廣西貴港市平南縣大安鎮(zhèn)第四初級中學(xué) 黃旭林

數(shù)學(xué)知識源于生活，用于生活，特別是《義務(wù)教學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出，要實現(xiàn)“人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得必要的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的目標(biāo)。在生活中存在求距離最短的問題，以節(jié)約成本，所以距離最短的問題，也成為考試內(nèi)容之一，是有點(diǎn)難度的。為了攻克初中平面幾何中的求距離最短的問題，經(jīng)過我不斷的探討和實踐，在教學(xué)中，我認(rèn)為要從以下幾方面入手：

一、弄懂平面幾何中距離最短問題的解題原理

初中數(shù)學(xué)教材里提到，“兩點(diǎn)之間線段最短”和 “垂線段最短”這兩個公理是求初中平面幾何中距離最短的問題的依據(jù)。距離最短問題實質(zhì)上就是這兩個公理的靈活運(yùn)用。

1.“兩點(diǎn)之間線段最短”的應(yīng)用可分為三種類型

（1）如圖1，點(diǎn)A與點(diǎn)B分別在直線l的兩側(cè),在l上有一個動點(diǎn)P，求使AP＋BP的值最小。

直接連接點(diǎn)A和點(diǎn)B所得線段交直線l于點(diǎn)P,根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”此時AP＋BP的值最小為AB。

（2）如圖2，點(diǎn)A與點(diǎn)B分別在直線l的同側(cè),求在l上有一個動點(diǎn)P使AP＋BP的值最小。

作A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)C,連接BC交直線l于點(diǎn)P，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”此時PC=PA,AP＋BP的值最小為PC+BP=BC。

（3）如圖3，A村和B村分別在一條河的兩側(cè)，河的兩岸互相平行并且寬度為a，求在A村和B村之間河上修一條橋，使A村通往B村之間的路程最短,求橋的位置。

此題比前面1.（1）類型多了一條橋，可以過點(diǎn)A作AC垂直于河邊，使AC=a,然后連接CB,交近B村的河邊的點(diǎn)D,過點(diǎn)D作線段DE垂直河邊交另一河邊于點(diǎn)E，這時DE就是橋的位置，因為四邊形ACDE是平行四邊形，AC=DE,AE=CD,此時A村和B村之間的路程最短為AE+ED+DB=AC+CB

2.“垂線段最短”的應(yīng)用

如圖4，A村要修一條大路接通一條筆直公路l，怎樣修才路線最短呢？

過點(diǎn)A作線段AP垂直于直線l,垂足為P,根據(jù)“垂線段最短”， 得垂線段AP最短，垂線段AP就是要修路的地方。

二、求解平面幾何中距離最短問題，關(guān)鍵在于找出關(guān)鍵“點(diǎn)”的位置

平面幾何中距離最短的問題，常常以動點(diǎn)來出現(xiàn)在題目中。點(diǎn)的位置確定根據(jù)是線與線相交于點(diǎn)。如果兩點(diǎn)分別在一條線的兩邊，直接連接這兩點(diǎn)，形成一條新的線段，它與原線段（動點(diǎn)要求在的線段）它們的交點(diǎn)，就是關(guān)鍵的“點(diǎn)”； 如果兩點(diǎn)都在一條線的同側(cè)，可以通過作其中一點(diǎn)關(guān)于原線段（動點(diǎn)要求在的線段）的對稱點(diǎn)，連接這個對稱點(diǎn)與另一個點(diǎn)所得的線段與原線段相交，它們的交點(diǎn)，就是關(guān)鍵的“點(diǎn)”，之后把折線通過軸對稱轉(zhuǎn)換成在同一線段，這兩點(diǎn)的距離即為最小值。至于求直線外一點(diǎn)到這條直線之間的最短距離，直接過這點(diǎn)作這條線的垂線段就得了，垂足就是關(guān)鍵的“點(diǎn)”。如何尋找這些關(guān)鍵“點(diǎn)”呢？下列以案例說明：

1.“兩定點(diǎn)，一動點(diǎn)”

如圖5，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E為CD邊的中點(diǎn)，P為BC邊上的任一點(diǎn)，那么，AP+EP的最小值為______.

分析：題中P為BC邊上的任一點(diǎn)，只有點(diǎn)P在點(diǎn)A關(guān)于BC對稱點(diǎn)和點(diǎn)E的連線與BC的交點(diǎn)，此時的交點(diǎn)是AP+EP的值最小的關(guān)鍵“點(diǎn)”。

解：如圖6，作A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)F，連接EF交BC于點(diǎn)P，則EF就是所求的最短距離，再過點(diǎn)E作EO∥BC，交AB于點(diǎn)O，

2.“一定點(diǎn)，兩動點(diǎn)”

分析：因為PQ是圓O的切線，連接QO得OQ⊥PQ，根據(jù)勾股定理有PQ2= O P2-OQ2,OQ是圓O的半徑為1，OP最小時OP2也最小，因為點(diǎn)P在AB上，所以根據(jù)“垂線段最短”，過點(diǎn)O作PO⊥AB,垂足為點(diǎn)P.此時的點(diǎn)P是使PQ最小值的關(guān)鍵“點(diǎn)”

解：如圖8，連接OQ，過點(diǎn)O作PO⊥AB,垂足為點(diǎn)P

∵PQ是⊙O的切線，∴OQ⊥PQ；

根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，

三、建立平面幾何最短距離問題的數(shù)學(xué)模型

生活中的求最短距離問題，通過抽象成為幾何中的距離最短問題，從上面第一、第二大點(diǎn)分別懂得了求平面幾何最短距離問題的解題原理和通過軸對稱作圖確定關(guān)鍵“點(diǎn)” 把折線通過等量代換轉(zhuǎn)化成同一條直線上的線段，或者通過“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短”，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)方法表達(dá)出來，并加以計算，通過抽象，建立起一種近似的解題方法，建立起求平面幾何最短距離問題的數(shù)學(xué)模型，能夠看到類似題型，馬上知道基本的解題思路。

四、強(qiáng)化平面幾何中的距離最短問題的典型題目訓(xùn)練，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)課教學(xué)本質(zhì)，就是數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練課，讓學(xué)生親身經(jīng)歷并且通過分析問題，解決問題，甚至在失誤中糾正錯誤過程中，培養(yǎng)學(xué)生解題能力。平時，教師針對平面幾何中的距離最短問題，多積累些典型的題目，選擇有代表性的題目先進(jìn)行例題講解，總結(jié)出解題規(guī)律，再進(jìn)行套題練習(xí)，讓學(xué)生獨(dú)立完成，從而熟悉距離最短問題的題型，深刻領(lǐng)會解距離最短問題的理論，從而更好地把平面幾何中的距離最短問題應(yīng)用于現(xiàn)實生活中來。