普粉麗 文萍

【摘要】平行四邊形的面積是小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何內(nèi)容中的一個非常重要內(nèi)容，通過對兩個版本教材的比較，給出教學(xué)時注重方格紙的使用，體現(xiàn)“等積變換”思想;注重“割補法”推導(dǎo)，滲透“轉(zhuǎn)化”思想，注重課后習(xí)題的使用，積累學(xué)生的“基本活動經(jīng)驗”，從HPM視角下穿插數(shù)學(xué)史，增強學(xué)生的情感體驗，從而高效獲取數(shù)學(xué)知識.

【關(guān)鍵詞】平行四邊形的面積;HPM視角;啟示

【基金項目】云南省教育廳科學(xué)研究基金項目（2019J0857）——HPM視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)對云南邊疆民族地區(qū)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響研究.

數(shù)學(xué)史如何融入中小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，是許多中小學(xué)數(shù)學(xué)教師關(guān)注的話題，它也是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育（HPM）領(lǐng)域的重要內(nèi)容，教師要深刻認識數(shù)學(xué)史的教育價值.平行四邊形的面積是小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何內(nèi)容中的一個非常重要內(nèi)容，平行四邊形面積的計算方法是從長方形的面積計算方法通過“轉(zhuǎn)化”思想推導(dǎo)得出;而這種“轉(zhuǎn)化”思想方法又為后續(xù)內(nèi)容三角形、梯形、圓等面積及立體圖形的體積計算方法打下基礎(chǔ).本文通過比較人教版和滬教版兩個版本的數(shù)學(xué)教科書，發(fā)現(xiàn)它們的教學(xué)內(nèi)容素材選取、內(nèi)容編排存在差別，因此，探究推導(dǎo)平行四邊形的面積公式，理清平行四邊形面積的算理，從HPM的視角下設(shè)計本節(jié)課，將有助于落實本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).

一、“人教版”和“滬教版”教材中“平行四邊形的面積”的內(nèi)容編排結(jié)構(gòu)

（一）人教版的內(nèi)容編排結(jié)構(gòu)

“平行四邊形的面積”是單元“多邊形的面積”教學(xué)時的第一課，是從主題圖中一個長方形花壇和一個平行四邊形花壇的面積大小引出了怎么樣計算平行四邊形的面積，突出平行四邊形與長方形的內(nèi)在聯(lián)系，從而達到從原有的知識中探索新知識的學(xué)習(xí).教材接著給出用數(shù)方格的方法求出平行四邊形和長方形的面積.在數(shù)方格環(huán)節(jié)，教材給出表格，讓學(xué)生數(shù)出圖形的面積并填寫，并且要求學(xué)生先單獨操作，再全班討論和交流.接著教師提出不數(shù)方格，能不能計算平行四邊形的面積呢？從而引出研究割補法推導(dǎo)平行四邊形的面積這一重要內(nèi)容，教材最后給出一道例題.

（二）滬教版的內(nèi)容編排結(jié)構(gòu)

“平行四邊形的面積”這節(jié)課是安排在剛剛學(xué)習(xí)了平行四邊形的概念、底、高及它的不穩(wěn)定性后來學(xué)習(xí)的.教材先給出一個平行四邊形的圖形，在圖形中標(biāo)出底和高這兩個數(shù)據(jù)，并在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生思考這個平行四邊形的面積是多少？接下來，教材給出了兩種方法：一種是通過數(shù)格子的方法，數(shù)出這個平行四邊形的面積;另一種是通過“剪與拼”的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生探究出將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形.隨后，教材呈現(xiàn)出觀察平行四邊形與長方形面積的變化情況，再推導(dǎo)出平行四邊形的面積計算公式.最后教材安排計算出該平行四邊形的面積.

二、導(dǎo)入方式的不同

通過閱讀不同版本的數(shù)學(xué)教材，發(fā)現(xiàn)在“平行四邊形的面積”導(dǎo)入方式通常有兩種.第一種是通過創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實生活情境來導(dǎo)入新知的;第二種是直接從平面圖形導(dǎo)入新知的.人教版的導(dǎo)入方式屬于第一種，創(chuàng)設(shè)學(xué)生的現(xiàn)實生活情境：學(xué)校門口的長方形花壇和平行四邊形花壇中，哪個面積大？這樣的現(xiàn)實生活情境來導(dǎo)入新課.滬教版采用的方式是第二種，開門見山，給出底為6厘米、高為4厘米的平行四邊形的圖形直接從圖形引入，并追問它的面積是多少.

三、推導(dǎo)“平行四邊形的面積”計算公式的異同

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》提出“探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積計算公式”.兩套教材均采用“利用方格紙和割補方法”兩種方法來推導(dǎo)平行四邊形的面積計算公式，但在方格紙的呈現(xiàn)方式上有所不同.

對數(shù)方格方法，人教版教材利用方格紙把平行四邊形、長方形兩種圖形呈現(xiàn)在方格紙上，并且在采用數(shù)方格方法計算面積時，強調(diào)一個方格代表1平方米，不滿一格的都按半格計算，通過數(shù)方格的方法把平行四邊形的底、高和面積及長方形的長、寬和面積填寫在表格中.教材的編寫意圖就是要讓學(xué)生在數(shù)的過程中找出長方形長、寬和平行四邊形底、高之間的聯(lián)系.滬教版教材把一個平行四邊形圖形放在方格紙上，教材中并沒有像人教版教材一樣指出一個方格代表1平方米，不滿一格的都按半格計算這句話.教材的編寫意圖是讓學(xué)生通過數(shù)方格的方法求平行四邊形的面積，但在數(shù)的過程中出現(xiàn)不完整的方格時，則需要兩個不完整的方格拼成一個完整的方格，這樣的編排無形中已滲透了“割補”的思想.

對割補法求面積，人教版教材通過學(xué)生動手剪一剪，拼一拼，通過剪、移、拼的過程把一個平行四邊形轉(zhuǎn)化為一個長方形，在這個過程中并沒使用方格紙.而滬教版教材中剪、移、拼這個過程是在方格紙上呈現(xiàn)的.

雖然方格紙在兩個版本的教材中，推導(dǎo)公式的編排方式不同，卻都滲透了“割補法”的思想.

兩個版本的教材在平行四邊形面積公式的探究過程中，都是利用割補法來呈現(xiàn)的，都把一個平行四邊形分割成直角三角形和直角梯形或者兩個直角梯形的兩種方法.兩套教材都呈現(xiàn)了把平行四邊形分割成直角三角形和直角梯形的推演過程，而分割成兩個直角梯形的推演過程并沒有給出.不管是把平行四邊形分割成直角三角形和直角梯形，還是兩個直角梯形，在推導(dǎo)過程中學(xué)生可以感受到平移、旋轉(zhuǎn)和轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想與方法，這都有利于發(fā)展學(xué)生的空間幾何直觀和積累學(xué)生的活動經(jīng)驗.

四、兩套教材的比較研究對平行四邊形的面積的教學(xué)啟示

（一）教學(xué)時注重方格紙的使用，體現(xiàn)“等積變換”思想

在古代，兩河流域測量土地面積時，就用單位面積的方法度量物體，現(xiàn)在我們通常借用邊長為1厘米的小正方形的方格紙來度量面積的大小.人教版教材在三年級時推導(dǎo)長方形、正方形面積計算公式就安排了用數(shù)方格的方法.到了五年級學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積”時，教材同樣也安排方格紙推導(dǎo)平行四邊形面積.所以，在進行教學(xué)時要突出兩點，首先在判斷平行四邊形的面積計算是不是鄰邊相乘時，方格紙的量化作用就體現(xiàn)出來;其次借助方格紙?zhí)骄科叫兴倪呅蔚拿娣e時，通過對比數(shù)的結(jié)果與底乘高計算的結(jié)果，可能猜想底乘高是計算平行四邊形面積的方法，再通過數(shù)面積單位來驗證.滲透“等積變換”的割補法，為學(xué)生積累活動經(jīng)驗，同時通過數(shù)方格的過程加深了平行四邊形與長方形數(shù)法上的聯(lián)系.并且，在學(xué)生利用方格紙“數(shù)面積”的過程（不足一格）無形中滲透了“轉(zhuǎn)化”的思想，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊[1].