☉江蘇省揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué) 蔡 飛

培養(yǎng)人的思維能力的數(shù)學(xué)教育往往能使人展現(xiàn)出豐富多彩且充滿活力的創(chuàng)新意識(shí)，新課標(biāo)在提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力這一目標(biāo)上的要求是比較高的，事實(shí)上，高考改革的命題趨勢(shì)也為思維能力較強(qiáng)的學(xué)生創(chuàng)造出更多施展才能的空間，解題能力是高考中思維能力的重要體現(xiàn)，因此，教師在數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)中應(yīng)善于運(yùn)用一題多法、多題共法、一題多變、一題多用、一題多聯(lián)等多種手段來促進(jìn)學(xué)生的思維提升，使學(xué)生能夠在有意義的思維訓(xùn)練中獲得思維靈活性、廣闊性、嚴(yán)謹(jǐn)性、批判性等品質(zhì)的不斷發(fā)展.

一、一題多法促進(jìn)思維靈活性的提升

例1在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A（-1，，動(dòng)點(diǎn)D滿足的最大值為______.

解法1：（聯(lián)想三角函數(shù)的有界性）設(shè)動(dòng)點(diǎn)D（3+cosθ，sinθ），則所以所以的最大值為

解法2：（聯(lián)想圓的性質(zhì)）設(shè)動(dòng)點(diǎn)D（x，y），則由1，可得（x-3）2+y2=1，因此動(dòng)點(diǎn)D的軌跡是以C（3，0）為圓心、1為半徑的圓.而是點(diǎn)D（x，y）和點(diǎn)的距離，聯(lián)想圓的性質(zhì)可得

解法3：（聯(lián)想三角不等式，當(dāng)且僅當(dāng)同向時(shí)取等號(hào)，因此的最大值為

解法4：（聯(lián)想直線與圓的位置關(guān)系）設(shè)動(dòng)點(diǎn)D（x，y），由可得則

解法5：（聯(lián)想柯西不等式）令，聯(lián)想柯西不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，化簡可得因此即的最大值為

當(dāng)然，一題多法訓(xùn)練的最終目的并不是讓學(xué)生掌握練習(xí)題的所有解法，教師應(yīng)善于在一題多法的訓(xùn)練中幫助學(xué)生學(xué)會(huì)從不同角度、方法對(duì)題目進(jìn)行審視和思考，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多方位的思考并作出及時(shí)的調(diào)整，使學(xué)生能夠在理順知識(shí)之間縱橫聯(lián)系的同時(shí)獲得求知欲的激發(fā)并展現(xiàn)出更加活躍的思維狀態(tài).

二、多題共法促進(jìn)思維廣闊性的提升

例2（1）設(shè)關(guān)于x的方程x2+2x+a=0在（0，+∞）上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍如何？

（2）設(shè)關(guān)于x的方程sin2x+2sinx+a=0有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍如何？

（3）設(shè)關(guān)于x的不等式sin2x+2sinx+a＞0有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍如何？

（4）設(shè)關(guān)于x的不等式sin2x+2sinx+a＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍如何？

例子中的（1）—（4）問雖然各以二次方程、三角方程、三角不等式的不同形式呈現(xiàn)在大家面前，但經(jīng)過對(duì)比和分析之后不難發(fā)現(xiàn)，通過兩個(gè)變量的相互關(guān)系尋找其中一個(gè)變量的取值范圍這一本質(zhì)特征是一樣的，因此，上述的小題均能用“分離法”來解決.

第（4）問略解：

不等式sin2x+2sinx+a＞0恒成立與a＞-（sinx+1）2+1對(duì)x∈R恒成立是等價(jià)的.

令f（x）=-（sinx+1）2+1，則其最大值是1，因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，+∞）.

多題共法訓(xùn)練應(yīng)建立在學(xué)生具備了一定的類比、觀察以及概括能力的基礎(chǔ)之上，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本解題技能與規(guī)律的掌握往往會(huì)在有效的多題共法訓(xùn)練中得到鞏固和提升，很多學(xué)生會(huì)獲得做一題而會(huì)一類的感悟以及求同思維的迅速發(fā)展，這對(duì)于學(xué)生思維的廣闊性的培養(yǎng)是極具意義的.

三、一題多變促進(jìn)思維嚴(yán)謹(jǐn)性的提升

例3已知a、b、c、d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證：|ac+bd|≤1.

教師在此題的教學(xué)中首先可以啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用比較法、分析法、綜合法來進(jìn)行證明，然后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)證明過程進(jìn)行反思并發(fā)現(xiàn)新的解法，在學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流的基礎(chǔ)上再將柯西不等式、三角代換、向量法、復(fù)數(shù)法、幾何法等進(jìn)行共同的分析、歸納和探究，使例題在變形、推廣的過程中獲得更多的新題.

變式1：已知a、b、c、d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證：

變式2：已知a、b、c、d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證：|ac-bd|≤1；

變式3：已知a、b、c、d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證：

變式4：已知a、b、c、d∈R，且a2+b2=m，c2+d2=n，求證：

變式5：已知a、b、c、d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1，ab+cd=1，求證：ab-cd=0；

變式6： 已知a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R，且a12+a22+a32=1，求證

變式7： 已知a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R，且a12+a22+a32=2，，求證

變式8： 已知a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R，且a12+a22+a32=m，，求證

將“原型題”作為素材并適當(dāng)?shù)馗淖儣l件或問題背景，使原問題在橫向、縱向上得到拓展與延伸，能大大提升學(xué)生對(duì)問題的認(rèn)識(shí)，辯證地分析、應(yīng)用條件的過程就是學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性大大提高的過程，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)善于運(yùn)用此類題目來進(jìn)行一題多變的訓(xùn)練以幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率.

四、一題多用促進(jìn)思維批判性的增強(qiáng)

例4設(shè)函數(shù)，證明（fx）在（0，1］上為減函數(shù)，在［1，+∞）上為增函數(shù).

這是一道簡單的證明題，此題中表現(xiàn)出“對(duì)勾”函數(shù)的單調(diào)性在求最值方面具有相當(dāng)廣泛的用途，這種函數(shù)的結(jié)論或方法在解決一類函數(shù)的最值問題中能夠發(fā)揮很好的效果.

例5（1）已知|lga-lgb|≤1，求的最值.

解析：（1）由|lga-lgb|≤1可得則

由f（x）的 單 調(diào) 性 可 得即

利用基本不等式求最值是解決此類問題中常用的方法，不過一旦取“=”這一條件并不具備時(shí)，聯(lián)想“對(duì)勾”函數(shù)的單調(diào)性來解題就是必須的了.

從不同的角度與知識(shí)點(diǎn)出發(fā)圓滿地解決同一個(gè)數(shù)學(xué)問題，思維的廣闊性與深刻性都在這一過程中得到了鍛煉與發(fā)展.W