陳海昕，鄧凱文，李潤(rùn)澤

清華大學(xué) 航天航空學(xué)院，北京 100084

氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)作為飛行器設(shè)計(jì)的重要組成部分，復(fù)雜程度相當(dāng)高，存在大量需要考慮且互相影響的因素。在超臨界機(jī)翼優(yōu)化中，除需考慮巡航升阻力系數(shù)、升阻比、力矩系數(shù)等設(shè)計(jì)點(diǎn)性能外，抖振、阻力發(fā)散、阻力蠕增等非設(shè)計(jì)點(diǎn)動(dòng)態(tài)特性也需納入考慮范圍；同時(shí)優(yōu)化還存在一些不可忽略的約束，如機(jī)翼厚度、油箱容積、前后緣裝置；更多地，壓力分布形態(tài)、失速起始位置和形態(tài)等流動(dòng)形態(tài)的期望也應(yīng)納入考慮范圍。以上性能要求與幾何外形之間的關(guān)聯(lián)十分敏感和復(fù)雜，呈現(xiàn)強(qiáng)烈的非線性。氣動(dòng)優(yōu)化可以協(xié)調(diào)復(fù)雜的設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)和約束，提升飛行器綜合性能，近年來(lái)在飛行器設(shè)計(jì)中得到越來(lái)越廣泛、深入的使用。在C919飛機(jī)的氣動(dòng)設(shè)計(jì)中，優(yōu)化設(shè)計(jì)展現(xiàn)了巨大的優(yōu)勢(shì)和能力，獲得了良好的效果[1-2]。

在氣動(dòng)優(yōu)化方法出現(xiàn)之前，氣動(dòng)設(shè)計(jì)主要依靠風(fēng)洞試驗(yàn)和簡(jiǎn)化的理論計(jì)算，依賴設(shè)計(jì)人員的經(jīng)驗(yàn)以試湊法(Cut and Try)進(jìn)行。在復(fù)雜問(wèn)題面前，人的試湊設(shè)計(jì)常表現(xiàn)出顧此失彼、重復(fù)浪費(fèi)、搜索受認(rèn)識(shí)局限等缺陷。優(yōu)化方法則在這些問(wèn)題上相應(yīng)地展現(xiàn)出其優(yōu)勢(shì)。

gi(x)≤0i=1,2,…,Ng

hi(x)=0i=1,2,…,Nh

對(duì)氣動(dòng)優(yōu)化而言，設(shè)計(jì)變量x通常為待進(jìn)行優(yōu)化的幾何外形控制點(diǎn)坐標(biāo)、工況等，優(yōu)化目標(biāo)y通常為氣動(dòng)性能(如升阻特性等)。為消除歧義，本文所指的優(yōu)化方法是由計(jì)算機(jī)為主實(shí)現(xiàn)的、以尋優(yōu)算法配合數(shù)值模擬為主的評(píng)估手段進(jìn)行的自動(dòng)搜索尋優(yōu)。圖1給出了一個(gè)典型的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程。

基于數(shù)值模擬的氣動(dòng)優(yōu)化有著超過(guò)40年的發(fā)展，從其發(fā)展歷程來(lái)看，研究人員主要試圖解決2類問(wèn)題：① 在給定優(yōu)化問(wèn)題的情況下，研究尋優(yōu)算法等，以更省時(shí)省力、又快又好地得到最優(yōu)解，解決效率問(wèn)題。除尋優(yōu)算法本身的改進(jìn)外，典型的例子是引入代理模型和降階模型技術(shù)。② 如何合理地定義優(yōu)化問(wèn)題，運(yùn)用尋優(yōu)算法，使得到的解更符合實(shí)際的工程需求，即解決實(shí)用性問(wèn)題。多學(xué)科優(yōu)化和魯棒性優(yōu)化思想均屬此方面的努力，前者將氣動(dòng)和結(jié)構(gòu)、隱身等學(xué)科進(jìn)行綜合權(quán)衡，獲取飛機(jī)最優(yōu)綜合性能。后者通過(guò)對(duì)不確定性進(jìn)行建模以抑制工況變化帶來(lái)的性能損失。

圖2給出了氣動(dòng)優(yōu)化發(fā)展的粗略時(shí)間線。圖中：上方基本體現(xiàn)了人們改善尋優(yōu)效率的歷程，下方則體現(xiàn)了人們?cè)诮鉀Q實(shí)用性方面的努力。

圖1 氣動(dòng)優(yōu)化運(yùn)行流程Fig.1 General flowchart of aerodynamic optimization

圖2 氣動(dòng)優(yōu)化發(fā)展的時(shí)間線Fig.2 Development timeline of aerodynamic optimization

1 氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)

1.1 尋優(yōu)算法的發(fā)展歷程

氣動(dòng)優(yōu)化的應(yīng)用最早可見(jiàn)于20世紀(jì)70年代[3-7]，此時(shí)多使用小擾動(dòng)方程、全勢(shì)流等快速方法進(jìn)行氣動(dòng)評(píng)估，并結(jié)合以共軛梯度法為代表的梯度類優(yōu)化方法進(jìn)行尋優(yōu)。

在20世紀(jì)80～90年代，以遺傳算法為代表的進(jìn)化類算法，與蟻群算法、模擬退火算法等啟發(fā)式的智能優(yōu)化算法在氣動(dòng)優(yōu)化中開(kāi)始得到應(yīng)用。此類方法由于不需引入梯度等額外信息，搜索方向具有不確定性，因而也被稱為隨機(jī)優(yōu)化方法。隨機(jī)優(yōu)化方法可以構(gòu)建自動(dòng)通用的優(yōu)化框架，使得使用者可將其視為黑箱而無(wú)需了解具體的運(yùn)作細(xì)節(jié)，因而成為氣動(dòng)優(yōu)化中很受歡迎的算法。在單次目標(biāo)評(píng)估計(jì)算量不大時(shí)，如基于全勢(shì)流方程或歐拉方程進(jìn)行評(píng)估的二維優(yōu)化問(wèn)題或簡(jiǎn)單的反設(shè)計(jì)問(wèn)題中[8-11]，取得了很好的效果，簡(jiǎn)單的三維優(yōu)化問(wèn)題也可以在該框架下成功解決[1-2,12-15]。

進(jìn)化類算法以其較強(qiáng)的魯棒性，對(duì)多變量多目標(biāo)的天然適應(yīng)性，使氣動(dòng)優(yōu)化可以從單點(diǎn)、單目標(biāo)、單學(xué)科優(yōu)化自然地過(guò)渡到多點(diǎn)、多目標(biāo)、多學(xué)科優(yōu)化[16-19]。

進(jìn)化類算法盡管具有種種優(yōu)點(diǎn)，但其需要完成大量的適應(yīng)度函數(shù)分析，優(yōu)化效率較低。在復(fù)雜三維氣動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用困難重重。20世紀(jì)90年代，伴隨方法的提出[20]解決了氣動(dòng)優(yōu)化中目標(biāo)對(duì)設(shè)計(jì)變量梯度的求取問(wèn)題。通過(guò)求解伴隨場(chǎng)，伴隨方法能以低廉的計(jì)算代價(jià)求得流場(chǎng)各點(diǎn)物理量對(duì)幾何外形的敏感導(dǎo)數(shù)。因此在優(yōu)化目標(biāo)是以流場(chǎng)局部閉區(qū)間積分形式表示的情況下，可以直接應(yīng)用伴隨方法求得梯度，并使用局部?jī)?yōu)化效率強(qiáng)的、基于梯度的優(yōu)化方法進(jìn)行優(yōu)化。這使得基于雷諾平均Navier-Stokes(RANS)、大渦模擬(LES)的三維復(fù)雜外形優(yōu)化問(wèn)題不再困難[21-25]。Zingg等[26]的研究表示，梯度類方法的優(yōu)化效率可達(dá)進(jìn)化類算法的5倍，但盡管如此，梯度類方法還是受限于易陷入局部最優(yōu)且難以應(yīng)對(duì)多個(gè)目標(biāo)和約束等問(wèn)題。

代理模型方法的發(fā)展和應(yīng)用是另一個(gè)里程碑。代理模型又稱為響應(yīng)面或元模型方法，以類似擬合的方式從已知樣本集構(gòu)造簡(jiǎn)單模型替代復(fù)雜的計(jì)算流體力學(xué)(CFD)評(píng)估過(guò)程，從而顯著降低優(yōu)化過(guò)程中的計(jì)算需求，提高優(yōu)化效率和質(zhì)量。代理模型中常用的模型有二次多項(xiàng)式響應(yīng)面、Kriging響應(yīng)面、徑向基函數(shù)(Radial Basis Function, RBF)響應(yīng)面和多層感知機(jī)(Multi-Layer Perceptron, MLP)等。20世紀(jì)90年代，代理模型方法在氣動(dòng)優(yōu)化中得到了大量應(yīng)用[27-32]，一般直接利用尋優(yōu)算法在所構(gòu)造的代理模型上進(jìn)行尋優(yōu)。此類方法雖然建模時(shí)在訓(xùn)練樣本集上可以達(dá)到很低的誤差，但在未知的設(shè)計(jì)空間其誤差則無(wú)法保證，導(dǎo)致尋優(yōu)進(jìn)程很容易被誤導(dǎo)。

近年來(lái)，氣動(dòng)優(yōu)化尋優(yōu)算法的發(fā)展趨向于上述方法的改進(jìn)和運(yùn)用策略。如通過(guò)融合代理模型和降階模型簡(jiǎn)化計(jì)算量，通過(guò)融合多種精度的代理模型和降階模型進(jìn)行分層搜索以提高優(yōu)化的時(shí)間效率，通過(guò)對(duì)多目標(biāo)加權(quán)降低優(yōu)化復(fù)雜度，通過(guò)混合多種優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)局部搜索和全局搜索能力的均衡，通過(guò)將優(yōu)化分階段提高搜索效率等。這些改進(jìn)大多在具體問(wèn)題上取得了收益，但本質(zhì)都是對(duì)全局尋優(yōu)能力和局部尋優(yōu)能力進(jìn)行折中。

1.2 優(yōu)化設(shè)計(jì)的實(shí)用性改進(jìn)

如圖2所示，伴隨著尋優(yōu)算法的進(jìn)步，氣動(dòng)優(yōu)化在實(shí)用性上的發(fā)展起初主要是通過(guò)更為合理全面的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，也就是設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)與約束的設(shè)定，來(lái)更真實(shí)合理地協(xié)調(diào)設(shè)計(jì)構(gòu)型可能面對(duì)的工況和對(duì)性能的期望。文獻(xiàn)[1-2]在C919飛機(jī)超臨界機(jī)翼設(shè)計(jì)中進(jìn)行了大量的嘗試和努力，提出“多點(diǎn)優(yōu)化”、“人在回路”、“壓力分布形態(tài)約束”等策略，取得了很好的效果。

多學(xué)科優(yōu)化通過(guò)將與氣動(dòng)耦合的其他特性納入考慮范圍，以優(yōu)化算法進(jìn)行權(quán)衡尋優(yōu)，實(shí)現(xiàn)更綜合可用的設(shè)計(jì)。魯棒性優(yōu)化關(guān)注降低設(shè)計(jì)點(diǎn)性能在工況變化時(shí)的性能損失風(fēng)險(xiǎn)。一般以設(shè)計(jì)點(diǎn)鄰域內(nèi)氣動(dòng)性能的方差進(jìn)行表征[33-34]。對(duì)設(shè)計(jì)點(diǎn)鄰域進(jìn)行采樣可使用蒙特卡羅為代表的方法進(jìn)行。不難看出，多學(xué)科優(yōu)化和魯棒性優(yōu)化都強(qiáng)烈依賴更多、更為復(fù)雜的目標(biāo)和約束評(píng)估。以魯棒優(yōu)化為例，由于氣動(dòng)性能在設(shè)計(jì)點(diǎn)附近的敏感度要求大量額外的目標(biāo)評(píng)估，很多情況下只能使用代理模型方法才使魯棒性優(yōu)化得以應(yīng)用[35-43]。

為了應(yīng)對(duì)多學(xué)科優(yōu)化和魯棒性優(yōu)化中對(duì)多目標(biāo)尋優(yōu)的需要，人們發(fā)展了多目標(biāo)優(yōu)化算法。多目標(biāo)優(yōu)化研究起步于20世紀(jì)90年代，通常有2種處理方式：① 將多個(gè)目標(biāo)的加權(quán)形成單個(gè)優(yōu)化目標(biāo)；② 基于Pareto占優(yōu)準(zhǔn)則進(jìn)行真正的多目標(biāo)優(yōu)化。前者的問(wèn)題在于權(quán)重的選擇困難，且權(quán)重設(shè)置直接關(guān)系著優(yōu)化結(jié)果。后者的問(wèn)題在于其對(duì)目標(biāo)數(shù)目有嚴(yán)格限制，Pareto占優(yōu)準(zhǔn)則在目標(biāo)數(shù)目過(guò)多(≥3)時(shí)極易失效，這會(huì)使優(yōu)化停滯。

約束同樣是改善優(yōu)化結(jié)果實(shí)用性的重要手段。如利用幾何方面的相對(duì)厚度約束，確保翼型設(shè)計(jì)滿足油箱容積和結(jié)構(gòu)效率的要求。文獻(xiàn)[1-2]在設(shè)置性能和幾何約束外，還對(duì)壓力分布形態(tài)建立了復(fù)雜的約束體系，以“迫使”優(yōu)化產(chǎn)生期望的壓力分布形態(tài)。然而過(guò)多、過(guò)細(xì)的約束將造成合乎約束的初始種群難以形成、演進(jìn)困難等問(wèn)題。

為了增強(qiáng)優(yōu)化結(jié)果在實(shí)際環(huán)境下的可用性，單純依靠更為面面俱到地設(shè)置目標(biāo)、約束是存在困難的。在這種情況下想取得工程實(shí)用的解，氣動(dòng)優(yōu)化仍很大程度依賴專家干預(yù)，這就是所謂“人在回路”思想[1-2,44]。狹義來(lái)講，“人在回路”指的是由專家來(lái)監(jiān)視優(yōu)化進(jìn)程，適時(shí)刪除重復(fù)和性能較差的個(gè)體，根據(jù)自己的理解手動(dòng)添加潛在優(yōu)秀的個(gè)體，根據(jù)當(dāng)前優(yōu)化狀況和走向改變相應(yīng)的算法參數(shù)，重設(shè)和調(diào)整設(shè)計(jì)空間范圍等，對(duì)優(yōu)化進(jìn)程起到引導(dǎo)的作用。

當(dāng)然廣義來(lái)說(shuō)，專家還需在優(yōu)化前和優(yōu)化中設(shè)定和調(diào)整優(yōu)化目標(biāo)、設(shè)計(jì)變量、搜索空間、約束表達(dá)式和約束權(quán)重，并在優(yōu)化結(jié)束后對(duì)已有解進(jìn)行篩選和修改以滿足更為復(fù)雜的要求?，F(xiàn)有尋優(yōu)算法可以很容易地附加數(shù)據(jù)分析功能，如定量地計(jì)算優(yōu)化目標(biāo)和變量間的相關(guān)性，給設(shè)計(jì)人員選擇和制定優(yōu)化參數(shù)提供指導(dǎo)，形成對(duì)專家的決策輔助，幫助更好地引導(dǎo)優(yōu)化的方向，提升氣動(dòng)優(yōu)化的效率和質(zhì)量。

1.3 優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)信息的利用

目前，進(jìn)化類優(yōu)化算法可謂是一個(gè)黑箱數(shù)學(xué)游戲：給定x和y的對(duì)應(yīng)關(guān)系，調(diào)節(jié)前者得到更優(yōu)的后者，而對(duì)決定x和y之間的物理機(jī)理并不直接關(guān)心。代理模型方法同樣可以對(duì)x到y(tǒng)的單層直接映射進(jìn)行建模，代理模型對(duì)已有算例間體現(xiàn)的映射進(jìn)行了存儲(chǔ)和積累，然而它也不能推斷該映射背后的物理機(jī)理。

在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，信息是分層級(jí)的，最表層的信息是設(shè)計(jì)變量和優(yōu)化目標(biāo)的映射關(guān)系，目前所有尋優(yōu)算法都依賴這些信息進(jìn)行尋優(yōu)決策，在建立映射方面，尋優(yōu)算法相對(duì)人而言優(yōu)勢(shì)極為明顯。然而，專家相對(duì)于尋優(yōu)算法顯而易見(jiàn)的優(yōu)勢(shì)在于其知識(shí)層級(jí)、獲取利用信息的渠道和方式要更為高明。因此，面對(duì)現(xiàn)有優(yōu)化方法的能力不足，“人在回路”是一種無(wú)奈卻有益的補(bǔ)充。

相對(duì)于映射關(guān)系，氣動(dòng)設(shè)計(jì)所涉及的潛在物理知識(shí)，即流動(dòng)機(jī)理、其他學(xué)科知識(shí)、設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)等是更為高層級(jí)的信息。與尋優(yōu)算法相比，專家積累了大量此層級(jí)的知識(shí)，并能靈活地加以運(yùn)用。如何使優(yōu)化能夠利用這一層級(jí)的知識(shí)和能力，是應(yīng)該得到更多關(guān)注的問(wèn)題。

2 傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)與氣動(dòng)優(yōu)化

機(jī)器學(xué)習(xí)在過(guò)去幾十年得到了快速發(fā)展。一種較為廣泛接受的定義為：“機(jī)器學(xué)習(xí)是一個(gè)構(gòu)建和研究能從數(shù)據(jù)中進(jìn)行學(xué)習(xí)的算法的學(xué)科”。這是維基百科中關(guān)于機(jī)器學(xué)習(xí)的定義。簡(jiǎn)單而言，機(jī)器學(xué)習(xí)是數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的,用于對(duì)數(shù)據(jù)間的內(nèi)部關(guān)系進(jìn)行建模的方法。機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)包含模型定義、模型評(píng)估和模型訓(xùn)練等多個(gè)部分。大部分機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)都是“樣例學(xué)習(xí)”，即需要提供一系列樣本用于估計(jì)模型參數(shù)。在CFD中，機(jī)器學(xué)習(xí)已被應(yīng)用于湍流模型[45-66]替代等。在氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，機(jī)器學(xué)習(xí)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在代理模型(或響應(yīng)面)構(gòu)建、設(shè)計(jì)變量間關(guān)聯(lián)的探索、降階模型構(gòu)建等方面。

2.1 構(gòu)建代理模型輔助優(yōu)化

機(jī)器學(xué)習(xí)方法在氣動(dòng)優(yōu)化中最為典型的應(yīng)用是從已計(jì)算的樣本出發(fā)，基于高斯過(guò)程回歸(典型如Kriging響應(yīng)面)、多項(xiàng)式、RBF、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等構(gòu)建模型，從設(shè)計(jì)變量快速預(yù)測(cè)目標(biāo)函數(shù)，以部分或完全取代CFD分析。本文將常見(jiàn)的響應(yīng)面、代理模型及機(jī)器學(xué)習(xí)中用于回歸分析的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型統(tǒng)稱為代理模型。使用代理模型完全取代CFD過(guò)程的優(yōu)化方法通常被稱為基于代理模型的優(yōu)化(Surrogate Based Optimization, SBO)，此類方法要求已獲得一定數(shù)量的個(gè)體輸入輸出數(shù)據(jù)，用其構(gòu)建一個(gè)代理模型，再使用該代理模型替代耗時(shí)的數(shù)值評(píng)估過(guò)程進(jìn)行優(yōu)化。而使用代理模型部分取代CFD過(guò)程的優(yōu)化方法一般稱為代理模型輔助的優(yōu)化(Surrogate Aided Optimization, SAO)，或者基于代理模型的預(yù)評(píng)估(Inexact Pre-Evaluation, IPE)。在這種優(yōu)化方法中，代理模型僅作為局部搜索工具，可理解為對(duì)已計(jì)算個(gè)體進(jìn)行分析后給出優(yōu)化方向的建議，可以看做是專家歸納思考的簡(jiǎn)單抽象，通常被整合在一個(gè)更大的優(yōu)化算法框架中。

在當(dāng)前的氣動(dòng)優(yōu)化中，SBO仍是主流[42, 67-79]。韓忠華[80]綜述了Kriging代理模型在氣動(dòng)優(yōu)化中的應(yīng)用。Chen和Agarwal[67]在優(yōu)化鈍后緣翼型時(shí)使用MLP來(lái)替代部分CFD計(jì)算，在MLP預(yù)測(cè)結(jié)果和CFD計(jì)算結(jié)果偏差較大時(shí)僅使用CFD的結(jié)果。Lamarsh[68]使用MLP替代轉(zhuǎn)子葉片的動(dòng)力學(xué)評(píng)估過(guò)程，結(jié)合漸進(jìn)分析方法優(yōu)化了葉片在3種工作狀態(tài)下的馬力。Su等[69]使用MLP模型結(jié)合種群控制的遺傳算法對(duì)導(dǎo)彈的氣動(dòng)外形進(jìn)行了優(yōu)化。朱莉和高正紅[70]使用MLP代替了氣動(dòng)優(yōu)化中的CFD評(píng)估過(guò)程，并結(jié)合遺傳算法用于翼型優(yōu)化問(wèn)題。Mengistu和Ghaly[71]使用同樣的策略優(yōu)化了跨聲速?zèng)_力式渦輪機(jī)葉柵及亞聲速壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子。蒙文鞏等[72]使用相似的策略根據(jù)翼型速度和扭轉(zhuǎn)角的不確定性優(yōu)化了升阻比，并提升了其穩(wěn)健性。白俊強(qiáng)等[42]使用RBF網(wǎng)絡(luò)替代CFD評(píng)估，使用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法對(duì)一個(gè)超臨界翼型進(jìn)行了穩(wěn)健性優(yōu)化，使其氣動(dòng)特性得到明顯提高。Haryanto等[73]同樣利用MLP模型結(jié)合遺傳算法，對(duì)翼型升阻比進(jìn)行了優(yōu)化。周晨等[74]使用RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)合多島遺傳算法進(jìn)行翼型優(yōu)化，顯著提高了優(yōu)化效率。王宏亮和席光[75]使用反向傳播(BP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分別結(jié)合多目標(biāo)遺傳算法和粒子群算法對(duì)一個(gè)翼型進(jìn)行優(yōu)化，并采用多屬性決策方法對(duì)最優(yōu)解進(jìn)行挑選。Zhang等[76]使用結(jié)合分層公平競(jìng)爭(zhēng)和動(dòng)態(tài)小生境技術(shù)的遺傳算法(GA-HFCDN)優(yōu)化了一個(gè)平面葉柵，提高了約8%的升阻比，目標(biāo)評(píng)估采用基于CFD結(jié)果構(gòu)建的MLP。黃江濤等[77]使用MLP和粒子群算法針對(duì)翼梢小翼后掠角和傾斜角的不確定性對(duì)其升阻比進(jìn)行了魯棒性優(yōu)化，使最終升阻比提高了2%，飛行器整體阻力減少5 counts(count為阻力單位，無(wú)量綱量，1 count=0.000 1)。張彬乾等[78]利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代替復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)的評(píng)估，結(jié)合松散式代理模型管理框架和遺傳算法實(shí)現(xiàn)了對(duì)翼型的氣動(dòng)/隱身綜合優(yōu)化。Ju等[81]對(duì)比了MLP、RBF網(wǎng)絡(luò)和SVM模型的擬合精度(皆使用遺傳算法優(yōu)化參數(shù))，認(rèn)定SVM的精度較高，并以此基于SVM、遺傳算法和蒙特卡羅方法針對(duì)翼型表面粗糙度的不確定性對(duì)翼型升阻系數(shù)進(jìn)行了魯棒性優(yōu)化。

SBO的應(yīng)用雖然直觀，但存在一些不可忽視的問(wèn)題，如要求大量樣本構(gòu)建代理模型?？梢钥吹?，SBO優(yōu)化的例子幾乎都是樣例易于獲得的二維簡(jiǎn)單優(yōu)化問(wèn)題。另一個(gè)問(wèn)題是，單純依賴代理模型優(yōu)化會(huì)使代理模型在局部的錯(cuò)誤變化規(guī)律誤導(dǎo)優(yōu)化，以致產(chǎn)生錯(cuò)誤的優(yōu)化結(jié)果。圖3給出了一個(gè)基于代理模型的優(yōu)化結(jié)果，藍(lán)色和黃色圓點(diǎn)為2種代理模型預(yù)測(cè)得到的Pareto前緣，三角形代表這些點(diǎn)經(jīng)高精度CFD驗(yàn)證后得到的結(jié)果，可以看到其規(guī)律和分布完全不一致。

SAO將代理模型和進(jìn)化算法進(jìn)行混合，以魯棒性和全局尋優(yōu)能力強(qiáng)的進(jìn)化算法作為優(yōu)化主框架，使用CFD作為目標(biāo)評(píng)估手段，代理模型僅歸納已計(jì)算個(gè)體，提供低精度預(yù)評(píng)估，為進(jìn)化算法建議演化方向。

倪昂修等[82-83]提出了一種將NSGA-Ⅱ算法與Kriging響應(yīng)面相混合的SAO算法，方曉明[84]將該算法應(yīng)用于短艙的優(yōu)化設(shè)計(jì)中。鄧凱文和陳海昕[85-86]提出了一種基于差分進(jìn)化(DE)和RBF響應(yīng)面的算法。圖4給出了將Kriging響應(yīng)面和RBF響應(yīng)面分別與DE算法混合得到的算法(DEKrig和DERBF)優(yōu)化二維翼型時(shí)的收斂曲線對(duì)比?？梢钥吹剑鄬?duì)于單純的DE算法，SAO方法可以減少30%～50%的優(yōu)化耗時(shí)，并保證最后的解是物理和可信的。

基于SAO的優(yōu)化方法在大型客機(jī)設(shè)計(jì)中得到了深度應(yīng)用。Giannakoglou等[87]使用MLP輔助遺傳算法進(jìn)行預(yù)評(píng)估，在多個(gè)翼型優(yōu)化算例中證實(shí)該方法能顯著減少CFD評(píng)估次數(shù)。Praveen和Duvigneau[88]在粒子群算法中使用RBF響應(yīng)面進(jìn)行預(yù)評(píng)估，在機(jī)翼優(yōu)化的例子中證明，可以在保證優(yōu)化質(zhì)量的前提下顯著降低CFD等昂貴評(píng)估工具的調(diào)用次數(shù)。Asouti等[89]提出了一種基于RBF響應(yīng)面的異步SAO方法。Hacioglu[90]使用了一種組合MLP和遺傳算法的混合方法，MLP作為局部搜索工具為遺傳算法的種群填充精英個(gè)體，同時(shí)遺傳算法的優(yōu)化流程也引入了“分銷策略”(Distribution Strategies, DS)，使得算法具有更好的全局尋優(yōu)能力。Shahrokhi和Jahangirian[91]強(qiáng)調(diào)不能完全采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的估計(jì)值而使用基于正態(tài)分布采樣的樣本點(diǎn)構(gòu)建MLP，若待評(píng)估點(diǎn)設(shè)計(jì)變量多數(shù)處于正態(tài)分布均值正負(fù)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)時(shí)使用MLP估計(jì)目標(biāo)值，否則調(diào)用精確求解器(CFD)，將以上策略結(jié)合遺傳算法優(yōu)化了一個(gè)跨聲速翼型，減少了約40%的CFD調(diào)用，獲得了較好的效果。Ju和Zhang[35]使用經(jīng)遺傳算法和BP訓(xùn)練的MLP，結(jié)合蒙特卡羅方法和遺傳算法對(duì)風(fēng)力渦輪機(jī)翼型進(jìn)行了魯棒性優(yōu)化，該MLP替代了蒙特卡羅采樣頻繁的CFD計(jì)算，極大地提高了優(yōu)化效率。Pehlivanoglu和Yagiz[92]提出了一種多項(xiàng)式響應(yīng)面、RBF網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法結(jié)合的優(yōu)化框架，使用多項(xiàng)式響應(yīng)面構(gòu)建全局代理模型，將設(shè)計(jì)變量空間網(wǎng)格化，將格點(diǎn)上的精英個(gè)體加入當(dāng)代遺傳算法種群，圍繞以上個(gè)體構(gòu)造局部RBF網(wǎng)絡(luò)，在網(wǎng)絡(luò)上尋優(yōu)并將精英個(gè)體同樣加入遺傳算法種群，按照遺傳算法的步驟進(jìn)行迭代，并使用精確CFD求解器計(jì)算目標(biāo)值，該方法被應(yīng)用在翼型優(yōu)化問(wèn)題上。Iuliano和Pérez[93]提出了一種以SVM作為代理模型，使用遺傳算法為局部?jī)?yōu)化工具的混合方法，其核心思想為通過(guò)初始樣本集構(gòu)造高精度的SVM，再使用遺傳算法在SVM上尋找最優(yōu)解，將尋得的最優(yōu)解通過(guò)高精度模型(如CFD)進(jìn)行評(píng)估，而后加入樣本庫(kù)更新SVM，循環(huán)往復(fù)以上步驟。

圖3 基于代理模型的優(yōu)化示例Fig.3 Example of surrogate based optimization

圖4 代理模型輔助的優(yōu)化示例Fig.4 Example of surrogate aided optimization

不同代理模型間也可以進(jìn)行集成以提高精度和可用性。Rai[94]提出了一種結(jié)合MLP模型和多項(xiàng)式響應(yīng)面模型的復(fù)合響應(yīng)面的優(yōu)化框架，并應(yīng)用于壓氣機(jī)翼型設(shè)計(jì)，該框架根據(jù)目標(biāo)對(duì)設(shè)計(jì)變量敏感度的區(qū)別將設(shè)計(jì)變量歸納為簡(jiǎn)單和復(fù)雜2種情況，前者用多項(xiàng)式響應(yīng)面進(jìn)行擬合，后者用MLP進(jìn)行集合，采用單純形方法進(jìn)行搜索，使用兩步策略擬合出給定點(diǎn)目標(biāo)值。Papila等[95]采用上述優(yōu)化框架，將MLP模型替換為RBF網(wǎng)絡(luò)，用于壓氣機(jī)翼型設(shè)計(jì)，顯著減少了優(yōu)化計(jì)算量。Su等[96]將RBF網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行Bagging和Boosting后形成2個(gè)新網(wǎng)絡(luò)，并利用以上網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行集成，結(jié)合網(wǎng)格自適應(yīng)直接搜索方法進(jìn)行翼型優(yōu)化，結(jié)果表明，相較傳統(tǒng)遺傳算法，該方法可以顯著減少計(jì)算量。

2.2 設(shè)計(jì)變量和優(yōu)化目標(biāo)相關(guān)性分析

機(jī)器學(xué)習(xí)方法用作代理模型時(shí)主要是用于回歸預(yù)測(cè)，即關(guān)心的是模型在給定輸入時(shí)輸出的分布。有時(shí)研究者并不關(guān)心對(duì)應(yīng)于某個(gè)具體輸入其輸出是多少，只想獲得這些輸入輸出變量間的影響關(guān)系和相關(guān)性，以對(duì)精簡(jiǎn)設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)提供數(shù)據(jù)支持。以主成分分析(Principal Component Analysis,PCA)和自組織映射圖(Self-Organizing Map, SOM)為代表的機(jī)器學(xué)習(xí)方法在此方面存在大量應(yīng)用，可以很好地輔助設(shè)計(jì)人員確定設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)。

Chiba和Obayashi[97]使用SOM、方差分析(Analysis of Variance，ANOVA)和粗糙集理論(Rough Set Theory, RST)對(duì)進(jìn)化算法優(yōu)化可重用二級(jí)入軌飛行器的再入助推器機(jī)翼產(chǎn)生的數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，分析表明，SOM可以進(jìn)行各目標(biāo)間的權(quán)衡分析，也可以給出對(duì)目標(biāo)影響較大的設(shè)計(jì)變量和大致的影響規(guī)律，而ANOVA和RST都不能兼顧以上功能。Guo等[98]在優(yōu)化跨聲速軸流轉(zhuǎn)子葉片時(shí)使用SOM對(duì)幾個(gè)待選的優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行了篩選精簡(jiǎn)，使用基于Kriging響應(yīng)面的優(yōu)化方法進(jìn)行優(yōu)化，并用ANOVA分析了目標(biāo)對(duì)各設(shè)計(jì)變量的敏感度。Jung等[99]使用自適應(yīng)遺傳算法進(jìn)行翼型優(yōu)化，用SOM方法對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行了敏感度分析，發(fā)現(xiàn)翼型建模的24個(gè)PARSEC參數(shù)中起主導(dǎo)作用的有4個(gè)，即上表面前緣半徑、上下表面最大厚度處的曲率和后緣位置。司景喆和孫剛[100]使用SOM分析葉尖翼型的幾何特征和氣動(dòng)特性，利用置信度推理方法建立起幾何參數(shù)和氣動(dòng)性能的關(guān)系，給出優(yōu)化方向。Kapsoulis等[101]針對(duì)氣動(dòng)優(yōu)化等昂貴問(wèn)題可能存在的維數(shù)災(zāi)難，將PCA方法整合進(jìn)遺傳算法，在交叉和變異階段使用PCA對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行降維，在降低優(yōu)化復(fù)雜度的同時(shí)促使新個(gè)體的變化方向沿著方差最大的方向進(jìn)行，以期提高優(yōu)化效率。同時(shí)，PCA方法亦可用于降低針對(duì)高維問(wèn)題的代理模型構(gòu)建的復(fù)雜度。Toal等[102]提出了一種利用特征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition，POD)方法降維篩選設(shè)計(jì)變量的方法，即在優(yōu)秀個(gè)體幾何中將待設(shè)計(jì)的氣動(dòng)外形/幾何外形數(shù)據(jù)進(jìn)行降維，選取基矢量對(duì)應(yīng)的系數(shù)為新的設(shè)計(jì)變量以代表幾何外形，以此為基礎(chǔ)進(jìn)行優(yōu)化。

2.3 構(gòu)建降階模型

使用代理模型替代復(fù)雜的數(shù)值模擬過(guò)程的想法是比較直接的，但這種替代完全基于輸入和輸出的統(tǒng)計(jì)分析，而忽略了背后的流動(dòng)機(jī)理。為在信息分析的層次上更進(jìn)一步，另一種思路是使用機(jī)器學(xué)習(xí)方法對(duì)氣動(dòng)優(yōu)化背后主導(dǎo)的偏微分方程組(Partial Differential Equations, PDE)進(jìn)行降階，以減少其復(fù)雜度，構(gòu)建一個(gè)相對(duì)精簡(jiǎn)的降階模型(Reduced Order Model, ROM)，繼而進(jìn)行快速求解預(yù)測(cè)。這種處理手段在代理模型中引入了物理信息，被一些學(xué)者稱為基于物理的代理模型。機(jī)器學(xué)習(xí)方法在構(gòu)建降階模型方面應(yīng)用廣泛，其中最典型的手段即為PCA，或稱為POD。目前依賴降階模型進(jìn)行氣動(dòng)優(yōu)化的文獻(xiàn)多結(jié)合了代理模型方法，即不對(duì)降階后的PDE進(jìn)行迭代求解，而訓(xùn)練一個(gè)代理模型來(lái)直接預(yù)測(cè)解，然后利用這些解重構(gòu)出源方程的解(即流場(chǎng))，通過(guò)積分等手段求出關(guān)心的氣動(dòng)性能。

Legresley和Alonso[103]利用已有的計(jì)算結(jié)果，使用POD方法對(duì)Euler方程中各格點(diǎn)物理量進(jìn)行了線性降階，在不改變方程和物理量數(shù)目的情況下極大地減小了計(jì)算復(fù)雜度，將Euler方程數(shù)值求解轉(zhuǎn)化為求POD各基矢量系數(shù)使得新方程組殘差最小化的過(guò)程，使用Levenberg-Marquardt方法進(jìn)行快速求解并在翼型反設(shè)計(jì)的問(wèn)題中進(jìn)行了驗(yàn)證。Park等[104]延續(xù)了文獻(xiàn)[103]的思路，在給定設(shè)計(jì)變量參數(shù)時(shí)，不再使用梯度算法迭代求解對(duì)應(yīng)的POD基矢量的系數(shù)，而使用一個(gè)訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)直接對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè)。Thomas等[105]將基于PCA/POD的降階模型引入了三維機(jī)翼的氣動(dòng)彈性設(shè)計(jì)中，并發(fā)現(xiàn)在一組結(jié)構(gòu)參數(shù)上構(gòu)建的基矢量可以很好地應(yīng)用于另一組結(jié)構(gòu)參數(shù)上，并維持很高的精度。Agarwal和Biegler[106]發(fā)現(xiàn)使用PCA降階的模型進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，若脫離原PDE直接求得相關(guān)的系數(shù)，則這些系數(shù)很可能并不滿足源方程組，導(dǎo)致求得的解在遠(yuǎn)離樣本集合時(shí)可信度降低，據(jù)此提出了一種信賴域框架，用于引入以上脫離約束的考慮，限制優(yōu)化過(guò)程中解的搜索空間從而使最終的優(yōu)化結(jié)果更加可信且可用。Zahr和Farhat[107]應(yīng)用了思路與文獻(xiàn)[106]類似的方法，使用信賴域方法結(jié)合POD降階模型和代理模型方法進(jìn)行優(yōu)化，并額外對(duì)源方程變量的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行降階，以更好地應(yīng)用于基于梯度的方法，在亞聲速噴管外形優(yōu)化中進(jìn)行了應(yīng)用，在保持0.1%錯(cuò)誤率的同時(shí)能降低4～5倍的計(jì)算量。

PCA方法可以以很高的精度將高維流場(chǎng)變量降階到低維，圖5給出了將翼型上下表面壓力分布(400維)降至10維再恢復(fù)后的效果，實(shí)線為源壓力分布，圓點(diǎn)為恢復(fù)后的壓力分布，可以看到兩者基本是完全重合的,圖中Cp為壓力系數(shù)。

PCA方法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，效果也常常能令人滿意，但仍存在以下問(wèn)題：

1) PCA是一種線性降維方法，雖然可以使用核函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性，但由于可選用的核函數(shù)有限，因此PCA對(duì)非線性強(qiáng)變量多的PDE的降階能力不強(qiáng)。

2) PCA在降維時(shí)將輸入數(shù)據(jù)展成一維矢量，因此作為輸入的流場(chǎng)，各格點(diǎn)物理量的空間聯(lián)系和物理量間的聯(lián)系都被抹去了。

3) PCA在降維過(guò)程中對(duì)各格點(diǎn)的物理量是單獨(dú)處理的，不存在不變性，如平移不變性和縮放不變性等。

因此，使用PCA來(lái)模擬專家對(duì)流動(dòng)的理解目前來(lái)看效果是難以滿意的。更重要的是，專家具有從不同優(yōu)化問(wèn)題中提煉歸納共同點(diǎn)的能力，而PCA是問(wèn)題相關(guān)的。

圖5 PCA降維能力驗(yàn)證Fig.5 Validation of PCA based dimension reduction

3 深度學(xué)習(xí)與氣動(dòng)優(yōu)化

近10年來(lái)，以深度學(xué)習(xí)為代表的人工智能/機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)取得了令人矚目的發(fā)展和成就，在圖像分類領(lǐng)域，ImageNet 1000類圖像分類挑戰(zhàn)賽中的頂尖模型可達(dá)到約98%的準(zhǔn)確率，超過(guò)人類平均水平的95%。在游戲博弈方面，AlphaGo及后繼的AlphaGo Zero已經(jīng)能輕松擊敗人類圍棋冠軍，棋力遠(yuǎn)超頂尖棋手。深度學(xué)習(xí)技術(shù)利用海量訓(xùn)練數(shù)據(jù)，展現(xiàn)出了極為強(qiáng)大的歸納學(xué)習(xí)能力。

深度學(xué)習(xí)相對(duì)于傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)利用了更加復(fù)雜和深層次的模型結(jié)構(gòu)，并在訓(xùn)練過(guò)程上進(jìn)行了針對(duì)性的改進(jìn)，使其歸納能力得到了極大的提升，應(yīng)用范圍也更加廣闊。傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)方法由于分析歸納能力有限，依賴使用者對(duì)特征進(jìn)行精選以縮減問(wèn)題規(guī)模，因此需要大量與問(wèn)題相關(guān)先驗(yàn)的知識(shí)積淀，這樣會(huì)帶來(lái)優(yōu)化設(shè)計(jì)的諸多困難。相反地，深度學(xué)習(xí)方法擁有強(qiáng)大的歸納學(xué)習(xí)能力，能夠自主進(jìn)行特征選擇，可以從大量的候選特征中剔除無(wú)用特征，再進(jìn)行回歸和分類。

3.1 深度代理模型

深度學(xué)習(xí)較傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)擁有更為強(qiáng)大的歸納能力，因此之前傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)在氣動(dòng)優(yōu)化中扮演的角色可以替換為深度學(xué)習(xí)來(lái)進(jìn)行進(jìn)一步的增強(qiáng)。

最直觀的例子是可以利用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建深度的代理模型形成SBO或SAO。使用深度學(xué)習(xí)作為代理模型可以有以下好處：

1) 不需要對(duì)輸入特征進(jìn)行人工篩選和精簡(jiǎn)，可極大地減少對(duì)設(shè)計(jì)變量數(shù)目的限制，使得設(shè)計(jì)者能對(duì)幾何外形的坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行直接設(shè)計(jì)或使用更多的幾何控制點(diǎn)。利用深度學(xué)習(xí)技術(shù)，設(shè)計(jì)變量可以細(xì)化為幾何外形所有離散點(diǎn)的空間坐標(biāo)，實(shí)現(xiàn)精細(xì)的外形優(yōu)化。

2) 深度學(xué)習(xí)可以得到更加符合物理直覺(jué)的模型。如使用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)幾何外形坐標(biāo)點(diǎn)和氣動(dòng)性能的關(guān)系進(jìn)行建模。輸入數(shù)據(jù)是一個(gè)二階或三階張量，可以很好地保留坐標(biāo)點(diǎn)間的空間相鄰關(guān)系。同時(shí)，其特征提取過(guò)程具有空間上的平移不變性和縮放不變性。

3) 由于能夠提取更深層次的特征，因而擁有更強(qiáng)大的歸納能力。使用深度代理模型不僅可以令關(guān)心的氣動(dòng)性能，還可以令一些流場(chǎng)特征作為代理模型的輸出，如壓力分布等。

3.2 深度降階模型

可以利用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建更為復(fù)雜和精準(zhǔn)的降階模型。常用的基于PCA的降階方法存在諸多問(wèn)題：核函數(shù)單一，用于降階的特征內(nèi)部關(guān)聯(lián)(空間關(guān)聯(lián)、跨物理量關(guān)聯(lián))無(wú)法體現(xiàn)，最重要的是此類方法無(wú)法自定義降階后的低維特征，因此喪失了可解釋性。

而使用以卷積自動(dòng)編碼機(jī)(Convolutional AutoEncoder, CAE)為代表的深度學(xué)習(xí)模型可以實(shí)現(xiàn)質(zhì)量更高的模型降階和流場(chǎng)特征提取，此類方法有以下優(yōu)點(diǎn)：

1) 輸入輸出的數(shù)據(jù)形式和流場(chǎng)數(shù)據(jù)格式一致，包含結(jié)構(gòu)化的空間信息。輸入輸出張量的寬和高可以類比結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格流場(chǎng)數(shù)據(jù)的i方向和j方向網(wǎng)格數(shù)，通道數(shù)可類比各物理量分量。

2) 計(jì)算效率高，深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在使用GPU進(jìn)行運(yùn)算時(shí)計(jì)算效率非常高，比基于CPU運(yùn)算的PCA降維要快。

3) 符合物理直覺(jué)，即特征提取過(guò)程具有空間上的平移和旋轉(zhuǎn)不變性。

PCA方法可用的核函數(shù)有限，且只經(jīng)過(guò)一次非線性變換，表達(dá)能力一般。而深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由于含有很深的層次結(jié)構(gòu)，即使激活函數(shù)單一，在經(jīng)過(guò)多個(gè)層次的非線性映射后理論上可以逼近任何未知映射。

圖6展示了使用CAE對(duì)x軸方向無(wú)量綱速度u的速度場(chǎng)進(jìn)行降維并利用反向變換進(jìn)行重建的效果，并和PCA方法進(jìn)行了對(duì)比。訓(xùn)練樣本為12 000個(gè)二維翼型流場(chǎng)，包含6個(gè)通道的數(shù)據(jù)(x,y,u,v,p,T)，u和v分別為x、y方向歸一化速度，p和T分別為歸一化壓強(qiáng)和溫度，網(wǎng)格大小為256×96，降至維度為40維，信息壓縮比率約為0.027%。CAE的編碼器和解碼器采用殘差網(wǎng)絡(luò)Resnet結(jié)構(gòu)，總的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)量約為600萬(wàn)，網(wǎng)絡(luò)約有近100層。

可以看出，經(jīng)CAE提取的流場(chǎng)特征相對(duì)于PCA能夠更好地保留信息和恢復(fù)流場(chǎng)。Wang等[108]應(yīng)用長(zhǎng)短期記憶循環(huán)(Long-Short Term Memory, LSTM)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合PCA對(duì)非定常流動(dòng)控制方程進(jìn)行降階，具體處理手段為：對(duì)于0～Nt個(gè)時(shí)刻的流場(chǎng)精確解，使用PCA對(duì)其進(jìn)行降維，得到基系數(shù)，以這些系數(shù)為L(zhǎng)STM輸入，以下一時(shí)刻N(yùn)t+Δt的基系數(shù)作為輸出進(jìn)行建模。在使用該模型時(shí)，若已獲得前0～Nt時(shí)刻的流場(chǎng)，即可對(duì)下一時(shí)刻的流場(chǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè)。Kani和Elsheikh[109]使用了與文獻(xiàn)[108]一樣的策略構(gòu)建降階模型，其循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)使用了殘差神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。不過(guò)以上研究仍使用的是傳統(tǒng)PCA方法對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行降階，使用到的深層循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)僅是用于對(duì)時(shí)間序列間的關(guān)系進(jìn)行建模。以上這些方法沒(méi)有被應(yīng)用在優(yōu)化中，因此沒(méi)有形成給優(yōu)化算法提供更深層次信息的策略，仍被歸類為對(duì)表層信息的挖掘和利用。

圖6 PCA和CAE降維效果對(duì)比Fig.6 Comparison of dimension reduction performance between PCA and CAE

3.3 優(yōu)化中對(duì)深層信息的利用

在氣動(dòng)優(yōu)化中，所針對(duì)的問(wèn)題處于流場(chǎng)被Navier-Stokes方程主控的物理背景中。傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)在優(yōu)化中的行為主要是基于樣本對(duì)空間流場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行了降維。更進(jìn)一步，F(xiàn)arimani等[110]使用生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)(Generative Adversarial Network, GAN)構(gòu)建了一個(gè)能按照任意邊界條件生成滿足控制方程的二維不可壓方腔定常流動(dòng)流場(chǎng)的模型，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)流場(chǎng)控制方程的降維。利用變分自動(dòng)編碼器，生成如對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)等的深度學(xué)習(xí)生成式模型，實(shí)現(xiàn)由流場(chǎng)數(shù)據(jù)對(duì)未知的控制方程進(jìn)行建模，并根據(jù)輸入條件(邊界條件、幾何外形等)生成滿足控制方程流場(chǎng)。

綜上所述，傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)方法受限于信息處理能力，難以對(duì)優(yōu)化中的高層次信息進(jìn)行分析和歸納，并用于優(yōu)化。而即便是深度學(xué)習(xí)發(fā)展的今天，尚沒(méi)有一種行之有效的手段使其能“深度地”用于優(yōu)化中,原因在于現(xiàn)有優(yōu)化框架往往是基于設(shè)計(jì)變量和優(yōu)化目標(biāo)的。

本文認(rèn)為專家在設(shè)計(jì)中對(duì)物理信息的利用方式并不全部來(lái)自對(duì)Navier-Stokes方程的求解，更不是只著眼于氣動(dòng)性能參數(shù)，更為直接的是針對(duì)流場(chǎng)結(jié)構(gòu)(如旋渦、附面層、尾跡、激波等)進(jìn)行觀察分析，并通過(guò)修型實(shí)現(xiàn)對(duì)這些結(jié)構(gòu)的調(diào)控，獲得更全面均衡的性能。因此不妨徹底改變現(xiàn)有以性能指標(biāo)為目標(biāo)的優(yōu)化框架，而增加流場(chǎng)結(jié)構(gòu)為優(yōu)化對(duì)象。

模仿氣動(dòng)專家進(jìn)行優(yōu)化時(shí)的行為和思路，可分為如下步驟：① 判斷流場(chǎng)中存在哪些關(guān)鍵流動(dòng)結(jié)構(gòu)；② 分析這些結(jié)構(gòu)如何影響所關(guān)心的性能；③ 分析幾何外形如何影響這些流動(dòng)結(jié)構(gòu)；④ 如何合理地通過(guò)修改外形獲得所關(guān)心的性能。

以上步驟可以使用機(jī)器學(xué)習(xí)或深度學(xué)習(xí)模型進(jìn)行替代。文獻(xiàn)[111]應(yīng)用CAE(一種深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))提取流場(chǎng)的結(jié)構(gòu)特征，利用MLP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)流場(chǎng)結(jié)構(gòu)特征、設(shè)計(jì)變量、優(yōu)化目標(biāo)的關(guān)聯(lián)進(jìn)行建模。利用MLP模型，可以求得目標(biāo)函數(shù)對(duì)流場(chǎng)結(jié)構(gòu)特征及流場(chǎng)結(jié)構(gòu)特征對(duì)設(shè)計(jì)變量的梯度信息。依據(jù)這些梯度信息可對(duì)氣動(dòng)外形設(shè)計(jì)變量進(jìn)行改進(jìn)。根據(jù)上述模擬專家對(duì)流動(dòng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析利用的過(guò)程，在DE算法中，對(duì)個(gè)體進(jìn)行改進(jìn)，并引入種群實(shí)施種群引導(dǎo)，形成了一種改進(jìn)混合優(yōu)化算法。圖7和圖8對(duì)改進(jìn)算法與傳統(tǒng)DE算法進(jìn)行了對(duì)比。展示的優(yōu)化問(wèn)題是二維翼型減阻，圖7給出了優(yōu)化目標(biāo)為馬赫數(shù)Ma=0.72下總阻力的單目標(biāo)優(yōu)化解的流場(chǎng)和壓力分布對(duì)比，圖8給出了優(yōu)化目標(biāo)為Ma=0.72和Ma=0.75下總阻力的雙目標(biāo)優(yōu)化得到的Pareto前緣對(duì)比。

在圖7表征的單目標(biāo)優(yōu)化流程中，改進(jìn)混合算法得到的最優(yōu)解相比于傳統(tǒng)DE算法可進(jìn)一步減阻0.7 counts，可以看出，引入模仿專家的個(gè)體改進(jìn)方法的混合算法得到了典型的無(wú)激波、壓力分布光滑且阻力更小的翼型，而傳統(tǒng)DE算法得到的翼型表面存在輕微的曲率不連續(xù)，導(dǎo)致上翼面壓力分布出現(xiàn)振蕩，有二次加速和雙激波。這可能是由于混合算法對(duì)大量流場(chǎng)特征與氣動(dòng)性能的關(guān)系進(jìn)行了歸納，因而得出了抑制激波與光順表面壓力分布可以降低阻力的結(jié)論，因此可以在傳統(tǒng)DE算法解的基礎(chǔ)上進(jìn)一步降低阻力并避免這種不合理的壓力分布形態(tài)。而傳統(tǒng)DE算法在搜索過(guò)程中陷入了局部最優(yōu)，受限于尋優(yōu)能力難以對(duì)已得到的性能較好但流動(dòng)結(jié)構(gòu)欠佳的解進(jìn)行進(jìn)一步的改進(jìn)。

從圖8同樣可以看出，引入了流動(dòng)特征分析的混合算法得到的Pareto前緣明顯領(lǐng)先于傳統(tǒng)DE算法。從以上結(jié)果可以基本看出，對(duì)深層流動(dòng)相關(guān)信息的利用可以加快優(yōu)化速度，并提高最終解的質(zhì)量。

圖7 單目標(biāo)氣動(dòng)優(yōu)化性能對(duì)比Fig.7 Comparison of performance in single objective aerodynamic optimization

圖8 雙目標(biāo)氣動(dòng)優(yōu)化Pareto前緣對(duì)比Fig.8 Comparison of Pareto front in double objective aerodynamic optimization

4 結(jié) 論

本文總結(jié)了機(jī)器學(xué)習(xí)在氣動(dòng)優(yōu)化中應(yīng)用的歷史和現(xiàn)狀。有效地給優(yōu)化算法更多的信息用于決策是提高效率、改善效果的有效途徑。機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)，尤其是其中的深度學(xué)習(xí)技術(shù)非常適合對(duì)氣動(dòng)優(yōu)化中的數(shù)據(jù)，尤其是缺乏關(guān)注的流場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納和分析，從而對(duì)優(yōu)化起到非常好的支持作用。本文也對(duì)深度學(xué)習(xí)在氣動(dòng)優(yōu)化中可能的應(yīng)用形式進(jìn)行了探討并進(jìn)行了部分驗(yàn)證。

深度學(xué)習(xí)技術(shù)在氣動(dòng)優(yōu)化中的應(yīng)用尚處于起步階段。由于深度學(xué)習(xí)訓(xùn)練依賴大量樣本，因此存在所謂的"冷啟動(dòng)"(即在優(yōu)化初期由于樣本稀缺導(dǎo)致模型訓(xùn)練效果不佳，給順利發(fā)展到樣本充足階段帶來(lái)困難)的問(wèn)題。如果沒(méi)有在優(yōu)化前積累一定數(shù)量的樣本，對(duì)于從零開(kāi)始且樣本產(chǎn)生較為困難的優(yōu)化過(guò)程，深度學(xué)習(xí)是不便于應(yīng)用的，這也是其在氣動(dòng)優(yōu)化中應(yīng)用的最大困難。

已有的深度學(xué)習(xí)在空氣動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用多是參考其在計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域的成果,如陳海等[112]使用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)根據(jù)翼型圖像對(duì)其氣動(dòng)力系數(shù)進(jìn)行了建模，顯示獲得了較高的精度。在優(yōu)化方面,也可利用這一方法，利用流場(chǎng)后處理圖像,使用基于深度學(xué)習(xí)的物體檢測(cè)算法(檢測(cè)出圖像中給定類別的物體,進(jìn)行標(biāo)記和分類)對(duì)流場(chǎng)或流場(chǎng)圖像中的流動(dòng)結(jié)構(gòu)(如激波、旋渦和分離區(qū)等)進(jìn)行檢測(cè)識(shí)別，進(jìn)而重建流場(chǎng),分析其與幾何/性能間的關(guān)聯(lián)，從而更好地支持優(yōu)化設(shè)計(jì)。