馮國虎

摘 要：從教學(xué)中的一個調(diào)查、一個例題出發(fā)，發(fā)現(xiàn)幾何教學(xué)中的一些問題，分析初中幾何推理的難點，借SOLO分類評價法突破初中幾何推理難點的個案研究，找出解決幾何推理難點的一般策略：利用思維導(dǎo)圖整理知識網(wǎng)絡(luò)和理順解題的一般步驟;利用間接條件法讓學(xué)生由易到難動手實踐;培養(yǎng)尋找解題思路的三種方法;基本解題思路的整理;作業(yè)的分層批改;同伴互助學(xué)習。

關(guān)鍵詞：SOLO分類評價法;幾何;個案

一、問題的引出

1.一個調(diào)查

筆者對自己所在學(xué)校七、八年級期中數(shù)學(xué)試卷進行了分析，七年級幾何題總分為34分，占總分120分的28.3%，八年級幾何題總分為30分，占總分120分的25%。P為幾何總分/總分，M為調(diào)查總?cè)藬?shù)中幾何得分在所得總分中占比超過P值的人數(shù)，N為M/調(diào)查總?cè)藬?shù)。

這個調(diào)查結(jié)果清楚地表明，學(xué)生的幾何部分能力水平相較于代數(shù)部分明顯處于劣勢，并對學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)業(yè)成績產(chǎn)生了重要的影響，亟須我們分析原因，采取對策。

2.一個例題

已知，如圖1，AF是△ABC一邊上的中線，D、E分別是AB、AC的中點，求證：DE和AF互相平分。

學(xué)生常見錯誤：

1.∵AF為中線∴ DE和AF互相平分（因為所以之間沒有任何邏輯聯(lián)系）。

2.直接證△ADG≌△AEG（錯誤一：問題被理解成AF平分DE，所以想通過全等證明，錯誤二：本身這兩個三角形不具備全等的條件）。

3.只會證DE平行且等于1/2BC（認為已知與求證之間沒有必然的聯(lián)系）。

引出的問題：

探究學(xué)生幾何解題中存在的問題，分析問題產(chǎn)生的原因，檢視思維發(fā)展的過程，從而幫助他們提高解決幾何問題的能力和學(xué)業(yè)成績，這顯得更加重要與急迫。

二、初中幾何教學(xué)的現(xiàn)狀和存在的困難

幾何推理的邏輯性和思維表達的縝密性經(jīng)常讓學(xué)生感覺幾何抽象難懂，對解題過程的要求有點吹毛求疵。在解題時，學(xué)生的思路難以打開或是知道內(nèi)在的邏輯卻無法用邏輯化的語言層層遞進地表達出來。不少學(xué)生的幾何證明長期停留在模仿的水平，遇到思維有一定的跳躍性的，特別是需要做輔助線的題型就無從下手。他們不善于讀圖，對題目提供的圖形常常無法充分利用。在幾何教學(xué)實踐中，許多教師也都感到幾何難教，學(xué)生覺得難學(xué)，尤其是幾何證明題?？紤]到不同的學(xué)生對幾何證明題的理解和解決是不同層次的，要在同一課堂中讓所有學(xué)生齊步前行有相當?shù)睦щy。如何幫助學(xué)生順利地從直觀形象思維過渡到抽象邏輯思維是在初中幾何教學(xué)中一個嚴峻的挑戰(zhàn)。

三、研究的理論依據(jù)和理論依據(jù)在幾何教學(xué)中的意義

SOLO（Structure of the Observed Learning Outcome）分類評價法是一種以等級描述為基本特征的質(zhì)性評價方法，由澳大利亞學(xué)者約翰·比格斯（Biggs）教授在《評價學(xué)習的質(zhì)量———SOLO分類法》（1982）一書中提出，理論的基礎(chǔ)是皮亞杰的認知發(fā)展階段論。比格斯認為人的認知是階段性的。學(xué)生在學(xué)習具體知識的過程中，都會經(jīng)歷一個從量變到質(zhì)變的過程。每發(fā)生一次躍變，學(xué)生在對于這種知識的認知就進入更高一級的階段，因此可以根據(jù)學(xué)生在答題時具體反饋來判斷學(xué)生對當前問題的理解所處的思維發(fā)展階段，從而給予科學(xué)的評價。比格斯把學(xué)生對某個問題的學(xué)習結(jié)果由低到高劃分為5個層次：前結(jié)構(gòu)（學(xué)生基本上無法理解問題和解決問題，只提供了一些邏輯混亂、沒有論據(jù)支撐的答案）、單一結(jié)構(gòu)（學(xué)生找到了一個解決問題的思路，但卻就此收斂，單憑一點論據(jù)就跳到答案上去）、多元結(jié)構(gòu)（學(xué)生找到了多個解決問題的思路，但卻未能把這些思路有機地整合起來）、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)（學(xué)生能夠使用多個可獲得的線索或資料，并將它們?nèi)跁炌ǔ蔀橐粋€有機的整體，并能解決較為復(fù)雜的問題）、拓展抽象結(jié)構(gòu)（學(xué)生能夠?qū)栴}進行抽象的概括，從理論的高度來分析問題，而且能夠深化問題，使問題本身的意義得到拓展）。

1.SOLO分類評價法能有效地評價學(xué)生的幾何學(xué)習質(zhì)量

分析學(xué)生的SOLO水平（思維反應(yīng)層次）對老師了解學(xué)生的認知水平，找到學(xué)生在理解上的瓶頸，增強教學(xué)的針對性，提高教學(xué)質(zhì)量有積極作用。SOLO水平高的學(xué)生有非常好的理解問題、分析問題、解決問題的能力，能發(fā)散性地思考，并能把相關(guān)聯(lián)的信息建立起聯(lián)系，從而進一步抽象出可遷移的理論，因此，也總能有較好的幾何學(xué)業(yè)成績。反之，則必然成績不佳。所以，SOLO水平能科學(xué)地評價學(xué)生幾何學(xué)習質(zhì)量。

2.SOLO分類評價法能發(fā)現(xiàn)學(xué)生對幾何知識理解上的誤區(qū)

找到學(xué)生在幾何問題理解上的誤區(qū)對教師提高教學(xué)的有針對性、改善教學(xué)質(zhì)量有立竿見影的效果。SOLO分類評價法在對學(xué)生的反應(yīng)水平進行分層的同時也對錯誤的理解類型進行了分類，不同結(jié)構(gòu)水平的回答能顯示出學(xué)生在理解上的缺陷。例如，處于前結(jié)構(gòu)水平和單元結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生在知識點的理解上存在困難;處于多元結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生難以找到量與量之間的相互關(guān)系;而處于關(guān)聯(lián)水平的學(xué)生思維不夠發(fā)散。筆者準備借助SOLO分類評價理論對學(xué)生在解題時出現(xiàn)的各種錯誤情況進行分類整理，使學(xué)生和教師都清楚地分清學(xué)生的錯誤在何處，便于接下來師生針對存在問題采取有效的手段改進，進一步研究各種錯誤的情況明確采取什么樣的策略比較有效，以提高幾何教學(xué)的質(zhì)量。

3.SOLO分類評價法能探究引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生誤解的原因

通過開展SOLO測試并結(jié)合訪談，可以幫助教師了解學(xué)生回答問題時的不同思維方式，探求引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生錯誤理解的原因。例如在一次次小測驗中，部分學(xué)生在做題時遇到圖2，會錯誤地以為∠1和∠4是內(nèi)錯角。通過和學(xué)生的談話，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生之所以有這樣的誤解可能是數(shù)學(xué)教師在概念教學(xué)中片面強調(diào)只要看到Z形的圖形就可以找出內(nèi)錯角，因此當學(xué)生在右圖中看到直線AB與直線EF之間似乎也構(gòu)成了一個Z形，就得出錯誤的結(jié)論。經(jīng)過這樣的測試，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在理解三線八角時存在問題，數(shù)學(xué)老師在了解到這個情況后，及時調(diào)整教學(xué)方法，對存在誤解的同學(xué)進行課后輔導(dǎo)，糾正錯誤理解，從而提高了教學(xué)質(zhì)量。

4.SOLO分類評價法能夠有效地測量學(xué)生的思維水平

SOLO分類評價法能較準確地測量出學(xué)生的思維水平。例如我們在教學(xué)中有時會發(fā)現(xiàn)這樣的學(xué)生，他們的考試成績僅處于中下游，但SOLO分類評價測試的結(jié)果卻顯示他們的思維反應(yīng)處于抽象拓展水平。深入調(diào)查會發(fā)現(xiàn)，這樣的學(xué)生思維往往比較靈活，只是近一段時間學(xué)習態(tài)度欠佳，沒有認真做作業(yè)，考試成績比較差只是這段時間的學(xué)習狀況的體現(xiàn)，不能真正反映學(xué)生的學(xué)習能力和思維水平。因此，老師應(yīng)從分析學(xué)生學(xué)習態(tài)度不理想的原因入手，與學(xué)生、家長進行溝通，排除影響學(xué)習態(tài)度負面因素，提高學(xué)生學(xué)習的積極性和興趣，從而提高學(xué)習效率。根據(jù)SOLO的基本設(shè)想，教學(xué)評價應(yīng)該更多地關(guān)注學(xué)生在回答問題時表現(xiàn)出來的思維結(jié)構(gòu)。因此，在考評學(xué)生的邏輯思維能力時，也應(yīng)關(guān)注學(xué)生使用的幾何語言體現(xiàn)出來的思維結(jié)構(gòu)水平。

四、SOLO分類評價法在初中幾何推理中的個案研究

1.研究對象

（1）研究對象的確定

受到條件的限制和研究的需要，筆者以自己教學(xué)班的學(xué)生為研究對象。在研究期間，筆者所教學(xué)的班級剛好從八年級升到九年級，所以對同一個學(xué)生有八年級時的研究和九年級時的研究，研究的人數(shù)為6人，人員確定是筆者根據(jù)學(xué)生有記載的數(shù)學(xué)成績進行分層，共分三層（A、B、C），每個層次的學(xué)生隨機抽取2人。

（2）研究對象的編碼

用一個六位數(shù)的編碼表示一個學(xué)生的具體信息，6位學(xué)生八年級時可以分別記為801A01、801A02、801B01、801B02、801C01、801C02，例如801A01表示八年級01班A層次第一個研究對象。同樣這6個學(xué)生九年級時可以分別記為901A01、901A02、901B01、901A01801B02、901C01、901C02，例如901A01表示九年級01班A層次第一個研究對象，801A01和901A01表示同一個人。

2.試題的編制

（1）根據(jù)學(xué)生的情況每個層次在八九年級編制了難度不同的試題各2題。即八年級A層次2題，八年級B層次2題，八年級C層次2題，九年級A層次2題，九年級B層次2題，九年級C層次2題，試題詳見附件1。

（2）試題編制的內(nèi)容，八年級幾何研究的重點是特殊的四邊形，因此選擇八下特殊四邊形中的內(nèi)容，九年級上幾何研究的重點是圓和相似，因此選擇的內(nèi)容為圓和相似的綜合題。

（3）根據(jù)試題的編制和學(xué)生分層中可能存在的不合理因素，在試題的檢測中遵循A層次的學(xué)生先做A層次的題，有做不出就做B層次的題;B層次的學(xué)生先做B層次的題，能做再試試A層次的題，不能做就做C層次的題;C層次的學(xué)生先做C層次的題，能做可以繼續(xù)做B層次的題，若不能做則只要求畫出已知、求證和備用條件并寫出來。

3.SOLO分類評價法在初中幾何題中的使用策略

（1）介紹策略的使用步驟：

仔細審題（理清已知條件、隱含條件及問題）——理解題意（利用定理、定義、概念等從已知條件、隱含條件中推出相應(yīng)的結(jié)論，作為備用條件）——確定思路（結(jié)合問題組織已知條件、隱含條件及備用條件，選擇跟問題有關(guān)的有用信息）——實踐反思（根據(jù)解題思路寫出證明過程，反思整個推理過程，若不嚴密或不準確再重新審題，重復(fù)前面的步驟）。

（2）舉例說明

如圖3，AE是⊙O的直徑，△ABC內(nèi)接于圓，AD⊥BC于D。求證：∠1=∠2

步驟一：劃出已知條件和問題。

步驟二：從已知條件推出備用條件。①→直徑所對圓周角是直角（連接BE或EC）→∠1與∠AEB互余或∠EAC與∠AEC互余;③→∠2與∠C互余。

步驟三：結(jié)合問題確定思路，要證∠1=∠2只要證∠AEB=∠ACB，而這兩角都是弧AB所對的圓周角，問題解決。對比連接BE和EC，顯然連接BE更恰當。

步驟四：根據(jù)思路寫出完整的過程。

∵AE是⊙O的直徑? ∴∠ABE=90°? ∴∠1+∠AEB=90°∵AD⊥BC? ∴ ∠2+∠C=90°

∵∠AEB和∠ACB是弧AB所對的圓周角∴∠AEB=∠ACB ∴∠1=∠2

反思一：已知圓中有直徑這一條件基本的輔助線就是作直徑所對的圓周角。

反思二：充分利用圓周角與所對弧的關(guān)系，證明兩角相等。

4.個案研究達到的預(yù)期目標

（1）教師借鑒SOLO分類評價法對學(xué)生在幾何推理能力過程出現(xiàn)的情況進行分類，思維水平分類如下：

1級水平：找出題中的已知條件、隱含條件及問題（已知和隱含條件可以分別記為D1、D2、D3……）

2級水平：利用定理、定義、概念等從已知推出相應(yīng)的結(jié)論C1、C2、C3……

3級水平：能在2級水平上進一步組合推出新的結(jié)論。B1、B2、B3……

4級水平：在3級水平上，若條件之間缺少必要的聯(lián)系，需要通過輔助線的幫助才能解決的。A1、A2、A3……

教師借鑒SOLO分類評價法診斷學(xué)生的思維水平和存在的問題，直觀地知道學(xué)生屬于什么思維水平，并探究低一級水平向上一級水平過渡主要的問題是什么。例如一位學(xué)生能畫出條件完成步驟一，但對于例題中①的條件不知怎么用，從而診斷出他的具體問題是什么（這里可以知道學(xué)生的問題是對圓周角的推論直徑所對的圓周角等于90°不會用，學(xué)生也知曉是直徑這個條件不會用），同時教師也清楚了這個問題如何解決（如采用圓周角推論的強化策略，已知條件中有直徑一般作直徑所對的圓周角，有90°的圓周角連接圓周角所對的弦，此弦是直徑;也可增加有針對性的練習，鞏固應(yīng)用）。

（2）個體反思和同伴互助

學(xué)生自己、同伴之間根據(jù)SOLO分類評價法能判斷學(xué)生自己或同伴的思維水平和存在的問題，直觀地知道自己或同伴屬于什么水平，學(xué)會反思，也學(xué)會幫助同伴，改進幾何學(xué)習，提高幾何學(xué)習的效率和效果。

（3）總結(jié)一些克服解幾何推理題感覺困難的一般策略

通過借鑒SOLO分類法在幾何教學(xué)中的個案應(yīng)用，總結(jié)一些克服幾何推理難點的一般策略，如分層批改作業(yè)法，思維導(dǎo)圖法，間接條件法，同伴互助交流，劃出已知、問題并與圖相結(jié)合使用的實踐動手策略等。

5.個案研究的實施

（1）6位選定的學(xué)生在一個規(guī)定的時間內(nèi)進行測試。先做20分鐘，再介紹SOLO分類評價法直至學(xué)生清楚方法的使用，再給學(xué)生15分鐘用SOLO分類評價法的方法做，最后把學(xué)生使用SOLO分類評價法完成試題前后情況匯總（八年級題具體見附件1）：

（2）通過分析學(xué)生在試題的問題，從而診斷學(xué)生在學(xué)習中存在的問題。

（3）6位選定的學(xué)生在一個規(guī)定的時間內(nèi)進行測試。先做20分鐘，再次強調(diào)使用方法，再給學(xué)生15分鐘用SOLO分類評價法的方法做，最后把學(xué)生使用SOLO分類評價法完成試題前后情況匯總（九年級題具體見附件1）：

（4）通過分析學(xué)生在試題的問題，從而診斷學(xué)生在學(xué)習中存在的問題。

五、總結(jié)一些突破幾何推理難點的一般策略：

1.利用思維導(dǎo)圖整理知識網(wǎng)絡(luò)和理順解題的一般步驟

幾何部分的學(xué)習涉及很多相互之間存在密切關(guān)聯(lián)的概念。對一些學(xué)習能力不強的學(xué)生，要記憶、理解、應(yīng)用這些概念并利用這些概念建立起一個具有內(nèi)在邏輯關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)是十分困難，從而經(jīng)常會出現(xiàn)知識點遺忘或是概念混淆的情況，嚴重影響學(xué)習的效果。思維導(dǎo)圖的運用可以以形象化的形式幫助學(xué)生建立起一個直觀的可視化的宏觀網(wǎng)絡(luò)，把各個知識點，包括概念、定理、解題技巧、思想方法，以其內(nèi)在的邏輯關(guān)系生動地組織起來，避免了知識點之間的孤立和碎片化，既有利于記憶，也有利于理解，同時體現(xiàn)了世界萬物互聯(lián)的思想。下面是學(xué)生對四邊形這一內(nèi)容的整理：

同時，思維導(dǎo)圖對于解幾何題有著同樣的功效。它可以幫助學(xué)生更好地分析理解題意，找到解決問題的關(guān)鍵，綜合各種已知條件，促進推理和聯(lián)想，在嚴謹?shù)乃季S基礎(chǔ)上做出合理的發(fā)散，從而更加科學(xué)高效地解題。它使整個解題過程不再神秘莫測，而是有章可循。我們根據(jù)解題時的思維發(fā)展可以把解題分成以下幾個步驟：

2.利用間接條件法讓學(xué)生由易到難動手實踐

不管是在平時練習還是在各類中考題的難題中，幾何題都不是難到一點都不能入手，往往只是有那么一兩問不易理解，沒有思路解決而已，而學(xué)生在解題時往往糾結(jié)于最難的一兩問，沒有從已知條件出發(fā)，尋找可以得到的間接條件，然后從這些間接條件的組合中尋找解決問題的策略。例如801B02在解決A層次第一題時開始不會，在介紹完SOLO分類評價法后筆者讓他把所有從已知條件能得到的間接條件都寫出來，他在題的邊上一一列出，并在圖中畫出來，很快他就找到了解決問題的方法。

如圖4，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于G，

EF⊥AB于F，問四邊形CGFE是什么特殊的四邊形，請證明。

由角平分線AE、EF⊥AB、Rt△ABC得到CE=EF;

由CD是斜邊AB上的高、EF⊥AB得到CD∥EF;

由Rt△ABC中、CD是斜邊AB上的高、角平分線AE得到∠CGE=∠CEG，從而得到CG=CE。

從而馬上得到思路：先證CG平行且等于EF，得到四邊形CGFE是平行四邊形，再加上CE=EF或CG=CE即可，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

解決問題特別是難的綜合題不是一蹴而就的，需要一步一步、由易到難去解決，很多時候讀懂題意還不夠，還要把所有能得到的間接條件都寫出來并在圖中畫出來后才能真正理解題意，在此基礎(chǔ)上再去組合間接條件，選擇各種方案進行嘗試，才能解決問題。

3.培養(yǎng)尋找解題思路的三種方法

解題思路是解決幾何推理問題的關(guān)鍵，“授人以魚，不如授人以漁”，培養(yǎng)學(xué)生尋找解題思路的方法非常必要和迫切。我們常見尋找思路的方法有三種：綜合法、分析法、分析綜合法，在平時的幾何推理教學(xué)中要教給學(xué)生這些尋找解題思路的方法。例如綜合法的培養(yǎng)，解題思路實質(zhì)上就是從已知條件到解題目標的一連串的命題間的推出關(guān)系，即

從已知條件到合適的備用條件一步一步、一環(huán)扣一環(huán)向解題目標邁進，綜合法就是一種由因?qū)Ч姆椒?，有了定義、定理、公理等命題作為基礎(chǔ)和支撐，尋找解題思路就容易了。類似，分析法就是由果索因的方法，由解題目標去尋找目標成立的等價條件，從而一步步推向已知條件。當綜合法和分析法使用不是很順暢的時候，也可試試分析綜合法。

4.基本解題思路的整理

好的方法只有真正落實了方能見效，因此克服學(xué)生的惰性，更真實地反應(yīng)學(xué)生在學(xué)習中存在的問題成為當務(wù)之急。學(xué)生在平時審題時往往粗枝大葉，沒有認真讀題，懶得從已知條件推出間接條件，也懶得把已知條件和間接條件在圖中畫出來，從而造成對題意的理解不清，不能準確地解答問題，造成教師不能準確地獲得學(xué)生真實的學(xué)習情況，影響教學(xué)效率。在平時的學(xué)習中學(xué)生也不能自覺、自然使用此方法，往往在教師的提醒下或遇到困難時，才會去使用，如何把SOLO分類評價法內(nèi)化到學(xué)生的幾何推理過程中，需要在教學(xué)中不斷強化和使用，逐漸把方法使用培養(yǎng)成學(xué)生解題的習慣。

在垂徑定理有關(guān)的計算教學(xué)中，所有計算都與半徑、弦心距、弦的一半有關(guān)，不外乎已知三者中的兩個求剩下一個，或是已知三個中的一個和另外兩個未知量的關(guān)系，求這兩個未知量。解決這類問題的方法都是勾股定理，在圖中三者缺什么就添什么。例如九年級A層次第一題中求點C的坐標（即求弦的一半OC的長）、九年級C層次第二題求AD的長（即求弦BD的長），做這樣的計算題學(xué)生的思路就非常清楚了，九年級A層次第一題中缺半徑所以要連接O'C，九年級C層次第二題中缺弦心距所以作弦心距CE。又如九年級A層次第二題和九年級B層次第一題中條件都有直徑（或是圓周角是直角），對于這樣的條件處理的基本思路，從關(guān)鍵詞出發(fā)直徑一般作直徑所對的圓周角得到這個圓周角是直角;圓周角是直角一般連接這個圓周角所對的弦即這條弦是直徑，接著根據(jù)其他條件相應(yīng)解決。所以九年級B層次第一題的思路就非常簡單只要連接AD得到圓周角ADB等于90°，再利用DC=BD，由中垂線得到AB=AC，問題解決。九年級A層次第二題中AC⊥CB，即∠ACB是90°的圓周角，所以AB是直徑，因此要找r只要取AB的中點O并連接OC即可。通過基本解題思路的整理，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

5.作業(yè)的分層批改和差異化的評價

教師借鑒SOLO分類評價法診斷學(xué)生的思維水平和存在的問題，直觀地知道學(xué)生屬于什么思維水平，了解向思維水平向上一級遷移存在的主要障礙，同時要讓學(xué)生明確自己的狀況（會什么，不會什么，不會的原因是什么），反思原因，讓他們找到提高思維水平和解決問題的切入點。教師要準確判斷學(xué)生的實際水平，對學(xué)生的作業(yè)進行分層批改是一種不錯的選擇。作業(yè)分層批改可以幫助教師找到相同層次學(xué)生之間共性或類似的問題和不同層次學(xué)生之間存在的差異，而差異化的評價能針對不同層次的學(xué)生提出不同的要求，做出不同標準的評價，讓盡量多的學(xué)生得到鼓勵和支持，在自己現(xiàn)有的基礎(chǔ)上得到不同的發(fā)展，實現(xiàn)個性化的教學(xué)。

6.同伴互助學(xué)習

同伴互助學(xué)習實質(zhì)上就是聚焦于課堂教學(xué)中常常被忽視的生生互動環(huán)節(jié)，充分發(fā)揮其潛在的積極作用。和跟教師交流相比，同學(xué)之間的交流會更輕松、更順暢，因為師生之間的差異，包括智力、學(xué)歷、知識經(jīng)驗等，肯定比同學(xué)之間的差異來得明顯。同學(xué)之間有著類似的學(xué)習背景、身心發(fā)展階段、智力發(fā)育水平，對于同一個知識點容易產(chǎn)生相似的認知程度，他們可以更清楚地知道疑惑產(chǎn)生的原因，更高效地解答。在同伴互助學(xué)習中，學(xué)生自己、同伴之間根據(jù)SOLO分類評價法能判斷學(xué)生自己或同伴的思維水平和存在的問題，直觀地知道自己或同伴屬于什么水平，學(xué)會反思，也學(xué)會幫助同伴，改進幾何學(xué)習，提高幾何學(xué)習的效率和效果。

本文是借鑒SOLO分類評價法的個案研究，在個案研究上采取了一些方法和手段，也取得了一定的成果，但個案的研究成果對全體學(xué)生的幾何教學(xué)是否有效，有待檢驗和進一步的研究，這是筆者下一步研究的重點。

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[5]劉坤，李巖，徐曉陽.試論命題間推出關(guān)系在中學(xué)數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)地位與對策[J].數(shù)學(xué)通報，2012（9）

八年級A層次第一題（見圖5）：

如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于H，EF⊥AB于F，問四邊形CHFE是什么特殊的四邊形，請證明。

八年級A層次第二題（見圖6）：

在四邊形ABCD中M、N分別是BC、AD的中點，AB=CD，延長BA交MN的延長線與點E，CD的延長線交MN與點F。求證：∠BEM=∠CFM。

八年級B層次第一題（見圖7）：

已知如圖：在△ABC中，AB、BC、CA的中點分別是E、F、G，AD是高。求證：∠EDG=∠EFG。

八年級B層次第二題（見圖8）：

已知：如圖，△ABC是銳角三角形，分別以AB、AC為邊向外作兩個正△ABM和△CAN，D、E、F分別是MB、BC、CN的中點，連結(jié)DE、FE.求證：DE=FE。

八年級C層次第一題（見圖9）：

已知：如圖，在△ABC中，中線BE，CD交于點O，F(xiàn)，G分別是OB，OC的中點.求證：四邊形DFGE是平行四邊形。

八年級C層次第二題（見圖10）：

如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AE=CF且四邊形DEBF是平行四邊形.求證：四邊形ABCD是平行四邊形。

九年級A層次第一題（見圖11）：

如圖，點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（9，0），以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負半軸于點C，

（1）求過A、B、C三點的拋物線解析式;

（2）在（1）中的拋物線與⊙O′還有交點嗎？若有則求出該點坐標，沒有請說明理由;

（3）（1）中的拋物線頂點在圓上嗎？若在請說明理由，若不在，則請說出應(yīng)怎樣平移才能使拋物線頂點在圓上。

九年級A層次第二題（見圖12）：

如圖，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于點C，AC⊥CB交BE于點A，△ABC的外接圓半徑為r。

（1）求證：BE·BD=r·DE;

（2）若BD=3，DE=4，求AE的長。

九年級B層次第一題（見圖13）：

如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，

連結(jié)AC交⊙O于點F.

問：AB與AC的大小有什么關(guān)系？為什么？

九年級B層次第二題（見圖14）：

如圖，AB和CD是⊙O的兩條直徑，AB⊥CD，AB=2，∠EAB=15°，AE、DB的延長線交于點F，求：

（1）求∠FAD的度數(shù);

（2）△ADF的面積。

九年級C層次第一題（見圖15）：

已知：如圖，AB、DE是⊙O的直徑，AC∥DE，交⊙O于點C，求證：弧BE=弧EC。

九年級C層次第二題（見圖16）：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以點C為圓心，BC為半徑作圓交AB于點D，求AD長。

編輯 李博寧