徐 亮，朱家明，李 丹，李 薇，李春忠

(1安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院；2安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院 安徽蚌埠 233030)

貸款規(guī)模分配主要是指總行結(jié)合各地方的發(fā)展情況等因素，將本銀行一定時(shí)期的貸款總限額優(yōu)化分配給各支行，考慮使得和風(fēng)險(xiǎn)、經(jīng)濟(jì)等因素，使得總貸款的收益最大最佳分配方案.目前，商業(yè)銀行采用多種模式，既要努力使全行獲取最大收益，也要平衡各區(qū)域發(fā)展差異，調(diào)動(dòng)各單位發(fā)展積極性，同時(shí)也要對(duì)國(guó)家重大項(xiàng)目等傾斜扶持，協(xié)助實(shí)體經(jīng)濟(jì)有效發(fā)展.

目前，國(guó)內(nèi)和國(guó)外對(duì)于銀行貸款的研究主要集中于盈利和風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)化組合的貸款決策問(wèn)題.Duan Li[1]等建立了多階段均值-方差模型，研究解決當(dāng)組合風(fēng)險(xiǎn)小于目標(biāo)值時(shí)的組合優(yōu)化問(wèn)題.Puelz A V[2]以銀行現(xiàn)金流成本最小為目標(biāo)，在滿足基本兌付情況下，求得資產(chǎn)負(fù)債的隨機(jī)組合方案.劉小茂[3]等以CVaR為約束條件建立了資產(chǎn)組合優(yōu)化模型，在一定的前提下，得出有效前沿有的三種等價(jià)形式，但并未從根本上解決這個(gè)問(wèn)題.綜合來(lái)看，銀行貸款的優(yōu)化分配問(wèn)題，至今仍有較大空間等待學(xué)者進(jìn)行研究和探索.

1 數(shù)據(jù)來(lái)源及假設(shè)

文中數(shù)據(jù)來(lái)源于2018五一聯(lián)賽B題，為了便于解決問(wèn)題，提出以下幾條假設(shè)：①假設(shè)銀行除客戶存款外無(wú)其他資金來(lái)源，且不考慮備付水平.②假設(shè)銀行的產(chǎn)生利息的資產(chǎn)只有貸款，產(chǎn)生利息的負(fù)債只有存款.③假設(shè)各城市分行間的存貸款數(shù)量是各自不相關(guān)的常數(shù)，各城市的存貸款利率也是各自不相關(guān)的常數(shù).④假設(shè)發(fā)行的500億普通債所需支付給購(gòu)買者的利息可以在15年后到期時(shí)支付.⑤假設(shè)發(fā)行500億普通金融債所收存款可以全部用于發(fā)放貸款.

2 基于灰色理論及多元回歸對(duì)2018年存貸款增量的預(yù)測(cè)

2.1 研究思路

首先根據(jù)2015年-2017年各省份分行三年的存貸款數(shù)量，對(duì)其進(jìn)行求和，得到每一年該銀行的總存、貸款數(shù)量.由于銀行的存貸款歷史數(shù)據(jù)較少，符合灰色系統(tǒng)理論中灰色預(yù)測(cè)對(duì)于小樣本數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)有時(shí)，因此通過(guò)建立GM(1，1)模型對(duì)下一年的銀行存、貸款數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè).其次基于GDP、CPI、工業(yè)增長(zhǎng)值等20個(gè)宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)可能存在較高的相關(guān)性且經(jīng)濟(jì)指標(biāo)數(shù)量較多，難以處理，故選擇利用主成分分析對(duì)其降維處理，再利用新建立的變量體系和商業(yè)銀行存貸款的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，最后得到2018年存貸款的預(yù)測(cè)值，并對(duì)兩個(gè)模型產(chǎn)生的預(yù)測(cè)值進(jìn)行比較分析.為了兼顧兩個(gè)模型的優(yōu)勢(shì)，對(duì)兩個(gè)模型的結(jié)果求平均得出最終的預(yù)測(cè)結(jié)論.

2.2 研究方法

2.2.1 理論準(zhǔn)備 灰色系統(tǒng)理論是基于關(guān)聯(lián)空間、光滑離散函數(shù)等概念定義灰導(dǎo)數(shù)與灰色微分方程并且利用離散數(shù)據(jù)數(shù)列建立微分方程形式的動(dòng)態(tài)模型.由于該模型并不是客觀準(zhǔn)確的理論模型，結(jié)果是近似非唯一的，因此稱之為灰色模型，記為GM.

主成分分析也稱主分量分析.由于多個(gè)變量之間往往存在著一定程度的相關(guān)性，因此希望通過(guò)一個(gè)線性組合的形式來(lái)代替原來(lái)的變量并且盡可能快地提取信息.多元線性回歸就是通過(guò)研究數(shù)據(jù)，選取被解釋變量和解釋變量，在用解釋變量對(duì)被解釋變量進(jìn)行線性擬合.

2.2.2 模型建立 通過(guò)灰色預(yù)測(cè)和以主成分分析為輔的多元線性回歸，根據(jù)商業(yè)銀行各項(xiàng)存貸款歷史數(shù)據(jù)，利用MATLAB軟件建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)測(cè)2018年存貸款增量.

2.3 結(jié)果分析

2.3.1 灰色預(yù)測(cè) 在進(jìn)行灰度預(yù)測(cè)之前，利用數(shù)據(jù)序列求出對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)的級(jí)比：

λk=Xk-1/Xk

(1)

如果得到的級(jí)比維持在一個(gè)較為穩(wěn)定的數(shù)值的話，則認(rèn)為該數(shù)據(jù)序列可以利用GM(1，1)模型進(jìn)行灰度預(yù)測(cè).將數(shù)據(jù)序列(35370，39370，42880)帶入得到 ，認(rèn)為該序列可以進(jìn)行灰度預(yù)測(cè).

于是便進(jìn)行灰度預(yù)測(cè)的第一步：首先對(duì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行一次累加得到 再利用均值數(shù)量公式求解得到帶有一個(gè)常數(shù)序列的矩陣.其次計(jì)算得到發(fā)展系數(shù)和灰作用量，最后構(gòu)造微分方程求解即可得到關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)方程.但是值得注意的是這里的因變量是經(jīng)過(guò)依次累加之后的數(shù)值，因此在得到對(duì)應(yīng)時(shí)刻的數(shù)據(jù)時(shí)還需要進(jìn)行一階差分才能得到最終數(shù)據(jù).

通過(guò)MATLAB求解，得預(yù)測(cè)結(jié)果和銀行存貸款趨勢(shì)，如表1和圖1所示.

表1 灰色預(yù)測(cè)結(jié)果數(shù)據(jù)

圖1 A銀行存貸款趨勢(shì)圖

2.3.2 基于主成分分析的多元線性回歸 借助SPSS軟件對(duì)20個(gè)指標(biāo)進(jìn)行主成分分析，首先得到了樣本數(shù)據(jù)的Bartlett球度檢驗(yàn)的p值接近于0，可以認(rèn)為數(shù)據(jù)適合做主成分分析.觀察各主成分的貢獻(xiàn)率不難看出前四個(gè)主成分的累積方差貢獻(xiàn)率就已經(jīng)達(dá)到92.408%，因此主成分分析的結(jié)果保留四個(gè)主成分，四個(gè)主成分對(duì)于20個(gè)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的系數(shù)如表2所示.

表2 經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的主成分信息表

再利用上表中的數(shù)據(jù)求得各年份四個(gè)主成分的得分，并以四個(gè)主成分為新的解釋變量，存貸款量為被解釋變量，利用STATA軟件進(jìn)行線性回歸，再利用灰色預(yù)測(cè)的方法求得2018年的主成分取值，分別帶入到存款和貸款的回歸方程中得到2018年的存貸款預(yù)測(cè)值，如表3所示.

表3 回歸預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)

灰色預(yù)測(cè)模型和主成分回歸模型對(duì)于2018年存貸款量進(jìn)行預(yù)測(cè)，詳見(jiàn)表4.

表4 兩模型預(yù)測(cè)2018年結(jié)果對(duì)比表(億元)

上述兩個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)結(jié)果相差不大，可見(jiàn)兩個(gè)模型的可信度還是比較高的，二者求平均得到2018年的存款數(shù)量為46595.5億元，貸款數(shù)量為38356億元.同時(shí)也能看出從2018年銀行的存貸款數(shù)量呈上升趨勢(shì).

3 基于線性規(guī)劃進(jìn)行貸款規(guī)模分配以保證利潤(rùn)最大化

3.1 研究思路

文章采用灰色預(yù)測(cè)模型來(lái)對(duì)各支行的存貸款利率進(jìn)行預(yù)測(cè)，為了解決分配貸款且保證凈收入最大的問(wèn)題，把它看成一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，找到它的決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件，進(jìn)而用數(shù)學(xué)符號(hào)以及公式表達(dá)出來(lái)，并依據(jù)軟件求解.

3.2 研究方法

3.2.1 理論準(zhǔn)備 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型往往是一元或者多元、無(wú)約束或者等式約束的最優(yōu)化問(wèn)題.而在實(shí)際問(wèn)題中，所能夠提供的決策變量取值會(huì)受到很多因素的制約，從而產(chǎn)生了一般的優(yōu)化模型，統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)規(guī)劃模型.建立優(yōu)化模型需要確定優(yōu)化的目標(biāo)和尋求的決策，用x表示決策變量， 表示目標(biāo)函數(shù).在實(shí)際問(wèn)題中，一般對(duì)決策變量x的取值范圍有約束限制，記作 ， 稱為可行域.常用一組不等式(或者等式) 來(lái)界定可行域，稱為約束條件.

3.2.2 模型的建立 首先根據(jù)目的建立對(duì)應(yīng)的決策變量和目標(biāo)函數(shù)，在通過(guò)分析得到約束目標(biāo)函數(shù)的約束條件，最后利用LINGO軟件對(duì)建立的線性規(guī)劃模型進(jìn)行求解.

3.3 結(jié)果分析

不難得到為了保證利潤(rùn)的最大化，則目標(biāo)函數(shù)就為各個(gè)分行的利潤(rùn)總和.根據(jù)之前的假設(shè)，銀行的利潤(rùn)就等于(貸款×貸款利率-存款×存款利率).因此需要利用之前的存貸款利率的數(shù)據(jù)，利用灰色預(yù)測(cè)的方法預(yù)測(cè)出2018年各個(gè)分行的存貸款利率，如圖2所示.

圖2 各分行存貸款利率的預(yù)測(cè)

圖2中左側(cè)是各支行的存款利率雷達(dá)圖，右側(cè)是貸款利率的雷達(dá)圖.可以看出，2018年各支行的存款利率分布不均勻，各支行間相差較大；而貸款利率分布則較為均勻，各支行間的差距也較小.同時(shí)根據(jù)圖2就能得到組成線性規(guī)劃模型的另一個(gè)部分是約束條件.首先不難得出第一個(gè)約束條件為各分行的總貸款數(shù)量不能超過(guò)2018年的預(yù)測(cè)值.其次，通過(guò)查閱有關(guān)銀行存貸款文獻(xiàn)得知存貸比例對(duì)于貸款指標(biāo)有著重要的影響.為了銀行的發(fā)展，應(yīng)該將貸款指標(biāo)向存貸款比例較少的支行傾斜并且降低部分支行過(guò)高的存貸款比例.對(duì)存貸款比例做名詞解釋：指將銀行的貸款總額與存款總額進(jìn)行對(duì)比.由于目前企業(yè)對(duì)貸款的總需求大于銀行的供給，資本市場(chǎng)供不應(yīng)求，適當(dāng)提高貸款利率能夠平衡資本供需，有利于銀行維持正常運(yùn)營(yíng).由此可得對(duì)于銀行的存貸款比例不應(yīng)過(guò)低，有時(shí)要適當(dāng)提高.所以第二個(gè)約束條件就是對(duì)各支行的存貸款比例進(jìn)行約束.對(duì)于本身存貸款比例較低的支行要保證其存貸款比例有所提高，但文獻(xiàn)中也指出銀行的存貸款比例不應(yīng)該一次性過(guò)多增長(zhǎng)，否則會(huì)產(chǎn)生存款過(guò)少，資金無(wú)法運(yùn)轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，所以對(duì)其上限也加以限制(不超過(guò)總共的存貸款比例)；對(duì)于本身存貸款比例適中(和總共的存貸款比例相差不到0.02)的也應(yīng)該予以上升存進(jìn)其后繼地發(fā)展；對(duì)于存貸款比例較高的支行應(yīng)該保證其存貸款比例有所下降而讓其他支行有一定的發(fā)展空間，但不能降低太多，因此對(duì)其設(shè)置下限(不低于總共的存貸款比例).綜上就得到了保證利潤(rùn)最大的各支行貸款分配的線性規(guī)劃模型，并借助LINGO軟件對(duì)其進(jìn)行求解，得到結(jié)果如表5所示.

表5 各支行的理想貸款分配(單位：億元)

存貸款比例得到均衡后的各支行貸款數(shù)量總體上是增長(zhǎng)的，這和總共的貸款數(shù)量上升有關(guān)；然而各個(gè)支行間的貸款數(shù)量可能發(fā)生了變化，例如廣西省支行2017年的貸款數(shù)量占總共的2.05%，而到了2018年下降至2.01%，可見(jiàn)這是為了平衡各支行的存貸款比例所做出的貢獻(xiàn).在得到各支行貸款數(shù)量后即可計(jì)算2018年的最大凈收入約為806.8544億元.

4 基于線性規(guī)劃由存貸款增量及存貸款利率水平和普通債對(duì)各分行貸款規(guī)模的分配

4.1 研究思路

根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論可知，金融債券主要分為以下幾種：普通金融債券、累進(jìn)利息金融債券、貼現(xiàn)金融債券以及浮動(dòng)利息金融債券.商業(yè)銀行中發(fā)行的普通債類似于定期存款，是定期存單式的到期一次還本付息的債券，且利率較高.因此，根據(jù)發(fā)行普通債帶來(lái)的約束，在3.2的模型上加以優(yōu)化并求解.

4.2 研究方法

模型的準(zhǔn)備及建立同3.2.

4.3 結(jié)果分析

首先需要明確問(wèn)題中的商業(yè)銀行普通債的概念.商業(yè)銀行普通債作為銀行的一個(gè)營(yíng)銷策略，目的是為了獲得獲得更多的資金來(lái)彌補(bǔ)周轉(zhuǎn)資金的不足.商業(yè)銀行普通債作為銀行對(duì)購(gòu)買者的直接負(fù)債，意味著直接獲得資金，因此在不考慮備付水平的情況下，獲得的資金應(yīng)該直接投入到各個(gè)支行的貸款中，也就意味著銀行的總貸款量增加了.同時(shí)考慮到商業(yè)銀行普通債的利率，需要對(duì)原來(lái)的存貸款利率以普通債的利率為對(duì)照進(jìn)行更改，得到修改后的線性規(guī)劃模型.再利用LINGO軟件進(jìn)行求解，得到重新分配后的各支行貸款數(shù)量，詳見(jiàn)表6.

表6 各支行重新分配的貸款數(shù)量(單位：億元)

結(jié)合得到的貸款數(shù)量后計(jì)算得到最大凈收入約為829.7572億元.

5 基于統(tǒng)計(jì)推斷估計(jì)模型計(jì)算各分行日常經(jīng)營(yíng)所需最低備付資金

5.1 研究思路

為求最低備付資金，只需求當(dāng)該分行滿足99%置信水平下，備付資金恰好填補(bǔ)分行內(nèi)部的最小平均存款余額缺口時(shí)的數(shù)量，即為該分行滿足日常經(jīng)營(yíng)的最低備付資金.把客戶的日常存取款量視為總體，將附件中所給的部分日常數(shù)據(jù)視為樣本.因此，通過(guò)概率統(tǒng)計(jì)理論，在99%的置信區(qū)間下求取參數(shù) 的估計(jì)區(qū)間，即可求得該銀行日常經(jīng)營(yíng)活動(dòng)的最低備付資金.

5.2 研究方法

5.2.1 理論準(zhǔn)備 正態(tài)分布是由兩個(gè)參數(shù)μ，σ2構(gòu)成的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，其中，參數(shù)μ是服從成態(tài)分布的隨機(jī)變量的期望，參數(shù)σ2是這些隨機(jī)變量的方差，正態(tài)分布通常記做N(μ，σ2).表達(dá)式為：

(2)

(3)

由此可得參數(shù)μ的1-α估計(jì)區(qū)間為：

(4)

在該問(wèn)題中，X表示各支行當(dāng)日存款和取款的差值.以北京分行為例總體的方差σ2未知，題目要求為99%的置信水平，因此置信水平α=0.01.由提供的數(shù)據(jù)可得北京支行的備付金平均為1.733億元，用樣本方差s2代替總體方差σ2得到方差為3504.93，樣本容量為364，通過(guò)查表可知自由度為363，p值為0.005(雙側(cè)檢驗(yàn))的t統(tǒng)計(jì)量為2.576.代入計(jì)算得到北京分行的備付金置信區(qū)間為(-9.753，6.278).為檢驗(yàn)假設(shè)的準(zhǔn)確性，避免數(shù)據(jù)誤差，運(yùn)用SPSS軟件對(duì)北京分行的日常經(jīng)營(yíng)現(xiàn)金流量進(jìn)行t檢驗(yàn)，結(jié)果如表7所示.

表7 北京支行日常經(jīng)營(yíng)現(xiàn)金流量的t檢驗(yàn)表

可見(jiàn)現(xiàn)金流量近似現(xiàn)金流量的總體服從正態(tài)分布，當(dāng)該分行滿足99%置信水平下，備付資金恰好填補(bǔ)分行內(nèi)部的最小平均存款余額缺口時(shí)，即為該分行滿足日常經(jīng)營(yíng)的最低備付資金.根據(jù)之前得到的置信區(qū)間可得北京市的最小備付金為9.753，其他支行的最低備付金計(jì)算方法同北京支行.

5.3 結(jié)果分析

利用Excel軟件完成模型的建立過(guò)程并得到各支行的最低備付金，如表8所示.

表8 各支行的最低備付金(單位：億元)

由表8可發(fā)現(xiàn)，在經(jīng)濟(jì)較發(fā)達(dá)的北京、上海、江蘇等地的最低備付金都相對(duì)較高，而較偏遠(yuǎn)的地區(qū)其支行的最低備付金也較低.

6 結(jié)束語(yǔ)

利用灰色預(yù)測(cè)和主成分回歸相結(jié)合的方式，結(jié)合了多個(gè)面的綜合指標(biāo)對(duì)商業(yè)銀行的存貸款數(shù)量進(jìn)行了較為科學(xué)的預(yù)測(cè).在貸款分配問(wèn)題上，文章的約束條件考慮了商業(yè)銀行營(yíng)業(yè)最主要考慮的要素——存貸款比例，但這也是在各支行的貸款能夠全部貸出，且能收獲對(duì)應(yīng)利息.若要得到更為準(zhǔn)確的貸款分配應(yīng)做出如下調(diào)整：考慮各地區(qū)商業(yè)銀行的貸款數(shù)據(jù)以及收回的貸款利息，同時(shí)還要結(jié)合各地商業(yè)銀行的存款量進(jìn)行規(guī)劃模型的改進(jìn)，從而更好處理收益與風(fēng)險(xiǎn)、企業(yè)經(jīng)營(yíng)與國(guó)際政策導(dǎo)向、區(qū)域化差異與分行公平考核之間的關(guān)系.

備付金的統(tǒng)計(jì)推斷考慮到了商業(yè)銀行的原始數(shù)據(jù)，并且在較高的置信度下推斷出各支行的最低備付金，還利用統(tǒng)計(jì)軟件對(duì)結(jié)果進(jìn)行了檢驗(yàn)并且檢驗(yàn)結(jié)果滿足統(tǒng)計(jì)推斷的各項(xiàng)假設(shè)，可見(jiàn)結(jié)果較為科學(xué).同時(shí)還對(duì)存貸款預(yù)測(cè)模型中的灰色預(yù)測(cè)進(jìn)行了靈敏度檢驗(yàn)，其結(jié)果檢驗(yàn)了灰色預(yù)測(cè)模型的季度較高，預(yù)測(cè)結(jié)果也就可信.