安徽省安慶市宿松縣第二中學(xué) (郵編：246500)

某教輔資料中有一題：用函數(shù)的單調(diào)性定義證明：a>1時(shí)，y=ax是增函數(shù).

在使用該資料的過(guò)程中，恰好碰到兩位年輕教師正在討論該題的參考答案.A教師認(rèn)為參考答案沒(méi)有問(wèn)題，B教師認(rèn)為參考答案有問(wèn)題，問(wèn)題出在參考答案使用了循環(huán)論證.并由此認(rèn)為此題不適合于高一學(xué)生做(認(rèn)為需要用導(dǎo)數(shù)證明)，因此叫學(xué)生跳過(guò)此題不做.筆者看完參考答案后，認(rèn)為兩年輕教師的看法均有不當(dāng)之處，為了說(shuō)明問(wèn)題，現(xiàn)摘錄該題所給的參考答案如下：

證明設(shè)x1、x2∈R，且x10)，

則有ax2-ax1=ax1+h-ax1=ax1(ah-1)，

因?yàn)閍>1，h>0，所以ax1>0，ah>1，

故ax2-ax1>0，即ax1

故y=ax(a>1)為R上的增函數(shù).

A、B兩位教師討論的焦點(diǎn)在由“a>1,h>0”得出“ah>1”的理由上.

B教師之所以認(rèn)為是循環(huán)論證，因?yàn)锽教師認(rèn)為參考答案是這樣得來(lái)的：因?yàn)閍>1，所以ax是增函數(shù)，又因?yàn)閔>0,所以ah>a0，即ah>1.所以是在用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性證明指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)然是循環(huán)論證.

A教師認(rèn)為結(jié)論ah>1是利用指數(shù)函數(shù)的圖象獲得的.參考答案正確.

為了搞清A、B兩位教師的看法到底有沒(méi)有問(wèn)題，先得給同學(xué)們交待一下什么是循環(huán)論證？

(1)所謂循環(huán)論證：是實(shí)質(zhì)謬誤的一種，指把尚未證明或解決的問(wèn)題放在前提中，如果你承認(rèn)了前提，就不得不承認(rèn)結(jié)論了，用以回避主題.兩個(gè)結(jié)論互為基礎(chǔ).

(2)所謂循環(huán)論證是用來(lái)證明論題的論據(jù)本身的真實(shí)性要依靠論題來(lái)證明的邏輯錯(cuò)誤.

我們把參考答案按B教師的理解整理一下思路過(guò)程即：為什么y=ax(a>1)是增函數(shù)？因?yàn)橛衋h>1(a>1,h>0).為什么ah>1，(a>1,h>0)？因?yàn)閥=ax是增函數(shù).簡(jiǎn)言之要證y=ax(a>1)是增函數(shù)，因?yàn)閥=ax(a>1)是增函數(shù).如此理解參考答案，其確實(shí)犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤！

那么A教師認(rèn)為ah>1(a>1,h>0)這個(gè)結(jié)論是根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)的圖象獲得的，并非由y=ax(a>1)的單調(diào)性獲得的，所以參考答案沒(méi)犯循環(huán)論證的錯(cuò)誤.這也有問(wèn)題嗎？這里只需向A教師提一個(gè)問(wèn)題：y=ax(a>1)的圖象你是如何畫(huà)出的？為什么這樣畫(huà)？顯然，之所以這樣連線畫(huà)圖正是利用了y=ax(a>1)的單調(diào)性.因此，A教師只是擺出了一個(gè)幌子.這樣按A教師的理解同樣可得參考答案還是使用了循環(huán)論證(A教師更應(yīng)加強(qiáng)自己的業(yè)務(wù)學(xué)習(xí)).

B教師認(rèn)為的此題不適于高一的學(xué)生做，y=ax(a>1)的單調(diào)性只能用后面要學(xué)的導(dǎo)數(shù)來(lái)證明.說(shuō)明B教師也沒(méi)認(rèn)清導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)的單調(diào)性的本質(zhì)就是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義來(lái)判斷的！如果定義都不能證明y=ax(a>1)的單調(diào)性，別的證明方法還有基礎(chǔ)嗎？

可以肯定用函數(shù)的單調(diào)性定義一定能證明：a>1時(shí)，y=ax是增函數(shù).之所以出現(xiàn)A、B兩教師的狀況，可以肯定是A、B兩位老師的理解出現(xiàn)了偏差！而不是解答錯(cuò)誤！

“因?yàn)閍>1,h>0，所以ah>1”真的只能由y=ax(a>1)的單調(diào)性獲得嗎？可不可以有別的理解？比如，這樣理解：因?yàn)閍>1,h>0,所以ah>1h=1.此處是利用不等式的性質(zhì)而得.或者利用冪函數(shù)的單調(diào)性理解：“y=xh(h>0)是增函數(shù)，又因?yàn)閍>1,所以ah>1h=1”.這兩種理解都可以呀！這樣理解的話，參考答案不就沒(méi)有問(wèn)題嗎？又何談犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤？

因此，該題學(xué)生(高一)還是可以做的，參考答案也沒(méi)有問(wèn)題.所以同學(xué)們(含教師)平時(shí)解題時(shí)不能隨便就懷疑題錯(cuò)了或解答錯(cuò)了，首先應(yīng)該懷疑自己對(duì)題意還沒(méi)理解透徹，應(yīng)該對(duì)解答再探究一下或與同學(xué)老師再交流一下.總之，凡事都別輕易下結(jié)論為好.