劉昊懿 徐章韜

(華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院 430079)

平面幾何的研究對象仍然是解析幾何的研究對象.從教材分析中可以知道，直線、圓的方程是解析幾何教材花筆墨介紹了的，那么我們不禁要問：平行四邊形系列的圖形有相應的方程嗎？如果有，它們的方程應是什么樣的？從平行四邊形到正方形是強抽象的過程，是不斷豐富概念內涵的過程；從正方形到平行四邊形是弱抽象的過程，是不斷擴張概念外延的過程.在這個概念外延擴張的過程中，存在著“正方形—菱形—平行四邊形”“正方形—矩形—平行四邊形”兩條路線.因此在常見四邊形方程探索的過程中，可以從圖形上最簡單的正方形著手，利用直角坐標系，來研究正方形上點的坐標所滿足的方程；再將菱形或者矩形作為中轉站，通過坐標系的變換來回歸到已知四邊形的方程，最終得到平行四邊形的方程.

下面是在教材深度分析中，通過探究來理解教材的一個案例.這個案例的作用不只是為了填補教材中沒有平行四邊形系列圖形方程的空白，而是為了闡明一種一以貫之的思考路徑.

1 技術路線

1.1 正方形的方程

利用坐標系得到函數(shù)方程的過程中，根據(jù)圖形的幾何性質，有技巧地建立坐標系可以大大簡化思維與計算.而由于正方形圖形上的特殊性，在不同的直角坐標系中，都能夠通過坐標系的變換，做到“以不變應萬變”.

(1)設任意正方形的對角線長為2a時，以正方形的中心為原點，兩條對角線所在的直線為坐標軸建立直角坐標系，如圖1，則由直線的斜截式方程得到：在此種建系方法下，正方形上點的坐標所滿足的方程為：

圖1

以上分段式方程可合并為：

其中a為正方形對角線長的一半.

(2)設任意正方形的對角線長為2a時，以正方形的中心為原點，平行于正方形的兩邊建立直角坐標系.通過將直角坐標系進行：原點不變，坐標系逆時針旋轉45°的變換，得到新的直角坐標系，則將新的建系情形化歸到已探討過的建系情形，如圖2，則對原直角坐標系中(x,y)在新的直角坐標系中對應的(x′,y′)，由直角坐標系的坐標旋轉公式，有：

代入方程①得：在此種建系方法下，正方形上點的坐標所滿足的方程為：

其中a為正方形對角線長的一半.

(3)由于正方形圖形上的特殊性，無論以正方形的中心為原點，如何建立直角坐標系，都可以運用上述方法，將直角坐標系進行旋轉變換，此時運用的直角坐標系的坐標旋轉公式為：

其中θ為直角坐標系逆時針旋轉的角度，由于運動的相對性，不旋轉坐標系，旋轉圖形也是可以的.

1.2 從正方形到菱形的方程

正方形是有一個角為直角的菱形，因此通過拓展正方形的概念外延，可以得到菱形.將正方形看成菱形的特殊情形，菱形上點的坐標所滿足的方程也就可以考慮通過已知的正方形來探索.

考慮到菱形和正方形對角線都相互垂直的共同性質，為了盡可能地簡化思維和計算，在此用上面的第一種建系方法來建立直角坐標系.

設任意菱形的對角線邊長分別為2a，2b，以菱形的中心為原點，兩條對角線所在的直線為坐標軸建立直角坐標系，如圖3，則由直線的截距式方程得：在此種建系方法下，菱形上點的坐標所滿足的方程為：

圖3

其中a，b分別為菱形兩條對角線長的一半.

此外，將方程①與方程③進行類比與對比，也能夠從代數(shù)的角度看到：正方形與菱形對角線都相互垂直；但正方形兩條對角線長相等，菱形兩條對角線長不相等的幾何性質，讓學生從數(shù)的層面重新認知了形的知識.

1.3 從正方形到矩形的方程

類似地，正方形是兩條鄰邊相等的矩形，通過拓展正方形的概念外延，可以得到矩形.將正方形看成矩形的特殊情形，矩形上點的坐標所滿足的方程也就可以考慮通過坐標系的變換，來將未知的矩形回歸到已知的正方形來探索.

考慮到矩形和正方形四個角都是直角的共同性質，為了盡可能地簡化思維和計算，在此用上面的第二種建系方法來建立直角坐標系.

圖4

代入方程②得，在此種建系方法下，矩形上點的坐標所滿足的方程為：

化簡得|bx+ay|+|bx-ay|=2ab， ④

其中a，b分別為矩形兩鄰邊長的一半且a>b.

同樣地，將方程②與方程④進行類比與對比，能夠從代數(shù)的角度看到：正方形與矩形四個角都為直角；但正方形兩條鄰邊長相等，矩形兩條鄰邊長不相等的幾何性質，讓學生從數(shù)的層面重新認知了形的知識.

1.4 從正方形到平行四邊形的方程

菱形是兩條鄰邊相等的平行四邊形；矩形是一個角為直角的平行四邊形.因此，通過拓展菱形或矩形的概念外延，都可以得到平行四邊形.將菱形或矩形看成平行四邊形的特殊情形，平行四邊形上點的坐標所滿足的方程也就可以考慮通過坐標系的變換，來將未知的平行四邊形回歸到已知的菱形或矩形來探索.

(1)正方形—菱形—平行四邊形

考慮到菱形和平行四邊形對角線都相互平分的共同性質，為了盡可能地簡化思維和計算，在此用第一種建系方法來建立直角坐標系.

圖5

代入方程③得到，在直角坐標系中，平行四邊形上點的坐標所滿足的方程為：

此外，將方程③與方程⑤進行類比與對比，也能夠從代數(shù)的角度看到：菱形與平行四邊形對角線都相互平分；但菱形兩條對角線長相互垂直，平行四邊形兩條對角線長不相互垂直的幾何性質，讓學生從數(shù)的層面重新認知了形的知識.

(2)正方形—矩形—平行四邊形

考慮到矩形和平行四邊形對角線都相互平分的共同性質，為了盡可能地簡化思維和計算，在此用第二種建系方法來建立直角坐標系.

圖6

代入方程④得到，在直角坐標系中，平行四邊形上點的坐標所滿足的方程為：

|b(x-ycotθ)+aycscθ|+

|b(x-ycotθ)-aycscθ|=2ab， ⑥

同樣地，將方程④與方程⑥進行類比與對比，也能夠從代數(shù)的角度看到：矩形與平行四邊形鄰邊都相互平行；但矩形兩條鄰邊相互垂直，平行四邊形兩條鄰邊不相互垂直的幾何性質，讓學生從數(shù)的層面重新認知了形的知識.

2 分析與討論

在上述過程中能夠看到，采取的主體思路是：把握常見四邊形的幾何性質，巧妙地建立坐標系；根據(jù)“正方形—菱形—平行四邊形”“正方形—矩形—平行四邊形”兩條路線，利用坐標系的變化，將研究正方形的方程中兩個基本的建系方法延伸到其他常見四邊形方程的探索中.

在這個過程中，既體現(xiàn)的是從特殊到一般的思想方法與探索過程，又在變換的過程中，帶領學生從數(shù)與形的角度，深刻把握常見四邊形概念之間條件的轉化；并重新認識常見四邊形之間幾何性質的相同點與不同點，從不同層面為課本的主要內容做了補充；同時也建構了幾何與代數(shù)之間溝通的橋梁，增添了課程的趣味性與深度.

對教材進行深度分析是教師的基本功之一.有兩條基本路徑.其中一條是對已有的文本進行多角度的理解，或者是從高觀點解讀、或者是從多角度解讀、或者是從橫向關聯(lián)的角度進行解讀.其目的在于“理解數(shù)學”，把已有文本后面的數(shù)學的精神、思想、方法揭示出來，讓師范生獲得不一樣的體會.第二種路徑是就通過探究來理解教材.就是進攻是最好的防御一樣，做數(shù)學探究也是一種理解教材的好方式.數(shù)學教學應是數(shù)學研究的藝術性再現(xiàn).在大學課堂教學中更應如此.本課例是在大學課堂教學中，通過教“基本套路”——從特殊到一般，一以貫之地思考問題而產生的一個思考結果.通過研究，不斷填補了教材中從直線方程到圓的方程之間的平行四邊形方程的斷裂，更為重要的是培養(yǎng)了師范生，導引了他們的思考.