王德禮

安徽省宿州市蕭縣耿莊小學(xué) (郵編：235232)

初中數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)中，關(guān)于圓周角定理有一個(gè)重要的推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì)的弧也相等.這個(gè)定理又可簡記為：等角對(duì)等弧或等角對(duì)等弦.這個(gè)定理的前提條件是：“同圓或等圓中”，平時(shí)最常見的都是在同圓中來應(yīng)用，在不同的等圓中幾乎沒用過.在非同等圓中，這個(gè)定理好像無用武之地，事實(shí)并非如此.下面略舉幾例為之正名.

解析如圖2，連接DE，

因?yàn)镋是矩形ABCD邊BC的中點(diǎn)，由矩形的對(duì)稱性可知：DE=AE，

所以Rt△ABE和Rt△DCE的外接圓是等圓(直徑AE=DE)，

因?yàn)椤螪CE=∠BFE=90°，

所以∠AEB=∠CDF(即兩等圓中的等角)，

本例當(dāng)然還有其他解法，在此不作討論(下同，所有例題不談其他解法)，用“等角對(duì)等弦”來解決，新穎別致，簡潔明快！

圖3

例2如圖3，△ACB中，CA=CB，AF是高，直線l過點(diǎn)C，過A、B兩點(diǎn)向l作垂線，垂足分別為D、E，連接DF．求證：DF=BE.

解析因?yàn)椤螦DC=∠AFC=90°，

所以∠DAF+∠DCF=∠BCE+∠DCF=180°，所以∠DAF=∠BCE.

又因?yàn)镃A=CB，所以Rt△ACD和Rt△BCE的外接圓是等圓，所以DF=BE.

本例用“等角等弦”，一步到位，干脆利落，不需添加輔助線，要比其它方法來的直接.

圖4

求證：△ACD的外接圓與△BCD的外接圓的半徑相等.

這題將雙曲線、圓和直線形結(jié)合，難度較大，初看似乎無處下手.若用“等角對(duì)等弦”，則可顯示其威力非凡！

在解這道題之前，需要先介紹雙曲線的一個(gè)性質(zhì).

雙曲線等角定理雙曲線上的任意一點(diǎn)向雙曲線上一對(duì)中心對(duì)稱點(diǎn)引直線，這兩條直線與同一坐標(biāo)軸相交成等角.下面僅給出該結(jié)論的一種證法：

圖5

證明過P作x軸的垂線PH，分別過A、B向PH作垂線，垂足分別為G、H.

所以∠1=∠2；同理∠3=∠4.

圖6

例3解析如圖6，延長CA交x軸于E，延長DB交x軸交于F，記AD、BC與x軸的交點(diǎn)為G、H.

由上述雙曲線等角定理，可得∠CEH=∠CHE=∠BHF，∠DFG=∠DGF=∠AGE，所以∠CAD=∠CBD，又因?yàn)镃D=CD，所以⊙O1和⊙O2是等圓.

結(jié)論得證.

由以上幾例可以看出，“等角對(duì)等弦”，在非同等圓中大有作為，不可等閑視之.

圖7

還可以對(duì)這個(gè)定理再作進(jìn)一步推廣：

如果兩圓的相似比為k，則兩圓中相等的圓周角所對(duì)的弦之比也為k.

例4如圖7，C是線段AB上一點(diǎn)，AC=2BC，以AC、BC為邊，在AB的同側(cè)作等邊△ACD和等邊△BCE，AE、BD交于F．若CF=3，DF=a，EF=b，則a、b滿足( )

A.a=2bB.a=2b+1

C.a=2b+2 D.a=2b+3

圖8

簡析這道題的背景非常熟悉.如圖8，易證∠3=∠DAC=∠EBC=60°，所以A、C、F、D四點(diǎn)共圓，B、C、F、E四點(diǎn)共圓，且這兩圓的相似比=AC∶BC=2∶1.

因?yàn)椤?+∠CAF=∠2+∠CAF=60°，

所以∠1=∠2(即兩圓中的等角)，

所以DF=2CF，同理CF=2EF，

所以a=6，b=1.5，故選D.

用上述方法，可以解決如下問題，請(qǐng)你試一試：

圖9

如圖9，半圓O的直徑為AB，C、D是半圓O上的兩點(diǎn)，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，DG⊥OC于G.試判斷線段CE和GF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.