楊海博，劉子驁，李琳

（中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十研究所，西安 710068）

0 引言

研究發(fā)現(xiàn)，混沌現(xiàn)象普遍存在于自然界之中，混沌運(yùn)動(dòng)是許多非線性系統(tǒng)的典型行為?；煦缫云鋼碛械闹T多天然優(yōu)良特性而倍受關(guān)注，并在生物學(xué)、物理學(xué)、氣象學(xué)、電子學(xué)、信息科學(xué)、地質(zhì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等眾多領(lǐng)域中得到了廣泛和成功的應(yīng)用。

自從混沌理論在微弱信號(hào)檢測(cè)方面進(jìn)行嘗試以來(lái)[1]，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者投入到該領(lǐng)域的研究之中，使得這種檢測(cè)理論得到了不斷完善和發(fā)展。文獻(xiàn) 2提出了混沌運(yùn)動(dòng)具有確定性運(yùn)動(dòng)所沒(méi)有的幾何和統(tǒng)計(jì)特征。文獻(xiàn)3利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法研究了混沌噪聲背景下目標(biāo)微弱信號(hào)的提取。文獻(xiàn)4給出了一種新方法，它運(yùn)用Duffing諧波振蕩器進(jìn)行分析并用它對(duì)頻率進(jìn)行高精度的估計(jì)。文獻(xiàn)5新三維自治混沌系統(tǒng)及其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)研究。但至今為止，對(duì)于混沌信號(hào)的時(shí)頻特性尚缺乏系統(tǒng)的研究，導(dǎo)致混沌信號(hào)和噪聲的分離“舉步維艱”。

Wigner-Ville分布是分析時(shí)變信號(hào)的重要工具[6]，常常被應(yīng)用于時(shí)變信號(hào)的處理，具有高分辨率、能量集中性和滿足時(shí)頻邊緣特性等許多優(yōu)良特性。本文對(duì)混沌信號(hào)進(jìn)行Wigner-Ville處理，研究混沌信號(hào)頻率能量分布。最后按頻率能量分布將混沌信號(hào)分為了三種類型。為選用有針對(duì)性的分離混沌信號(hào)和噪聲的方法鑒定了理論基礎(chǔ)。

1 數(shù)學(xué)模型

人們提出了大量的混沌數(shù)學(xué)模型，每一個(gè)混沌模型都有自己的“個(gè)性”，而應(yīng)用于不同方面。針對(duì)本文研究目的，僅介紹 Lorenz、Henon、Rossler三種混沌數(shù)學(xué)模型。

圖1 混沌吸引子

1.1 Henon模型

1964年，法國(guó)天文學(xué)家Henon從研究球狀星團(tuán)以及洛倫茲吸引子中得到啟發(fā)而被提出，Henon數(shù)學(xué)模型一般表達(dá)式如下：

其中，a、b為常數(shù)。

當(dāng)a、b分別取值為 1.4、0.3時(shí)，其圖像呈現(xiàn)混沌狀態(tài)，其圖像如圖1（a）。

1.2 Lorenz模型

氣象學(xué)家洛倫茲在20世紀(jì)60年代初期，對(duì)于一個(gè)強(qiáng)化的氣候模型進(jìn)行計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，該數(shù)學(xué)模型形式如下：

其中，r、σ、b為常數(shù)。

當(dāng)r、σ、b分別取值為 16、4、45.92時(shí)，其圖像呈現(xiàn)混沌狀態(tài)，其圖像如圖1（b）。

1.3 Rossler模型

Rossler吸引子由Rossler于1976年提出。該數(shù)學(xué)模型形式如下：

其中，d、e、f為常數(shù)。

當(dāng)d、e、f分別取值為0.2、0.2、5時(shí)，其圖像呈現(xiàn)混沌狀態(tài)，其圖像如圖1（c）。

2 Wigner-Ville分布

時(shí)頻分析是一類描述信號(hào)譜成分隨時(shí)間變化的研究方法，其以某種方式同時(shí)描述信號(hào)在時(shí)間和頻率的能量或者密度，最終目的是建立一種分布，以便能在時(shí)間上表示信號(hào)頻率的能量或者強(qiáng)度。

Wigner-Ville分布是時(shí)頻分析的重要理論，其具有很多優(yōu)良的性質(zhì)。對(duì)于信號(hào)x(t)，其Wigner-Ville分布（簡(jiǎn)稱為WVD）定義為：

信號(hào)x(t)的瞬時(shí)相關(guān)函數(shù)表示為：

從式（5）可以看出，信號(hào)x(t)的WVD分布是其瞬時(shí)相關(guān)函數(shù)r(t,τ)的傅利葉變換。

則式（4）也可以表示為：

對(duì)式（4）兩邊進(jìn)行積分則：

以上計(jì)算可以看出，即可得到WVDx(t,ω)在某一頻率段內(nèi)對(duì)頻率?進(jìn)行積分，結(jié)果為信號(hào)在t時(shí)刻的瞬時(shí)能量。

設(shè)信號(hào)x(t)的傅利葉變換為X(ω)，則WVD分布也可以用解析信號(hào)的頻譜表示如下：

對(duì)于式（6）兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t進(jìn)行積分：

以上計(jì)算可以看出，信號(hào)x(t)的WVD變換WVDx(t,?)在某一頻率段內(nèi)對(duì)頻率t進(jìn)行積分，結(jié)果為信號(hào)在?時(shí)刻的瞬時(shí)能量。

綜上分析表明，WVD變換是把過(guò)去某一時(shí)間信號(hào)乘以未來(lái)某一時(shí)間信號(hào)，再以時(shí)間差為自變量對(duì)兩個(gè)信號(hào)的乘積求傅利葉變換得到?？梢钥闯?，WVD不受短時(shí)傅利葉算法中時(shí)頻精度互相矛盾的限制，最大程度地利用整個(gè)時(shí)域信號(hào)，具有高度的時(shí)頻聚焦性能。對(duì)于單個(gè)信號(hào)而言，WVD在二維域中能準(zhǔn)確地反映信號(hào)能量隨時(shí)間和頻率變化的情況。單頻周期信號(hào)的WVD分布如圖2，噪聲的WVD分布如圖3。

圖2 周期信號(hào)時(shí)頻分布

圖3 噪聲時(shí)頻分布

3 混沌信號(hào)時(shí)頻特性

混沌信號(hào)頻譜是時(shí)變的，通過(guò)傅利葉變換而得到的頻譜不易分辨混沌信號(hào)頻率分布特性，這為從噪聲背景分離混沌信號(hào)帶來(lái)了極大困難。

WVD是時(shí)頻分析中的重要理論，具有良好的集聚性，可以清晰的觀察到信號(hào)頻率能量在時(shí)間軸上的分布。對(duì)于混沌信號(hào)進(jìn)行WVD變換，便可以得到混沌信號(hào)頻率能量在時(shí)間軸上的分布，分析各個(gè)混沌信號(hào)頻率能量分布規(guī)律，研究混沌信號(hào)時(shí)頻分布特性。

本文有針對(duì)性的選擇 Henon、Lorenz、Rossler三種混沌吸引子，按照式（1）、式（2）、式（3）取值，分別產(chǎn)生混沌時(shí)間序列 6000個(gè)點(diǎn)，去掉前面5000個(gè)非個(gè)點(diǎn)，利用式（4）對(duì)剩下1000個(gè)點(diǎn)進(jìn)行WVD變換，并進(jìn)行仿真分析。

Henon三維混沌吸引子通過(guò)WVD變換，時(shí)頻分布如圖4。

圖4 Henon吸引子的時(shí)頻分布

由圖4可以看出，Henon吸引子頻率能量幾乎布滿整個(gè)頻率，雜亂無(wú)章，無(wú)任何規(guī)律可循。對(duì)比圖2，可以看出Henon吸引子頻率能量分布于噪聲極為相似，所以設(shè)置數(shù)字濾波器難以分離混沌信號(hào)與噪聲。

Lorenz三維混沌吸引子通過(guò)WVD變換，時(shí)頻分布如圖5。

圖5 Lorenz吸引子的時(shí)頻分布

由圖5可以看出，Lorenz吸引子頻率能量主要分布在0～0.05Hz頻域內(nèi)的低頻帶，而且0 Hz開始到0.05Hz逐步遞減，消失的邊緣處頻率能量零散的分布，直到徹底消失。可以設(shè)置數(shù)字濾波器，濾除頻帶以外的噪聲，從而分離混沌信號(hào)與噪聲。

Rossler三維混沌吸引子通過(guò)WVD變換，時(shí)頻分布如圖6。

圖6 Rossler吸引子的時(shí)頻分布

由圖6可以看出，Rossler吸引子頻率能量分布主要分布在0～0.05Hz頻域內(nèi)的低頻帶，主要集中于一條頻率線上，并向兩邊逐漸減弱，而且零散的分布。此外，0～0.05Hz頻域以外存在極為少量的能量點(diǎn)。對(duì)比圖1，可以看出Rossler吸引子頻率能量分布與周期信號(hào)類似?？梢栽O(shè)置數(shù)字濾波器，濾除頻帶以外的噪聲，從而分離混沌信號(hào)與噪聲。

通過(guò)以上分析可以看出圖4頻帶為寬帶，與圖3噪聲信號(hào)的WVD分布極為相似，可以將其稱之為寬帶噪聲型混沌信號(hào)；圖5和圖6混沌信號(hào)的頻率能量主要集中在0～0.05Hz頻率內(nèi)，即其為低頻窄帶，此外圖5頻率能量沿0～0.05Hz頻域逐漸減弱，可以將其稱之為低頻窄帶漸近型混沌信號(hào)；圖6能量主要集中在一個(gè)頻率線上，可以將其稱之為低頻窄帶類周期型混沌信號(hào)。

4 結(jié)論

本文通過(guò)Wigner-Ville時(shí)頻分析法，研究了三種混沌信號(hào)時(shí)頻特性，證明了并非所有的混沌信號(hào)都具有窄帶性。按頻率能量分布，將混沌信號(hào)分為三種，分別為：低頻窄帶漸近型、低頻窄帶類周期型、寬帶類噪聲型。通過(guò)對(duì)混沌信號(hào)頻率能量的分類，給出了混沌信息能量的分布情況，為后續(xù)混沌信號(hào)的濾波提供基礎(chǔ)。