云南省昆明市宜良縣第二中學(xué) 李春紅

初中階段求三角形面積的方法有很多，常見(jiàn)的有直接計(jì)算法與割補(bǔ)法.本文在此基礎(chǔ)上總結(jié)出一種利用坐標(biāo)計(jì)算三角形面積的方法，對(duì)涉及平面直角坐標(biāo)系中三角形面積問(wèn)題時(shí)，用這種方法計(jì)算能省時(shí)省力.

一、平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三角形的坐標(biāo)面積公式的推導(dǎo)

例1，如圖，三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)，求S△ABC.

解：過(guò)點(diǎn)A 作EF∥x軸，分別過(guò)點(diǎn)B、C作y軸的平行線交直線EF于點(diǎn)E、F，

把上式中的xAyB、xByC、 xCyA、yAxB、 yBxC、yCxA分別記為①、②、③、④、⑤、⑥，則三角形ABC的面積公式可以表示為：

如果把三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)按逆時(shí)針排序如下：

則公式S△ABC=[(①+②+③)-(④+⑤+⑥)]可以描述為：三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)逆時(shí)針排序一周，則這個(gè)三角形的面積等于“大跨度積之和”與“小跨度積之和”之差除以2.

如果把三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)按順時(shí)針排序如下：

二、三角形坐標(biāo)面積公式的應(yīng)用

(一) 求定點(diǎn)三角形的面積

例2，已知，三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2，3)、B(6，-1) 、C(4，5)，求S△ABC.

解法一(點(diǎn)的坐標(biāo)逆時(shí)針排序一周)：

△ABC公式)

解法二(點(diǎn)的坐標(biāo)順時(shí)針排序一周)：

∴S=-1[(⑥+⑤+④)-(③+②+①)](三角形坐標(biāo)面

△ABC2積公式)

=-12[(-10-4+18)-(12+30+2)]

=-12×(-40)

=20

(二) 求動(dòng)點(diǎn)三角形的面積

例3，如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線AB與拋物線y=x2+x的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A (-1，0)、B(1，2).

(1)在拋物線上是否存在點(diǎn)Q (x，y)，且-1＜x＜1，使S△ABQ最大？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)和S△ABQ的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使S△ABP=2？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)結(jié)論：存在.

理由：∵點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)，且在拋物線上，

∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=x2+x，

△ABQ三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)逆時(shí)針排序一周如下：

△ABQ積公式)

∴滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，0)，S△ABQ的最大值為1.

(2)結(jié)論：存在.

理由：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，且在拋物線上，

∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=x2+x，

以上△ABP三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)排序可能是逆時(shí)針(x＜-1或x＞1)，也可能是順時(shí)針(-1＜ x＜1)，

可得兩個(gè)方程：x2=3，x2=-1(無(wú)解)，

解x2=3，得x1=-，x2=，從而可得y1=3-，y2=3+.

∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)有兩個(gè)點(diǎn)P1(-,3-)、P2(，3+).

總之，三角形的面積用坐標(biāo)的形式公式化以后，可為學(xué)生提供解決定點(diǎn)簡(jiǎn)單問(wèn)題和動(dòng)點(diǎn)復(fù)雜問(wèn)題的通法，對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題起到事半功倍的作用.