位于晶格上，意味著遠期利率依賴于τm。

3 基于晶格場理論和動態(tài)規(guī)劃的國債期貨定價模型構(gòu)建

3.1 我國國債期貨交易交割規(guī)則研究

我國當前國債期貨合約，從進入最后交割月后至最后交易日，一般可擁有 8到14天的交割選擇期限。按《中金所國債期貨交割細則》規(guī)定，國債期貨進入交割選擇期后，由期貨空方主動提出交割申請，然后交易所依據(jù)“申報意向優(yōu)先，持倉日最久優(yōu)先，相同持倉日按比例分配”的原則確定買方交割對手，保證所有空方的交割申請都完成交割。

3.2 基本假設

本節(jié)所構(gòu)建的期貨定價模型包含以下四個基本假設條件：一是不存在交易費用；二是市場一直處于出清狀態(tài)；三是投資者保證金充足、不存在被強制平倉的情形；四是可交割券在現(xiàn)券市場上流動性充足，投資者在市場上易于獲得。除此之外，為方便起見，假設所有的期望都是在遠期測度下進行求解。

3.3 構(gòu)建國債期貨定價模型

使用動態(tài)規(guī)劃方法來為所有交易交割規(guī)則建模的關鍵在于，在交割期內(nèi)的任一天，需要分別求出用瞬時遠期利率f和期貨價格F表示的空方擁有的國債期貨合約的價值V的表達式。而我們想獲得的國債期貨的理論價格應該是使期貨合約對于空方的價值V等于0時的價格，即所謂的最優(yōu)結(jié)算價。

(11)

其中，(c,M)∈Θ表示所有可交割債券的集合Θ中的一個到期時間為M、票面利率為c的可交割券；B(n,c,M,f)表示當f(n,T)=f時，n時刻，到期日為M，在Ti時刻收到的票面利率為c的面值為P的附息債券的現(xiàn)值，其中i=1,…,N，表示從t時刻到M時刻期間的第i次付息；而CFcM表示可交割債券(c,M)對應的轉(zhuǎn)換因子。

在交割月份內(nèi)，除了最后交割日，期貨空頭方既可以選擇交割，也可選擇繼續(xù)持有期貨直到下一天來獲取收益，我們稱該收益為持有價值，用Vh來表示。而正是因為期貨合約空方在整個交割月內(nèi)，在擁有交割價值的同時，還擁有持有價值，因而國債期貨合約對空方的實際價值應是Ve和Vh兩者的最大值，即當Ve小于Vh時，期貨空方會選擇繼續(xù)持有至第二天，否則選擇當天交割。用V表示期貨價值，則V與Vh和Ve的關系如式(12)所示：

Vn(F,f)

(12)

而最優(yōu)結(jié)算價是使得期貨合約價值為0時的期貨價格，用g來表示。則對任意瞬時遠期利率f，第n天的國債期貨最優(yōu)結(jié)算價gn(x)滿足(13)式：

Vn(gn(f),f)=0

(13)

綜上，可推導出用瞬時遠期利率f和期貨價格F表示的Vh的公式。Vh表示選擇不進行交割、繼續(xù)持有期貨合約而得到的所有未來收益的期望值，即包含持有到第2天的逐日盯市收益和第2天期貨合約具有的期望值。在市場出清的假設條件下，我們假定第2天的期貨合約的期望價格是最優(yōu)結(jié)算價，最終可推得：

(14)

(15)

因而可推出，在進入交割月份之前，任意相鄰2天的國債期貨合約的最優(yōu)結(jié)算價會滿足下面的遞歸方程：

(16)

式(11)至(15)即定義了一個在交割月份內(nèi)尋求最優(yōu)執(zhí)行策略(何時選擇何種債券進行交割)的動態(tài)規(guī)劃方法。

4 我國國債期貨定價的實證分析

4.1 數(shù)據(jù)選取和處理

由于本節(jié)將利用所構(gòu)建的基于晶格場理論和動態(tài)規(guī)劃的國債期貨定價模型對5年期國債期貨合約TFl703、TFl706、TFl709、TFl712以及10年期國債期貨合約Tl703、Tl706、Tl709和Tl712 八只期貨合約來進行實證檢驗，根據(jù)前面構(gòu)建的國債期貨定價模型，計算了八只期貨合約自上市之日起的每個交易日的擇時期權(quán)和質(zhì)量期權(quán)的理論價值以及國債期貨的理論結(jié)算價，且在所有可交割券中，債券代碼為170025.IB的國債到期日時間最遠，于2027年11月2日到期。因而，需要計算2016年6月14日至2017年12月8日期間的每天的最長到期時間為11.5年的國債瞬時遠期利率的期限結(jié)構(gòu)。為此，本章節(jié)使用的原始數(shù)據(jù)除通過Choice金融終端獲得的2012年6月1日到2016年5月31日的0.1年期、0.2年期、0.3年期……11.4年期以及11.5年期等115個期限的國債瞬時遠期利率的日數(shù)據(jù)外，還包括八只期貨合約每天的期貨市場結(jié)算價，以及從Wind查詢得到的每個期貨合約規(guī)定的一攬子可交割債券的發(fā)行期限、票面利率、起息日期、到期日期、年付息次數(shù)、收盤價(凈價、全價)以及轉(zhuǎn)換因子等信息。

4.2 基于晶格場理論確定期貨合約上市期間的利率期限結(jié)構(gòu)

由第4.1節(jié)可知，我們需要對TFl703等8只期貨合約上市期間的遠期利率期限結(jié)構(gòu)進行估計，其對應時間跨度為2016年6月14日至2017年12月8日。由數(shù)據(jù)的可得性，選取了2012年6月1日至2016年5月31日期間的最小時間間隔為0.1年的0.1年期、0.2年期……11.4年期以及11.5年期等115個期限的國債瞬時遠期利率的日數(shù)據(jù)作為估計窗口，來對第2.2節(jié)構(gòu)建的遠期利率的晶格場理論模型進行參數(shù)估計。

由雷麗梅和馮玲的研究結(jié)果可知，考慮心理感知剩余時間變量z(θ)的量子場理論模型對國債瞬時遠期利率的擬合和預測效果均是最優(yōu)的。因而，本節(jié)亦使用該最優(yōu)模型來對遠期利率進行建模，通過1stOpt軟件，使用非線性函數(shù)參數(shù)估計的Levenberg-Marquardt法得到參數(shù)估計結(jié)果見表1。

表1 國債遠期利率的量子場模型參數(shù)的最優(yōu)擬合結(jié)果

圖2 市場相關性結(jié)構(gòu)

圖3 模型預測的相關性結(jié)構(gòu)

比較圖2和圖3可看出：兩個圖形所表示的相關性結(jié)構(gòu)幾乎是完全吻合的，即圖2表示的不完全的市場相關性結(jié)構(gòu)確實可以有效地通過引入心理感知剩余時間變量的量子場理論模型來進行準確刻畫。

4.2.1 初始的遠期利率期限結(jié)構(gòu)

由于選取的8只期貨合約樣本對應的時間跨度為2016年6月14日至2017年12月8日，假定當前時刻為2016年6月1日，即以2016年6月1日的0.1年期、0.2年期……11.4年期以及11.5年期的國債瞬時遠期利率作為初始的遠期利率期限結(jié)構(gòu)。由于所能獲得的遠期利率的最小時間間隔為0.1年，而我們需要的數(shù)據(jù)時間間隔為1/365年，因而，利用三次樣條插值法確定初始瞬時遠期利率期限結(jié)構(gòu)。

4.2.2 期貨合約上市期間的遠期利率期限結(jié)構(gòu)

為了對期貨合約樣本進行定價，根據(jù)第2.2節(jié)建立的遠期利率的晶格場理論模型，且在實證中，將日歷時間間隔和未來時間間隔設為相等，每一步的時間間隔設定為1天，即：

ε=a=1

(17)

由于八只期貨合約上市時間的對應時間跨度為2016年6月14日至2017年12月8日，共542天。因而，需要估計這542天的瞬時遠期利率期限結(jié)構(gòu)，其具體步驟如下：

首先，按照雷麗梅和馮玲的思路，將表1中的參數(shù)估計結(jié)果代入式(5)，并根據(jù)八只期貨合約上市的對應期限(542天)將傳播子矩陣進行Cholesky分解，得到了更新瞬時遠期利率期限結(jié)構(gòu)所需的下三角矩陣。

其次，將量子場離散化時，需要設定式(7)中的初始值。本節(jié)以2016年6月1日作為0時刻，即以2016年6月1日的瞬時遠期利率期限結(jié)構(gòu)作為，其對應的。則以TF1706期貨合約為例(在本節(jié)的余下內(nèi)容中，將全部以TF1706期貨合約為例，進行詳細說明，其他期貨合約的定價過程與之類似。)，其首上市日和最后交割日分別為2016年9月12日和2017年6月9日，分別與 2016年6月1日間隔103天和373天，即(7)式中的M=270，m=103,104,…,M+103。

而在TF1706上市期間，在所有可交割券中，發(fā)生首次付息時間最早的是債券代碼為140024.IB的國債，于2016年10月23日發(fā)生首次付息，而債券代碼為120015.IB的國債到期日時間最遠，于2022年8月23日到期，分別與2016年6月1日間隔144天和2274天，即(7)式中的。因而，要為TF1706期貨合約定價，需要求出如表2所示的矩陣式的瞬時遠期利率，其中表示2016年6月1日后第天的剩余到期時間為(即)天的瞬時遠期利率。而按照類似于雷麗梅和馮玲的思路，利用初始遠期利率期限結(jié)構(gòu)、表1的參數(shù)估計結(jié)果和遠期利率的晶格場理論模型，即可求出2016年9月12日至2017年6月9日期間的181個交易日的遠期利率期限結(jié)構(gòu)。

表2 TF1706上市期間對應的瞬時遠期利率期限結(jié)構(gòu)

4.3 一攬子可交割國債的期望價格求解

由前文的分析可知，TFl706期貨合約的上市期間為2016年9月12日至2017年6月9日，此外，通過晶格場理論模型得到該期間內(nèi)的瞬時遠期利率期限結(jié)構(gòu)。即可求出未來回報為1、到期日為T的零息債券在時刻的價格為：

(18)

則t時刻，到期日為M，在Ti時刻收到的票面利率為c的面值為P的附息債券的現(xiàn)值為：

(19)

其中i=1,…,N，表示從t時刻到M時刻期間的第i次付息。

結(jié)合TF1706上市每一天后的各可交割券的付息(還本)時間矩陣、現(xiàn)金流矩陣、瞬時遠期利率期限結(jié)構(gòu)矩陣，利用式(18)和式(19)即可求出上市期間TF1706的一攬子可交割國債的期望價格。此外，也可得出相應可交割券的應計利息和凈價。

4.4 基于晶格場理論和動態(tài)規(guī)劃的國債期貨定價

根據(jù)第2.2節(jié)建立的國債遠期利率的晶格場理論模型和第3.3節(jié)利用動態(tài)規(guī)劃方法建立的國債期貨模型，借助Matlab編程，即可計算出相應期貨合約從首日上市交易到最后交易日期間的最優(yōu)結(jié)算價格。此外，通過修改國債期貨的交易交割規(guī)則，可在同一個系統(tǒng)框架下直接對各期貨合約的質(zhì)量期權(quán)價值和擇時期權(quán)價值進行定價，如通過將一攬子可交割券的交割規(guī)則修改為只能選擇標準券交割，可求出不含質(zhì)量期權(quán)的國債期貨最優(yōu)結(jié)算價；通過將最后交割月份的交割時間選擇規(guī)則修改為只能在最后交割日交割，可求出不含擇時期權(quán)的國債期貨最優(yōu)結(jié)算價；然后將原規(guī)則計算出的最優(yōu)結(jié)算價分別減去以上的兩種價格即為質(zhì)量期權(quán)和擇時期權(quán)的價值。此外，為了驗證晶格場理論下國債期貨定價的準確性，除了將其定價結(jié)果與實際市場結(jié)算價進行比較外，亦對雷麗梅和馮玲中使用的傳統(tǒng)金融上應用最廣泛的兩因子HJM模型下的國債期貨定價結(jié)果進行了對比分析。

類似地，使用非線性函數(shù)參數(shù)估計的Levenberg-Marquardt法對2012年6月1日至2016年5月31日期間的最小時間間隔為0.1年的0.1年期、0.2年期……11.4年期以及11.5年期等115個期限的國債瞬時遠期利率的日數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計，得到的兩因子HJM模型的最優(yōu)擬合結(jié)果如表3所示。

表3 兩因子HJM模型下參數(shù)的最優(yōu)擬合結(jié)果

4.4.1 期貨合約的定價結(jié)果

利用晶格場理論模型和主流兩因子HJM模型計算出來的TFl703、TFl706、TFl709、TFl712、Tl703、Tl706、Tl709以及Tl712八只期貨合約的理論結(jié)算價和市場結(jié)算價分別如圖4至圖11所示，這部分的結(jié)果均由Excel和MATLAB得到。

圖4 TF1703的理論結(jié)算價和實際結(jié)算價

圖5 TF1706理論結(jié)算價和實際結(jié)算價

圖6 TF1709理論結(jié)算價和實際結(jié)算價

圖7 TF1712理論結(jié)算價和實際結(jié)算價

圖8 T1703理論結(jié)算價和實際結(jié)算價

圖9 T1706理論結(jié)算價和實際結(jié)算價

圖10 T1709理論結(jié)算價和實際結(jié)算價

圖11 T1712理論結(jié)算價和實際結(jié)算價

由圖4至圖7可知，我們所構(gòu)建的基于晶格場理論和動態(tài)規(guī)劃方法的國債期貨定價模型對我國市場上5年期國債期貨的定價效果顯著優(yōu)于傳統(tǒng)的主流兩因子HJM模型的定價結(jié)果，且與真實市場結(jié)算價的貼合性較強。特別地，在距離最后交割日的前兩、三個月，我們所構(gòu)建的國債期貨模型的定價誤差顯著降低，而在臨近交割月份時，定價誤差均降至0.05%以內(nèi)；造成這一現(xiàn)象的可能原因在于，一般而言，國債期貨是在其合約到期的前三個月才成為主力合約，在此之前，相應的期貨合約品種的成交量都較小，流動性不強，因而，市場價格偏離其價值的概率較大。

此外，我們還發(fā)現(xiàn)，對TF1703、TF1706、TF1709這三只國債期貨而言，其國債期貨價格整體是被低估的，而對TF1712期貨品種，其國債期貨價格在剛上市的兩個月內(nèi)，其價格也是被低估的，但在2017年5月至最后交割月份，其市場價格一直存在整體被高估的情形。

而由圖8至圖11亦可看出，我們所構(gòu)建的基于晶格場理論和動態(tài)規(guī)劃方法的國債期貨定價模型亦適用于對我國市場上10年期國債期貨進行定價，其定價效果亦顯著優(yōu)于傳統(tǒng)的主流兩因子HJM模型，與真實市場結(jié)算價的貼合性較強。與5年期國債期貨的定價結(jié)果類似，在距離最后交割日的前兩、三個月，我們所構(gòu)建的國債期貨模型的定價誤差顯著降低，特別地，對T1709和T1712這兩個期貨品種而言，其理論結(jié)算價與真實市場結(jié)算價的貼合性很強。此外，我們還發(fā)現(xiàn)，對10年期的4個期貨品種而言，其國債期貨價格整體上是被低估。

4.4.2 質(zhì)量期權(quán)和擇時期權(quán)的定價結(jié)果

由前文的分析可知，通過將一攬子可交割券的交割規(guī)則修改為只能選擇標準券進行交割，利用相同的定價思路，可求出不含質(zhì)量期權(quán)的國債期貨最優(yōu)結(jié)算價；通過將最后交割月份的交割時間選擇規(guī)則修改為只能在最后交割日交割，亦可求出不含擇時期權(quán)的國債期貨最優(yōu)結(jié)算價；最后將原規(guī)則計算出的最優(yōu)結(jié)算價分別減去上述兩種價格即可得到相應國債期貨的質(zhì)量期權(quán)和擇時期權(quán)的價值，其定價結(jié)果分別如圖12至圖19所示。

圖12 TF1703質(zhì)量期權(quán)和擇時期權(quán)價值

圖13 TF1706質(zhì)量期權(quán)和擇時期權(quán)價值

圖14 TF1709質(zhì)量期權(quán)和擇時期權(quán)價值

圖15 TF1712質(zhì)量期權(quán)和擇時期權(quán)價值

由圖12至圖15可知，對5年期國債期貨合約而言，其質(zhì)量期權(quán)的理論價值均是國債期貨面值的2%至5%之間，這點與Kane和Marcus[16]的研究結(jié)論是一致的；此外，質(zhì)量期權(quán)的價值在期貨合約上市初始時，一般較小，約是國債期貨面值的2%，而隨著最后交易日的臨近，尤其在進入交割月份后，質(zhì)量期權(quán)價值迅速增加。此外，我們還發(fā)現(xiàn)，質(zhì)量期權(quán)價值均顯著大于擇時期權(quán)價值，雖然對于大部分時間而言，擇時期權(quán)價值均在0附近，該結(jié)果與大部分研究相符。但是隨著交割月份臨近，擇時期權(quán)開始迅速上升，最大時約為期貨合約面值的0.5%，因而，以往國內(nèi)學者直接假定我國國債期貨合約的擇時期權(quán)價值為0是有偏的。

圖16 T1703質(zhì)量期權(quán)和擇時期權(quán)價值

圖17 T1706質(zhì)量期權(quán)和擇時期權(quán)價值

圖18 T1709質(zhì)量期權(quán)和擇時期權(quán)價值

圖19 T1712質(zhì)量期權(quán)和擇時期權(quán)價值

由圖16至圖19可知，對10年期國債期貨合約而言，其質(zhì)量期權(quán)的理論價值總體上略高于5年期國債期貨合約內(nèi)含的質(zhì)量期權(quán)價值，最大時，T1709達到國債期貨面值的6%；此外，與5年期國債期貨類似，質(zhì)量期權(quán)的價值在期貨合約上市初始時，一般較小，約是國債期貨面值的2.5%，而隨著最后交易日的臨近，尤其在進入交割月份后，質(zhì)量期權(quán)價值迅速增加。對擇時期權(quán)而言，其大部分時間均在0附近，亦隨著交割月份臨近，擇時期權(quán)開始迅速上升，最大時約為期貨合約面值的0.6%。

5 結(jié)語

本文在晶格場論下的國債瞬時遠期利率期限結(jié)構(gòu)模型的基礎上，結(jié)合動態(tài)規(guī)劃方法，將國債期貨的所有交易交割規(guī)則納入一個模型進行建模，實現(xiàn)了在統(tǒng)一的模型框架內(nèi)對國債期貨及其內(nèi)嵌的質(zhì)量期權(quán)和擇時期權(quán)進行定價，克服了傳統(tǒng)定價方式存在的由定價模型不統(tǒng)一帶來的模型誤差問題。而對TFl703、TFl706、TFl709、TFl712以及Tl703、Tl706、Tl709和Tl712八只期貨合約進行的實證分析，結(jié)果證實了基于晶格場理論和動態(tài)規(guī)劃的國債期貨定價模型定價效果的優(yōu)越性。其結(jié)論主要包括以下兩個方面：

一是所構(gòu)建的基于晶格場理論和動態(tài)規(guī)劃方法的國債期貨定價模型適用于對我國市場上的5年期和10年期國債期貨進行定價，且其定價效果均顯著優(yōu)于傳統(tǒng)的主流兩因子HJM模型，與真實市場結(jié)算價的貼合性均很強，其平均定價誤差均在3%以內(nèi)。而各國債期貨合約的質(zhì)量期權(quán)價值都在其期貨面值的2%至6%之間，所有合約的擇時期權(quán)價值均明顯小于質(zhì)量期權(quán)價值，其大部分時間都在 0 附近，但在臨近交割日之前，無論是質(zhì)量期權(quán)還是擇時期權(quán)都表現(xiàn)出迅速上升的趨勢；

二是在期貨合約開始(即距離合約最后交易日較遠)時，基于晶格場理論和動態(tài)規(guī)劃方法建立的國債期貨定價模型，所得到的理論最優(yōu)結(jié)算價與實際結(jié)算價之間的誤差時較大，但這種誤差隨最后交易日臨近而明顯縮小。從TFl703到Tl712的理論最優(yōu)結(jié)算價和市場結(jié)算價的走勢可發(fā)現(xiàn)，在國債期貨合約成為主力合約后，其市場價格隨交易量的放大而快速趨于均衡，即本研究所構(gòu)建的國債期貨定價模型較好地刻畫了這一市場特征。