摘?要：勾股定理作為最基本的幾何定理，不僅是初中生必學(xué)的學(xué)習(xí)知識，同時也是中考的考點之一，它不僅揭示了直角三角形中三邊的數(shù)量關(guān)系，同時也幫助學(xué)生得到了思維能力的提升。為此，本文主要從教材、學(xué)情、過程、方法等內(nèi)容對勾股定理進(jìn)行數(shù)學(xué)探究分析，通過對學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)、強化學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

關(guān)鍵詞：中考;數(shù)學(xué)解題;勾股定理

一、 《勾股定理》教學(xué)分析

（一） 合作交流

為充分提高學(xué)生的課堂參與性，我們可以讓每一個同學(xué)在紙上畫一個任意的直角三角形，然后讓學(xué)生進(jìn)行三條邊的測量，從而計算三邊長的平方，讓學(xué)生猜一猜他們?nèi)齻€之間的數(shù)量關(guān)系，隨后讓小組選擇一名優(yōu)秀代表以課堂老師的身份進(jìn)行這一知識內(nèi)容的講解，這樣既可以落實學(xué)生的課堂主體地位，同時也可以實現(xiàn)相互促進(jìn)、共同發(fā)展的教學(xué)局面。

（二） 情境創(chuàng)設(shè)

對于初中的教育教學(xué)而言，除了讓學(xué)生掌握牢固的數(shù)學(xué)知識外，還要讓學(xué)生得到數(shù)學(xué)實踐能力的培養(yǎng)，為此，在進(jìn)行勾股定理這樣一節(jié)數(shù)學(xué)教學(xué)時，我們可以為學(xué)生提供剪刀、紙板等道具，讓學(xué)生利用四個三角形進(jìn)行一個正方形的搭建，在數(shù)學(xué)建模中讓學(xué)生進(jìn)行勾股定理的猜想驗證，從而培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力。

二、 《勾股定理》解題策略

（一） 深化教材，選擇解析

勾股定理對于中考而言，一方面來源于選擇題、填空題，另一方面則是應(yīng)用題的證明，我們可以從以下幾方面進(jìn)行分析總結(jié)：

1. 在一張直角三角形的紙片中，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm。現(xiàn)在將△ABC折疊，使得點B與點A重合，折痕為DE，則BE的長為（??）

A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 10cm

分析：由于兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，我們可以得出AB=10cm，將△ABC折疊，使得點B與點A重合，我們可以知道BE=AE=5cm，所以選擇B，利用軸對稱知識內(nèi)容進(jìn)行這一勾股定理數(shù)學(xué)知識的解決，在分析中鍛煉學(xué)生的思維能力。那么，在進(jìn)行這一問題的解決時，我們可以充分利用實踐操作，讓學(xué)生通過動手進(jìn)行數(shù)學(xué)實踐能力的提升，從而深化學(xué)生的理解程度。

2. 在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于點D并且AB=4，BD=5，則點D到BC的距離為（??）

A. 5B. 3C. 4D. 9

分析：在Rt△ABC中，我們可以根據(jù)勾股定理得：DA=BD2-AB2=52-42=3，又因為D為∠ABC的角平分線上的點，它到BA，BC邊的距離相等，所以我們可以知道點D到BC的距離等于DA之長為3，通過利用角平分線這一定理內(nèi)容使得這一數(shù)學(xué)勾股問題得以解決，在數(shù)學(xué)知識點融合中活化學(xué)生的思維建設(shè)。為此，我們可以通過數(shù)與形的結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生的分析能力，在數(shù)學(xué)建模中活化學(xué)生的思維建設(shè)。

（二） 證明判定

1. 利用勾股定理求解線段問題

對于初中勾股定理這一數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)而言，“線段求長”這一問題可以說是最常見的一種形式，不論是在選擇還是填空都會有所涉及，那么對這一種問題而言，倘若沿用傳統(tǒng)的方式不僅會增大解題難度，同時也會降低學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而勾股定理就不同了，它可以有效將這一問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在直觀化的展示中通過觀察分析使得這一問題得以解決。如在三角形ABC中，已知∠ABC=90°，AB=BC，三角形的三個頂點分別位于相互平行的三條直線l1、l2、l3上，并且l1與l2之間的距離為2，l2與l3之間的距離為3，求AC的長度。

解題分析：我們可以過點A作l3的垂線交l3于點D，然后再過點C作l3的垂線交l3于點E，由已知條件，我們可以得出∠ABC=90°，AB=BC這一數(shù)學(xué)知識點，從而我們可以知道Rt△ABD與Rt△BCE全等，所以AD=BE=3，DB=CE=5;進(jìn)而得出AB2=BC2=32+52=34，在直角三角形ABC中，AC2=AB2+BC2=68，所以AC=217。在這一數(shù)學(xué)應(yīng)用中，對于求解線段長度這一問題而言，它的運用不僅可以簡化解題思路，同時也大大提高了學(xué)生的思維建設(shè)。

2. 利用勾股定理求解面積問題

在中考中面對勾股定理這一數(shù)學(xué)考點，我們會發(fā)現(xiàn)它的出現(xiàn)通常是以綜合性的形式展示在我們的面前，不僅會涉及四邊形、全等三角形，同時也會涉及角等綜合性數(shù)學(xué)知識，對于面積的證明題而言，出現(xiàn)在中考壓軸的概率非常大，就好比這一常見的問題分析：

在三角形ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于點D，現(xiàn)在將三角形ABD沿著AB所在的直線進(jìn)行折疊，使得點D落在點E處，將三角形ACD沿著AC所在的直線折疊，使得點D落在點F處，分別延長EB、FC交于點M，求：

（1）判斷四邊形AEMF的形狀，并給予證明。

（2）若BD=1，CD=2，試著求四邊形AEMF的面積。

解題分析：通過折疊的操作，我們可以發(fā)現(xiàn)一些相等的量和變化的量，從而可以借助背景中的角度構(gòu)建出直角及相等的邊，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)四邊形的形狀，通過直角三角形的勾股定理求解邊長，從而得出面積。如：

解1：因為AD⊥BC，而△AEB是由△ADB折疊所得，所以∠BAD=∠EAB，∠E=∠ADB=90°，BE=BD，AE=AD，又因為△AFC是由△ADC折疊所得，所以∠DAC=∠FAC，∠F=∠ADC=90°，F(xiàn)C=CD，AF=AD，所以AE=AF，又因為∠BAD+∠DAC=45°，所以∠EAB+∠FAC=45°，所以∠EAF=90°，由此可以得出，四邊形AEMF為正方形。

解2：設(shè)正方形AEMF的邊長為x，依據(jù)題意知：BE=BD，CF=CD

所以BM=x-1;CM=x-2

在Rt△BMC中，由勾股定理得出：BC2=CM2+BM2

所以（x-1）2+（x-2）2=9，x2-3x-2=0

解之得：x1=3+172?x2=3-172（舍去）

所以S正方形AEMF=3+1722=13+3172

3. 利用勾股定理求解角度問題

在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，求角問題是勾股定理問題解決的常見現(xiàn)象，如何讓學(xué)生掌握這一知識內(nèi)容，夯實學(xué)生對勾股定理這一數(shù)學(xué)知識的掌握，我們可以通過分析求角這一種題型，加深學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力。如：在等邊三角形ABC中，有一點P，已知PA、PB、PC分別等于3、4、5，試問∠APB等于多少度？

解題分析：對于這一問題，我們可以先把三角形APC繞著點A做旋轉(zhuǎn)，從而旋轉(zhuǎn)至三角形ABQ，讓AB和AC能夠重合，此時，我們可以發(fā)現(xiàn)AP=AQ=3，BQ=PC=5，∠PAQ=∠BAC=60°，從而進(jìn)行這一角度問題的解決。

由此可以得出，△PAQ為等邊三角形，所以PQ=3;在三角形PBQ當(dāng)中，PB、BQ分別等于4、5，所以，三角形PBQ為直角三角形，其中∠BPQ=90°;所以∠APB=∠BPQ+∠APQ=90°+60°=150°。在進(jìn)行這一問題的解決時，為有效提高學(xué)生的課堂參與性，我們可以讓學(xué)生先做假設(shè)，然后做出步驟講解，從而使得學(xué)生在計劃性解決思路中得到數(shù)學(xué)能力的提升。

4. 利用勾股定理進(jìn)行函數(shù)資源整合

對于中考而言，如果單單設(shè)計勾股定理這一知識內(nèi)容基本上都處于填空選擇之類的題型，對于證明題必然會涉獵多元素數(shù)學(xué)知識內(nèi)容，在資源整合中考查學(xué)生對勾股定理的掌握，這樣既可以鍛煉學(xué)生的思維建設(shè)，又可以優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使得學(xué)生在數(shù)學(xué)證明推導(dǎo)中得到數(shù)學(xué)能力的綜合提升。

三、 淺談《勾股定理》與三角形知識整合

為有效提高學(xué)生對勾股定理這一數(shù)學(xué)知識的掌握，我們可以通過勾股定理與數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系為學(xué)生分析這一板塊內(nèi)容，在知識的聯(lián)系中讓學(xué)生體會數(shù)與形之間的關(guān)系，從而為學(xué)生掌握勾股定理、運用勾股定理解決數(shù)學(xué)問題奠定堅實的基礎(chǔ)條件，通過對三角形知識的整合使得學(xué)生對勾股定理這一知識有一個深入的掌握，在夯實基礎(chǔ)知識的同時使得學(xué)生得到數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)能力的拓展。

參考文獻(xiàn)：

[1]王艷紅.基于初中數(shù)學(xué)勾股定理教法創(chuàng)新探索[J].數(shù)理化解題研究，2017（5）.

[2]曹新明.數(shù)學(xué)思想方法在勾股定理中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究（初中版），2018（3）：7-8.

[3]徐芬.讓初中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)變得更真實有效——《勾股定理》教學(xué)片斷與評析[J].中學(xué)生數(shù)理化：學(xué)研版，2018（11）：21.

作者簡介：

李保民，甘肅省蘭州市，甘肅省蘭州樹人中學(xué)。