許森東

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院，杭州 310023)

Airy光束傳輸特性的理論和實(shí)驗(yàn)研究是近年來十分熱門的研究領(lǐng)域之一。其原因是Airy光束具有橫向自加速偏轉(zhuǎn)、長距離衍射自由、自修復(fù)等奇異的性質(zhì)。2007年11月，Siviloglou等在試驗(yàn)中觀察到了Airy光斑的傳輸，試驗(yàn)結(jié)果與理論預(yù)測十分吻合[1-2]。由此Airy光束引起了學(xué)術(shù)界的高度關(guān)注[3-7]，全球相關(guān)領(lǐng)域科研人員紛紛投入到對Airy光束的研究中去[8-10]，2008年以來發(fā)表了大量有價值的研究論文[11-13]。而光子晶體目前依然是熱門研究的人工復(fù)合電磁介質(zhì)之一。光子晶體是周期性排列的金屬或者介質(zhì)構(gòu)成的晶體，通過改變光子晶體介質(zhì)結(jié)構(gòu)和相關(guān)參數(shù)可以在光子晶體中形成完全光子禁帶。頻率在禁帶范圍內(nèi)的光波都不能在其中傳播，同時可調(diào)控光束在光子晶體中的傳輸特性[14-15]。鑒于光子晶體的這種獨(dú)特的性質(zhì)，人們可以利用光子晶體控制光以及電磁波的傳播。

圖1 一維光子晶體結(jié)構(gòu)示意 Fig.1 Structure of a one-dimensional photonic crystal

利用光子晶體可調(diào)控光束傳播的獨(dú)特性質(zhì)可以實(shí)現(xiàn)對Airy光束通過一維光子晶體中傳輸特性的調(diào)控。因此，筆者利用ABCD矩陣光學(xué)理論，推導(dǎo)出Airy光束在一維光子晶體中傳輸?shù)慕馕霰磉_(dá)式，并利用該解析表達(dá)式研究Airy光束通過一維光子晶體的傳輸特性。

1 理論與方法

1.1 一維光子晶體的ABCD矩陣

一維光子晶體的結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中n1為第一層介質(zhì)的折射率，n2為第二層介質(zhì)的折射率，l為一個周期的長度，m為重復(fù)的周期數(shù)[14]。令n1介質(zhì)層的厚度為αl，則n2介質(zhì)層的厚度為(1-α)l，α為一維光子晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)。

利用矩陣光學(xué)理論可得該一維光子晶體的變換矩陣：

(1)

式(1)中：l1和l2為折射率為n1和n2介質(zhì)的厚度。令l1=αl，l2=(1-α)l，n2=βn1，則式(1)可簡化為：

1.2 Airy光束的傳輸特性

本文研究傍軸傳輸情況，故在直角坐標(biāo)系中取z軸為光束的傳輸軸。Airy光束的光場在初始平面可表示為：

(2)

式(2)中：wx0和wy0為任意的橫向尺度；a為指數(shù)調(diào)制因子，是一個較小的正數(shù)[9-10]。Ai(·)為Airy函數(shù)，其定義為：

(3)

當(dāng)Airy光束通過一維光子晶體時，由柯林斯公式可得Airy光束的傳輸方程[16]：

(4)

E(x,y,z)=E(x)E(y)。

(5)

式(5)中：

(6)

(7)

將式(3)代入式(6)、式(7)，經(jīng)積分整理可得：

(8)

(9)

將式(8)、式(9)代入式(5)即可得到Airy光束的傳輸方程：

(10)

式(10)中：A、B和C分別為一維光子晶體光學(xué)系統(tǒng)的矩陣元。從式(10)可以看出，Airy通過一維光子晶體的傳輸特性取決于矩陣元A、B和C，但因?yàn)锳為1、C為0，因此傳輸特性完全由B決定。傳輸矩陣元B可以通過改變一維光子晶體結(jié)構(gòu)和介質(zhì)的折射率調(diào)控，故可以通過改變一維光子晶體結(jié)構(gòu)和介質(zhì)的折射率來調(diào)控Airy通過一維光子晶體的傳輸特性。

2 計算結(jié)果

根據(jù)以上分析，通過計算得到了Airy光束通過一維光子晶體的傳輸特性。Airy光束和一位光子晶體相關(guān)參數(shù)選?。簃=10，l=1 mm，n1=1.8，λ0=632.8 nm，wx0=wy0=0.05 mm，a=0.1。通過式(10)得到，改變光子晶體相關(guān)參數(shù)就可調(diào)控Airy光束通過光子晶體的光強(qiáng)和自加速。圖2為光子晶體參數(shù)β=0.1，參數(shù)α取0.3、0.5、0.7、0.9時的光強(qiáng)分布。從圖中可以看出，減小參數(shù)α的值，Airy光束將沿x-y軸對角線方向加速偏轉(zhuǎn)；參數(shù)α的值越小，Airy光束側(cè)面旁瓣的數(shù)量越多。

圖3為光子晶體參數(shù)α=0.1，參數(shù)β取0.1、0.2、0.3、0.4時的光強(qiáng)分布。從圖中可以看出，減小參數(shù)β的值，Airy光束將沿x-y軸對角線方向加速偏轉(zhuǎn)；參數(shù)β的值越小，Airy光束側(cè)面旁瓣的數(shù)量越多。該結(jié)論是合理的，因?yàn)橐痪S光子晶體的結(jié)構(gòu)參數(shù)α、β的變化使得光學(xué)傳輸矩陣改變，進(jìn)而改變了Airy光束通過一維光子晶體的傳輸特性。

圖2 β=0.1，α取0.3、0.5、0.7、0.9時Airy光束通過光子晶體的光強(qiáng)分布Fig.2 Intensity distribution of Airy beams through one -dimensional photonic crystal, when β=0.1, α being 0.3,0.5,0.7,0.9

圖3 α=0.1，β取0.1、0.2、0.3、0.4時Airy光束通過光子晶體的光強(qiáng)分布Fig.3 Intensity distribution of Airy beams through one-dimensional photonic crystal, when α=0.1, β being 0.1,0.2,0.3,0.4

3 結(jié) 語

筆者研究了Airy光束通過一維光子晶體的傳輸與調(diào)控，通過改變一維光子晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)實(shí)現(xiàn)了對Airy光束傳輸特性的計算與調(diào)控。研究結(jié)果表明，可以通過改變一維光子晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)的實(shí)現(xiàn)對Airy光束的光強(qiáng)和自加速的調(diào)控；通過傳輸介質(zhì)參數(shù)的設(shè)計實(shí)現(xiàn)對光束真正意義上的控制。此項(xiàng)研究成果將在醫(yī)學(xué)、生物科學(xué)、以及光學(xué)器件調(diào)控的設(shè)計上有著極為廣闊的應(yīng)用前景。