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(中國(guó)兵器工業(yè)第203研究所，西安 710065)

0 引言

高超聲速飛行器,其速度大于5馬赫數(shù)，并且通常在20千米到150千米的空間飛行，它是未來(lái)軍事領(lǐng)域的重要組成部分，它將成為具備戰(zhàn)略、戰(zhàn)術(shù)威懾力的空間作戰(zhàn)平臺(tái)及武器。能夠快速有效地?fù)糁羞h(yuǎn)程目標(biāo)，并達(dá)到精確打擊的目的[1-2]。

文獻(xiàn)[3]中Brown等人對(duì)于大氣段閉環(huán)制導(dǎo)的可行性進(jìn)行了研究，提出了使用真空制導(dǎo)算法得到初始猜想，然后通過(guò)增加大氣密度的方式求得最優(yōu)軌跡，并將其作為初始猜想，試驗(yàn)證明這種方法雖然能夠較好地提高收斂性能，但依然不能完全保證無(wú)法保證一定的收斂特性。如果無(wú)法收斂，飛行器的飛行狀態(tài)始終與最優(yōu)軌跡誤差較大，影響最終精度。

文獻(xiàn)[4]使用粒子群算法進(jìn)行閉環(huán)制導(dǎo)研究，通過(guò)粒子群算法設(shè)計(jì)飛行器的飛行軌跡，并在閉環(huán)仿真中實(shí)時(shí)進(jìn)行迭代。但是這個(gè)方法的收斂時(shí)間較長(zhǎng)，可能無(wú)法保證閉環(huán)制導(dǎo)的實(shí)時(shí)性要求。

本文提出一種基于hp-自適應(yīng)偽譜法的高超聲速飛行器上升段閉環(huán)制導(dǎo)方法，在飛行器運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型和約束條件模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)數(shù)字仿真驗(yàn)證了其可靠性，文章的研究結(jié)果為高超聲速飛行器的閉環(huán)制導(dǎo)提供了有價(jià)值的參考。

1 飛行器上升段建模

1.1 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)及動(dòng)力學(xué)方程

飛行器在上升段平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程表示為：

(1)

式中，T為推力大小，D為阻力大小，L為升力大小，H為飛行高度，V為飛行器的飛行速度，m為飛行器質(zhì)量，Isp為燃料比沖，g0為海平面重力加速度，α和θ分別為飛行器的攻角和彈道傾角，q為俯仰角速度[5]。

1.2 氣動(dòng)力模型

選取迎角和馬赫數(shù)作為影響氣動(dòng)力的最主要因素，擬合公式可以提高算法的快速性，氣動(dòng)力模型如下[6]：

(2)

應(yīng)用最小二乘法進(jìn)行氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)。結(jié)果為：

(3)

氣動(dòng)力系數(shù)擬合曲線如圖1所示。

圖1 升力系數(shù)和阻力系數(shù)變化曲線

1.3 發(fā)動(dòng)機(jī)推力模型

本文采用渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)與超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)相結(jié)合的推力模型作為研究對(duì)象[7]。發(fā)動(dòng)機(jī)推力系數(shù)CT隨著飛行器飛行高度H，馬赫數(shù)M和攻角α的變化而變化，根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，得到推力系數(shù)的計(jì)算公式：

CT(M,α)=

(4)

2 約束條件

2.1 微分方程約束

高超聲速飛行器上升段狀態(tài)方程的微分約束：

(5)

式中，X(t)是由飛行器上升階段五個(gè)狀態(tài)量組成的向量，U(t)是攻角控制量α。

X(t)=[H(t),x(t),V(t),θ(t),m(t)]

(6)

U(t)=α(t)

(7)

2.2 狀態(tài)量和控制量約束

由于飛行器真實(shí)舵機(jī)等執(zhí)行機(jī)構(gòu)的限制，在上升過(guò)程中，控制能力約束主要反映到可使用攻角的約束，相應(yīng)的控制量U(t)需要限制在一定范圍內(nèi)[8]；據(jù)此建立如下約束條件：

(8)

2.3 邊值約束

初始邊界條件：

H(t0)=H0,V(t0)=V0,θ(t0)=θ0

(9)

終止邊界條件：

H(tf)=Hf,V(tf)=Vf,θ(tf)=θf(wàn)

(10)

其中，t0和tf分別為爬升段的初始時(shí)刻和終止時(shí)刻。

2.4 路徑約束

1)熱流約束。

熱流密度表達(dá)式為：

(11)

式中，

C=7.9686×10-5,N=0.5,K=3.15

(12)

2)動(dòng)壓約束。

飛行器的氣動(dòng)鉸鏈力矩和飛行器表面的耐熱材料限制了動(dòng)壓的上限，動(dòng)壓約束的下限值主要與超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)的要求相關(guān)。

(13)

3)過(guò)載約束。

由于本文研究的是高超聲速飛行器的上升階段，所以只分析了其縱向平面，此處過(guò)載約束為飛行器的最大法向過(guò)載約束，即：

(14)

2.5 目標(biāo)函數(shù)

本文分別選取兩種目標(biāo)函數(shù)對(duì)基于hp-自適應(yīng)偽譜法的閉環(huán)制導(dǎo)方法進(jìn)行研究：

(1)為了使高超聲速飛行器在巡航階段能夠有充足的燃料進(jìn)行突防和規(guī)避任務(wù)，設(shè)計(jì)飛行器在滿足各種約束條件下以最省燃料的方式進(jìn)行爬升，目標(biāo)函數(shù)則選取為上升段結(jié)束后飛行器的質(zhì)量最大，對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為：

minJ=-mf

(15)

(2)為了能夠使高超聲速飛行器快速有效地完成上升段飛行任務(wù)，設(shè)計(jì)飛行器在滿足各種約束條件下以最短時(shí)間完成爬升飛行任務(wù)，目標(biāo)函數(shù)選取為上升段結(jié)束后的時(shí)間最小。

minJ=tf

(16)

2.6 上升段飛行走廊

為了更好地描述飛行器飛行包線，基于上節(jié)提出的高超聲速飛行器在爬升階段需滿足的約束條件，需要保證在飛行過(guò)程中的狀態(tài)變量在動(dòng)壓、過(guò)載以及熱防護(hù)結(jié)構(gòu)所允許的范圍之內(nèi)。通過(guò)這些邊界條件協(xié)同確定了上升階段的可飛行區(qū)域，形成了其飛行走廊，以便于對(duì)其飛行區(qū)域進(jìn)行劃分。

圖2 上升段飛行走廊

3 hp-自適應(yīng)偽譜法算法設(shè)計(jì)

3.1 飛行軌跡規(guī)劃策略

高超聲速飛行器上升段的閉環(huán)制導(dǎo)研究是非線性問(wèn)題，一般的非線性最優(yōu)控制問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式為Bolza型問(wèn)題[10]，其最優(yōu)控制模型可以表示為：

(17)

(18)

e(x(t0),t0,x(tf),tf)=0

(19)

c(x(t),u(t),t)≤0

(20)

在上面的公式中，x∈Rn為狀態(tài)變量，u∈Rm為控制變量，t為任意時(shí)刻，t0為初始時(shí)刻，tf為終止時(shí)刻。Φ表示Mayer型代價(jià)函數(shù)，g表示Lagrance型代價(jià)函數(shù)。

結(jié)合本文所研究的高超聲速飛行器閉環(huán)制導(dǎo)研究問(wèn)題，將基于飛行器最省燃料和最短飛行時(shí)間兩種目標(biāo)函數(shù)的軌跡優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問(wèn)題，如下式所示。

(1)最省燃料最優(yōu)控制問(wèn)題：

minJ=-mf

(2)最短飛行時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題：

minJ=tf

3.2 最優(yōu)控制問(wèn)題的離散化

如果要對(duì)上述連續(xù)的Bolza最優(yōu)控制問(wèn)題采用直接法進(jìn)行求解，首先需要對(duì)連續(xù)最優(yōu)控制問(wèn)題進(jìn)行離散化[11]，將其轉(zhuǎn)化為有限維度的代數(shù)問(wèn)題，本文將采用基于插值多項(xiàng)式近似逼近狀態(tài)量和控制量的方法。

高超聲速飛行器的軌跡優(yōu)化問(wèn)題即為能夠達(dá)到最優(yōu)性能指標(biāo)的最優(yōu)飛行軌跡。在進(jìn)行軌跡優(yōu)化時(shí)需要將優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般形式的最優(yōu)控制問(wèn)題，接著按照上一節(jié)的計(jì)算方法對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形式的軌跡優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行離散化；最終得到關(guān)于本文所研究?jī)?nèi)容的離散形式如下。

以高超聲速飛行器上升段最省燃料問(wèn)題為例：

(1)最優(yōu)性能指標(biāo)函數(shù)離散后的表達(dá)式：

(21)

(2)動(dòng)力學(xué)微分方程離散化表達(dá)式：

(22)

(3)邊值約束離散化：

E(X0,t0,Xf,tf)=0

(23)

(4)路徑約束、狀態(tài)量和控制量約束。

離散化表達(dá)式：

(24)

其中，狀態(tài)變量Xi=[hi,Vi,θi,mi]，控制量Ui=[αi]。

為了將離散后的結(jié)果更加具體化，結(jié)合本文的研究?jī)?nèi)容，將運(yùn)動(dòng)方程離散化形式表示入下：

?

(25)

3.3 hp-自適應(yīng)偽譜法算法流程

hp自適應(yīng)策略即是求解連續(xù)最優(yōu)控制問(wèn)題時(shí)，對(duì)相應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行單元?jiǎng)澐?，每個(gè)單元再運(yùn)用偽譜法進(jìn)行離散近似和參數(shù)化，同時(shí)所分單元的數(shù)目和每個(gè)單元近似用的多項(xiàng)式的階數(shù)即配點(diǎn)數(shù)，采用一種自適應(yīng)的策略來(lái)獲得。hp-自適應(yīng)偽譜法其實(shí)就是綜合了h方法和p方法，首先將時(shí)間分段，然后對(duì)每一段繼續(xù)采用Guass偽譜法進(jìn)行離散化。

基于以上分析計(jì)算，可以進(jìn)一步得到hp-自適應(yīng)偽譜法的迭代流程圖和制導(dǎo)系統(tǒng)流程圖。

圖3 hp-自適應(yīng)偽譜法流程框圖

圖4 制導(dǎo)系統(tǒng)流程圖

4 閉環(huán)制導(dǎo)策略

如圖5所示，為飛行器整個(gè)飛行階段的閉環(huán)制導(dǎo)軌跡示意圖。整個(gè)階段根據(jù)設(shè)計(jì)策略分為n個(gè)優(yōu)化時(shí)間段，在每一個(gè)時(shí)間段內(nèi)實(shí)時(shí)運(yùn)行偽譜算法，根據(jù)慣性導(dǎo)航裝置測(cè)量的飛行器當(dāng)前姿態(tài)和位置信息生成最優(yōu)軌跡，將計(jì)算得出的控制量轉(zhuǎn)化為舵機(jī)裝置的輸出電壓，舵機(jī)偏轉(zhuǎn)控制導(dǎo)彈按照設(shè)計(jì)出的最優(yōu)軌跡飛行。在這個(gè)階段中，飛行器會(huì)由于外界干擾因素而偏離最優(yōu)軌跡，在一個(gè)解算周期內(nèi)到達(dá)如圖所示的A點(diǎn)。

當(dāng)飛行器在一個(gè)解算周期后到達(dá)圖中A點(diǎn)，飛行控制器根據(jù)測(cè)量元件輸出的飛行器當(dāng)前的飛行狀態(tài)，繼續(xù)生成控制指令，導(dǎo)引飛行器按照方案彈道飛行。整個(gè)飛行階段劃分為多個(gè)解算周期，直至到達(dá)目標(biāo)位置，滿足約束條件。

圖5 閉環(huán)制導(dǎo)原理示意圖

5 仿真驗(yàn)證

5.1 仿真條件設(shè)置

飛行器初始高度和初始速度：

(26)

終端高度和終端速度：

(27)

路徑約束參數(shù)如表1所示。

表1 路徑約束條件

5.2 最優(yōu)軌跡優(yōu)化

基于飛行器模型參數(shù)和約束條件，本節(jié)對(duì)高超聲速飛行器上升段最省燃料和最短飛行時(shí)間軌跡進(jìn)行優(yōu)化驗(yàn)證，精度要求設(shè)置為10-4。

(1)最省燃料最優(yōu)軌跡，如圖6所示。

圖6 高度、速度、過(guò)載、質(zhì)量變化對(duì)比曲線

(2)最短飛行時(shí)間最優(yōu)軌跡，如圖7所示。

圖7 高度、速度、過(guò)載、質(zhì)量變化對(duì)比曲線

從仿真結(jié)果可以分析出：

1)最省燃料最優(yōu)軌跡中，飛行器高度在大約100米時(shí)下降了一段距離，這是由于此時(shí)速度達(dá)到了4馬赫，超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)準(zhǔn)備開(kāi)始工作，由于高度繼續(xù)下降不會(huì)導(dǎo)致速度的減小，所以為了使終端燃料最多，優(yōu)化策略在保證完成終端目標(biāo)的情況下使飛行器高度有所下降。其他參數(shù)均滿足約束條件。

飛行器的總飛行時(shí)長(zhǎng)為234.65 s。

2)最短飛行時(shí)間軌跡優(yōu)化中，飛行器完終端目標(biāo)總時(shí)間為205.41 s，滿足了快速性要求，其他參數(shù)均滿足約束條件。

5.3 閉環(huán)制導(dǎo)仿真驗(yàn)證

為了更好地驗(yàn)證閉環(huán)制導(dǎo)策略的優(yōu)點(diǎn)，采用開(kāi)環(huán)制導(dǎo)方式制導(dǎo)進(jìn)行比較，以優(yōu)化飛行器最短飛行時(shí)間作為仿真條件。

(1)開(kāi)環(huán)制導(dǎo)。

所謂開(kāi)環(huán)制導(dǎo)，即整個(gè)飛行階段不考慮外界干擾因素的影響，在飛行器上升段初始時(shí)刻就優(yōu)化出一條最優(yōu)軌跡，飛行過(guò)程中以該彈道作為方案彈道的制導(dǎo)方式。

(2)閉環(huán)制導(dǎo)。

在整個(gè)飛行過(guò)程中，共分為多個(gè)解算周期，每一個(gè)解算周期的初始時(shí)刻會(huì)獲取測(cè)量元件輸出的飛行器狀態(tài)信息，根據(jù)該信息和終端目標(biāo)信息實(shí)時(shí)在一個(gè)周期內(nèi)生成一條最優(yōu)軌跡。

仿真曲線說(shuō)明如下：點(diǎn)劃線為閉環(huán)制導(dǎo)最優(yōu)曲線；虛線為閉環(huán)制導(dǎo)飛行器飛行實(shí)際曲線；點(diǎn)線為開(kāi)環(huán)制導(dǎo)飛行器飛行曲線；實(shí)線為上升段初始時(shí)刻優(yōu)化出的最優(yōu)曲線。

以升力系數(shù)拉偏為例，對(duì)本文提出的閉環(huán)制導(dǎo)策略進(jìn)行驗(yàn)證，右側(cè)的示意圖中的兩條曲線表示的是開(kāi)環(huán)制導(dǎo)和閉環(huán)制導(dǎo)與理想閉環(huán)最優(yōu)軌跡參數(shù)的誤差。

對(duì)升力系數(shù)拉偏+10%情況進(jìn)行分析。仿真結(jié)果如下圖所示。

圖8 高度變化對(duì)比曲線

圖10 質(zhì)量變化對(duì)比曲線

圖11 動(dòng)壓變化對(duì)比曲線

圖13 過(guò)載變化對(duì)比曲線

仿真結(jié)論：

(1)開(kāi)環(huán)制導(dǎo)方式下，飛行器終端高度與理想終端高度偏差約260 m，且飛行過(guò)程變化劇烈；閉環(huán)制導(dǎo)方式下飛行器高度誤差約為10 m；

(2)從速度變化曲線可以看出，開(kāi)環(huán)制導(dǎo)方式下的速度與終端任務(wù)速度偏差較大，約100 m/s，而閉環(huán)制導(dǎo)方式下的偏差為20 m/s。

(3)從質(zhì)量變化曲線可以看出，開(kāi)環(huán)制導(dǎo)和閉環(huán)制導(dǎo)方式下變化趨勢(shì)大致相同；

(4)由圖9至圖11可以看出，對(duì)于飛行過(guò)程的路徑約束，閉環(huán)制導(dǎo)方式下飛行動(dòng)壓、熱流密度和飛行過(guò)載均滿足約束條件；開(kāi)環(huán)制導(dǎo)方式下動(dòng)壓在某一階段超過(guò)了上限值，存在風(fēng)險(xiǎn)；由于飛行器每一個(gè)周期內(nèi)都會(huì)重新優(yōu)化一次飛行軌跡，所以過(guò)載變化較劇烈，但仍然滿足約束條件。

(5)從整個(gè)階段的飛行時(shí)間來(lái)看，閉環(huán)制導(dǎo)方式下的飛行時(shí)間優(yōu)于開(kāi)環(huán)制導(dǎo)；

(6)本文的仿真驗(yàn)證是在普通PC機(jī)上進(jìn)行，每個(gè)周期的閉環(huán)仿真計(jì)算時(shí)間大約為1.2 s，優(yōu)于絕大部分智能算法。

6 結(jié)論

文章通過(guò)分析高超聲速飛行器上升段的飛行狀態(tài)，提出一種基于hp-自適應(yīng)偽譜法的閉環(huán)制導(dǎo)策略，并建立了飛行器上升段的運(yùn)動(dòng)模型及約束條件模型，將最優(yōu)控制問(wèn)題中的變量離散化，將存在約束的最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問(wèn)題；同時(shí)完成開(kāi)環(huán)制導(dǎo)和閉環(huán)制導(dǎo)數(shù)字仿真對(duì)比驗(yàn)證。

仿真結(jié)果表明，文章研究的基于hp-自適應(yīng)偽譜算法閉環(huán)制導(dǎo)策略可以根據(jù)飛行器當(dāng)前狀態(tài)量在一定的解算周期內(nèi)實(shí)時(shí)在線設(shè)計(jì)最優(yōu)飛行軌跡，消除某些外界因素對(duì)飛行器軌跡造成的偏差，最終以我們期望的最優(yōu)條件和最優(yōu)速度到達(dá)期望的終端目標(biāo)位置。同時(shí)，該算法收斂時(shí)間快，具備閉環(huán)制導(dǎo)在線快速優(yōu)化的潛力。