江蘇省蘇州學(xué)府中學(xué)校 朱 靜

與基礎(chǔ)知識、基本技能相比，數(shù)學(xué)思想是一種隱性的數(shù)學(xué)知識，它悄悄隱藏于學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識的過程中，是需要反復(fù)體驗方能有所感悟的.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)思想不僅可以成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)，也可以成為學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識的起點.因而，數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們在幫助學(xué)生獲得作為知識的數(shù)學(xué)思想的同時，還應(yīng)努力發(fā)揮學(xué)生既得數(shù)學(xué)思想的教學(xué)價值，用好“舊”思想，引出新知識.近期，筆者在執(zhí)教“不等式的性質(zhì)”（第1 課時）時，就通過學(xué)生對猜想的佐證補漏，讓數(shù)學(xué)思想自然發(fā)“聲”，促進新知的有效生長，成就了一次美妙的探索之旅.現(xiàn)呈現(xiàn)這一探索歷程，并談一些感悟，供大家參考.

一、“不等式的性質(zhì)”（第1課時）教學(xué)片段

在類比一元一次方程猜想出解不等式前要學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)后，教師首先引導(dǎo)學(xué)生回顧等式的性質(zhì)，并將其文字語言和符號語言投影展示.然后追問：“你能根據(jù)等式的性質(zhì)類比猜想不等式可能具有的性質(zhì)嗎？”學(xué)生紛紛舉手搶著發(fā)言.教師讓學(xué)生將自己的猜想寫下來，并在小組中交流各自的猜想.

3分鐘后，教師組織全班交流，學(xué)生類比給出了兩個與“等式的性質(zhì)”相似的猜想：

（1）不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等式仍成立；

（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個不為0的數(shù)，不等式仍成立.

教師引導(dǎo)學(xué)生明確“不等式仍成立”的實質(zhì)就是“不等號的方向不變”，在對文本替換后，教師投影并板書了兩個猜想，然后讓學(xué)生對兩個猜想進行舉例佐證.

對于猜想（1），學(xué)生舉出了“3＞2，3+1＞2+1，3-1＞2-1”（下稱示例1）“-2＜-1，-2+10＜-1+10，-2-10＜-1-10”等多個例子.教師首先肯定了學(xué)生所舉出的例子，并讓學(xué)生結(jié)合猜想對所舉例子加以分析，如示例1，學(xué)生分析為“3＞2，在這個不等式兩邊同時加1，不等號左邊為4，右邊為3，4＞3，所以，不等號的方向不變”.在多個學(xué)生陳述過程中，教師予以逐一肯定，最終明確學(xué)生給出的猜想（1）實際上就是不等式的性質(zhì)1，進而形成完整的板書.

對于猜想（2），教師肯定了猜想的合理性.在稍作停頓后，教師引導(dǎo)學(xué)生再次閱讀猜想，有學(xué)生迅速舉手陳述了這個結(jié)論存在的問題：如果乘（或除以）的數(shù)為負(fù)數(shù)，不等式是不成立的.教師進一步追問：你認(rèn)為應(yīng)該怎樣？有學(xué)生給出“大于號變成小于號，小于號變成大于號”的猜想，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納其實質(zhì)就是“不等號的方向應(yīng)該改變”.接下來，教師引導(dǎo)學(xué)生就“乘（或除以）的這個數(shù)”進行分類舉例佐證，并板書：

3＞2，

3×2＞2×2，3÷2＞2÷2，

3×（-2）＜2×（-2），3÷（-2）＜2÷（-2）；

-2＜-1，

-2×5＜-1×5，-2÷5＜-1÷5，

-2×（-5）＞-1×（-5），-2÷（-5）＞-1÷（-5）；

…………

教師讓學(xué)生根據(jù)板書的例子進行類似于示例1的分析，總結(jié)不等式“乘（或除以）同一類數(shù)”后不等號的變換規(guī)律，調(diào)整猜想（2），將其分成“乘（或除以）同一個正數(shù)”和“乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)”兩種情形逐一陳述，最終獲得不等式的性質(zhì)2和性質(zhì)3.

最后，教師引導(dǎo)學(xué)生類比等式的性質(zhì)，用符號語言將不等式的三個性質(zhì)表示出來，板書并投影展示.

二、片段簡析

教師先通過類比獲得課時學(xué)習(xí)內(nèi)容——不等式的性質(zhì)，然后從學(xué)生熟知的等式的性質(zhì)出發(fā)，梳理等式的性質(zhì)的文字語言和符號語言，引導(dǎo)學(xué)生類比猜想不等式的性質(zhì).根據(jù)獲得等式的性質(zhì)的過程和結(jié)果，學(xué)生很快得到兩個猜想.這兩個猜想是基于等式的兩個性質(zhì)的自然生成，完全符合學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗和認(rèn)知發(fā)展規(guī)律.而恰恰就是這里的猜想（2），看似與等式的性質(zhì)2高度吻合，實則因負(fù)數(shù)的出現(xiàn)，這一看似合理的猜想中蘊含著“失真”的結(jié)論，這就是學(xué)生認(rèn)知中出現(xiàn)的“合理漏洞”，需要依賴于教學(xué)加以彌補.然而，在接下來的教學(xué)中，教師并沒有立即彌補，而是通過對猜想（1）進行佐證探索，引導(dǎo)學(xué)生舉例佐證并分析例子的變化過程，使得性質(zhì)1成為教學(xué)自然發(fā)展的成果.在上述經(jīng)驗的進一步沿用后，學(xué)生迅速發(fā)現(xiàn)猜想（2）所存在的問題.此時，分類討論、從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想自然發(fā)“聲”：要根據(jù)“乘（或除以）的這個數(shù)的性質(zhì)”進行分類討論，進而分析示例來歸納其中的規(guī)律.至此，猜想（2）中原本基于經(jīng)驗得到的“乘（或除以）同一個不為0的數(shù)，不等號的方向不變”被準(zhǔn)確地拆分為“乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變”和“乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變”，不等式的性質(zhì)2和性質(zhì)3就此生成.最后，作為對數(shù)學(xué)知識體系的完善，教師引導(dǎo)學(xué)生對不等式的性質(zhì)進一步抽象，生成了不等式的性質(zhì)的符號語言.

三、幾點感悟

1.梳理舊知，建構(gòu)應(yīng)用著力點

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生獲取新知一般都建立在已有知識、經(jīng)驗之上.無論是在課上，還是在課后，學(xué)生對數(shù)學(xué)新知的探索應(yīng)是其所獲舊知的自然生長和合理延伸.所以，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重對舊知的梳理，尤其是對與本課時所學(xué)新知相關(guān)的數(shù)學(xué)“四基”的梳理，務(wù)求準(zhǔn)確、充分、到位.這種全面覆蓋、細(xì)致入微的梳理，意在掃除學(xué)生記憶的“盲點”，確保新知的生長沒有障礙，自然有序.以不等式的性質(zhì)為例，等式的性質(zhì)是其認(rèn)知的基礎(chǔ)，從知識層面上看，等式的性質(zhì)的文字語言和符號語言會為學(xué)生獲取不等式的性質(zhì)的兩種表述提供參照，而學(xué)生獲得等式的性質(zhì)過程中積累的數(shù)學(xué)經(jīng)驗與感悟到的思想方法，也將成為學(xué)生探索不等式的性質(zhì)的經(jīng)驗基礎(chǔ).因此，在探索不等式的性質(zhì)前，我們就應(yīng)如本文中所述那樣，對等式的性質(zhì)及其獲得過程進行充分回顧，讓學(xué)生在“紛紛舉手搶著發(fā)言”的過程中，實現(xiàn)從知識、經(jīng)驗、思想方法等方面對等式性質(zhì)的全方位回顧，鋪平學(xué)生的新知探索之道.

2.舉例佐證，獲取新知生長點

數(shù)學(xué)是一門追求嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的學(xué)科.獲取一個新的數(shù)學(xué)結(jié)論一般都需要通過較為嚴(yán)格和規(guī)范的數(shù)學(xué)推理，當(dāng)然，有時可能會因為學(xué)生數(shù)學(xué)知識不夠，推理能力不夠，或嚴(yán)格推理不適用，而需要借助不完全歸納法來獲得結(jié)論.在初中階段，不完全歸納法是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)結(jié)論的常用方法.應(yīng)用此法獲取結(jié)論時，我們常會舉一些有共性規(guī)律的數(shù)學(xué)示例讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)結(jié)論，進而抽象成學(xué)生進一步學(xué)習(xí)與應(yīng)用的“工具”.在這一過程中，具有相同規(guī)律的案例的呈現(xiàn)也就成為了關(guān)鍵，就如本文中那些用以佐證結(jié)論的“3＞2，3+1＞2+1，3-1＞2-1”之類的例子，它們來自于學(xué)生已有的知識系統(tǒng)中，難度不大，但對他們所給出的猜想是很好的驗證，通過對大量的同質(zhì)案例的分析，極有可能會讓學(xué)生的認(rèn)知產(chǎn)生“由量變到質(zhì)變”的奇效，使得結(jié)論的信度大幅提高，得到所有學(xué)生的認(rèn)同.此外，如本文中那樣，示例的大量列舉，有時會讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)猜想中存在的漏洞，從而積極修正結(jié)論、規(guī)范陳述，給出更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論.

3.補漏猜想，形成價值發(fā)揮點

在新知探索過程中，“給定猜想非數(shù)學(xué)規(guī)范結(jié)論”的情形常有出現(xiàn).面對這些結(jié)論，教師要做的就是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中存在的漏洞，通過示例比對、文本再述、干擾清除等方式進一步規(guī)范結(jié)論，使之內(nèi)容正確、合乎常規(guī)、表述嚴(yán)謹(jǐn).正如本文中那樣，學(xué)生給出的猜想（2）“不等式兩邊乘（或除以）同一個不為0的數(shù)，不等號的方向不變”顯然是不對的，在給出猜想時學(xué)生顯然沒有考慮到可能會因為“兩邊乘（或除以）同一個數(shù)”的符號不同而出現(xiàn)不同結(jié)果，但我們決不能因為結(jié)論有漏洞而忽視學(xué)生基于等式的性質(zhì)給出這樣的猜想的合理性，一旦無情打擊，將會在很大程度上讓學(xué)生的探索熱情迅速退溫.所以，在教學(xué)中，教師要重視這一結(jié)論“漏洞”產(chǎn)生的緣由，決不可將教材給定的性質(zhì)2和性質(zhì)3直接拋給學(xué)生，以替代對猜想（2）“漏洞”的修補.本文給定的教學(xué)過程就是一個很好的“補漏”范例，教者沿著學(xué)生的認(rèn)知路徑，在錯誤猜想上“一路狂奔”：以舉例佐證的方式，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論的漏洞；以分類再述的方式，引導(dǎo)學(xué)生給出規(guī)范的陳述；以板書定格的方式，引導(dǎo)學(xué)生獲取分割的性質(zhì)……這樣的探索歷程，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)思想的反復(fù)應(yīng)用中，體驗獲得的數(shù)學(xué)結(jié)論之嚴(yán)謹(jǐn)與規(guī)范，最大程度上發(fā)揮出數(shù)學(xué)思想的工具價值.