安徽師范大學數學與統(tǒng)計學院 (郵編：241003)

關于三角形旁切圓半徑平方的倒數和的上下界，文[1]收錄了如下結論.

定理1若ra,rb,rc,R,r分別是△ABC的頂點A，B，C所對的△ABC旁切圓半徑，外接圓半徑與內切圓半徑，∑表示循環(huán)和，則

①

本文給出上述不等式(1)的一個加強.

定理2若ra,rb,rc,R,r分別是△ABC的頂點A，B，C所對的△ABC旁切圓半徑，外接圓半徑與內切圓半徑，∑表示循環(huán)和，則

②

1 兩個引理

引理1[2]設a,b,c,s,r,R分別是△ABC的邊長、半周長、內接圓半徑與外接圓半徑，則

其中等號當且僅當三角形為正三角形時成立.

引理2[3]設a,b,c,s,r,R分別是△ABC的邊長、半周長、內切圓半徑與外接圓半徑，則

其中等號當且僅當三角形為正三角形時成立.

2 主要結論的證明

證明設△是△ABC的面積，應用三角形的面積公式Δ=(s-a)ra=(s-b)rb=(s-c)rc=sr以及恒等式∑a2=2(s2-4Rr-r2)，有

利用引理1，有

利用引理2，有

不等式②得證.

3 討論

所以，不等式②是不等式①的加強.