覃桂茳，楊甲山

(梧州學院 大數(shù)據(jù)與軟件工程學院 廣西高校行業(yè)軟件技術重點實驗室, 廣西 梧州 543002)

眾所周知, 時標上的理論是Stefan Hilger于1988年在其博士論文中首次提出的, 其目的有兩個: 一是為了統(tǒng)一離散分析和連續(xù)分析的理論, 將差分方程和微分方程的很多研究統(tǒng)一到同一種框架下進行; 二是彌補了差分方程與微分方程之間的不足. 該理論提出后引起了學術界的廣泛興趣和高度重視[1-20]. 時標上動態(tài)方程的有關理論在自然科學及社會科學的許多領域都有著非常廣泛的應用, 如在自動控制技術、生物種群動力學、伺服力學、物理學(特別是核物理)、神經(jīng)網(wǎng)絡和生態(tài)領域、信息領域、經(jīng)濟領域等, 并能解決許多不同領域里差分方程及微分方程不能解決的實際問題. 近年來, 對時標上動態(tài)方程的振動和非振動等定性理論的研究已有一些結果,見文獻[1-6, 9-20].論文考慮時標上一類非常廣泛的二階Emden-Fowler型中立型變時滯泛函動態(tài)方程

[a(t)φ1(yΔ(t))]Δ+f(t,φ2(x(δ(t))))=0，t∈T

(1)

由于作者感興趣的是當t→∞時方程(1)解的振動性, 所以假設supT=∞, 設t0∈T且t0≥0， 定義時標區(qū)間[t0,∞)T=[t0,∞)∩T. 關于方程(1)的特殊情形, 已有文獻做過討論[1-2]. Saker[3]討論了當α>1為正奇數(shù)之商時方程

[a(t)(xΔ(t))α]Δ+q(t)xα(t)=0

的振動性, 但其結果對0<α≤1時不適用. 而Han等[4]和Hassan[5]解決了這個問題并改進了Agarwal和Saker等的結果. 之后,Saker等[6]研究了當α和β均為正奇數(shù)之商時方程

[a(t)(xΔ(t))α]Δ+q(t)xβ(δ(t))=0

的振動性,獲得了該方程振動的一些充分條件.同樣, Güvenilir等[10]研究了當α和β均為正奇數(shù)之商時方程

[a(t)(xΔ(t))α]Δ+q(t)xβ(τ(t))=0

的振動性,獲得了上述方程振動的一些新準則,推廣并改進了已知的一些結果.但注意到當α和β均為任意正實數(shù)時卻沒有方程的振動結果.作者研究的是更為一般的泛函動態(tài)方程(1)的振動性, 改善了對方程的條件限制, 拓廣了α和β的取值范圍, 得到了方程(1)的一些振動準則,并同時得到了現(xiàn)有文獻中相應的條件不滿足時方程(1)的新振動準則, 推廣并改進了一些已有的結果.

1 幾個引理

論文主要結論的證明需要用到如下幾個引理.

引理1[7]設函數(shù)x(t)是Δ可微的且最終為正或最終為負, 則

(2)

引理3[7]若A,B為非負實數(shù), 則當λ>1時,λABλ-1-Aλ≤(λ-1)Bλ， 等號成立當且僅當A=B.

引理4[8](時標上的H?lder不等式) 設a,b∈T且a

2 方程的振動準則

定理1若存在一個正的單調(diào)非減且Δ可微的函數(shù)ξ(t)， 使得

(3)

其中:常數(shù)k如引理2所定義, 函數(shù)

(4)

其中：c1>0,c2>0為某常數(shù). 則方程(1)在[t0,∞)T上是振動的.

證明反證法. 設x(t)是方程(1)在[t0,+∞)T上的一個非振動解,不失一般性,設x(t)>0,x(τ(t))>0,x(δ(t))>0 (t∈[t1,∞)T，t1∈[t0,∞)T)(當x(t)為最終負解時類似可證), 則y(t)>0， 并且由方程(1), 可得

[a(t)|yΔ(t)|α-1yΔ(t)]Δ≤-q(t)|x(δ(t))|β-1x(δ(t))=-q(t)(x(δ(t)))β<0，

(5)

所以a(t)|yΔ(t)|α-1yΔ(t)是嚴格單調(diào)減少的且最終定號, 斷言yΔ(t)>0(t∈[t1,∞)T). 若不然, 則?t2∈[t1,+∞)T，使得yΔ(t2)<0. 因此由(5)式,得a(t)|yΔ(t)|α-1yΔ(t)≤a(t2)|yΔ(t2)|α-1yΔ(t2)=-M(t∈[t2,∞)T),其中：M=-a(t2)|yΔ(t2)|α-1yΔ(t2)=a(t2)|yΔ(t2)|α-1[-yΔ(t2)]>0，M為常數(shù).

[1-p(t)]y(t)≤x(t).

(6)

現(xiàn)考慮Riccati變換

(7)

則w(t)>0(t∈[t1,∞)T), 注意到(5)、(6)式, 由上式,當t∈[t1,∞)T時, 有

(8)

由(2)式, 可得

(9)

于是由(8)式, 并注意到(9)式, 當0<β≤1時, 有

當β>1時, 同樣有

利用a(t)(yΔ(t))α(t∈[t1,∞)T)的單調(diào)減少性, 可得

于是, 當t∈[t1,∞)T時,有

(10)

根據(jù)α,β的取值范圍,分下列3種情形:

(i) 當β>α時, 由yΔ(t)>0，y(t)>0知, 存在常數(shù)c>0，使得yσ(t)≥y(t)≥c>0(t∈[t1,∞)T), 進一步,有(yσ(t))(β-α)/α≥c(β-α)/α=c1.

(ii) 當β=α時, 顯然(yσ(t))(β-α)/α=1.

(iii) 當β<α時, 由于a(t)(yΔ(t))α≤a(t1)(yΔ(t1))α=b(t∈[t1,∞)T), 所以yΔ(t)≤b1/αa-1/α(t)(t∈[t1,∞)T),此式兩邊從t1到t(t∈[t1,∞)T)積分, 得

于是存在充分大的T∈[t1,∞)T及常數(shù)b1>0， 使得y(t)≤b1η-1(t)(t∈[T,∞)T), 因此, 當t∈[T,∞)T時,(yσ(t))(β-α)/α≥c2(ησ(t))(α-β)/α(c2=b1(β-α)/α).

綜合以上3種情形及(4)式的第2個式子, 由(10)式, 得

(11)

另一方面, 由(9)式可得

yΔΔ(t)≤0.

(12)

事實上, 當α>1時, 由(9)式知, [(y(t))α]Δ≥α(y(t))α-1yΔ(t)， 所以 [(yΔ(t))α]Δ≥α(yΔ(t))α-1yΔΔ(t)，于是

[a(t)(yΔ(t))α]Δ=aΔ(t)(yΔ(t))α+a(σ(t))[(yΔ(t))α]Δ≥

aΔ(t)(yΔ(t))α+αa(σ(t))(yΔ(t))α-1yΔΔ(t)，

注意到aΔ(t)≥0， 容易看出yΔΔ(t)≤0.

當0<α≤1時, 由(9)式得[(y(t))α]Δ≥α(y(σ(t)))α-1yΔ(t)， 同樣可得(12)式.

(13)

將(13)式代入(11)式, 得

(14)

在引理3中, 取λ=(α+1)/α， 且

及

代入引理3中的不等式, 并整理, 得

將上式代入(14)式, 得

上式意味著

(15)

這與(3)式矛盾, 定理1證畢.

定理2若存在一個正的單調(diào)非減且Δ可微的函數(shù)ξ(t)以及常數(shù)m≥1， 使得對充分大的T≥t0， 有

(16)

其中:函數(shù)γ1(t)及常數(shù)k的定義如定理1，則方程(1)在[t0,∞)T上是振動的.

證明同定理1的證明, 可得(14)式,于是由(14)式及時標上的分部積分法, 并注意到[(t-s)m]Δs≤-m(t-σ(s))m-1(t≥σ(s),m≥1), 得

(17)

將上式代入(17)式, 得

即

上式取上極限, 即得與(16)式矛盾, 定理2證畢.

注1若定理1中的條件(3)不成立或者定理2中的條件(16)不成立(其他文獻亦有類似的條件, 如文獻[11]中的條件(4.1)或(4.8)、文獻[12]中的條件(4)或(9)、文獻[13]中的條件(8)或(9)、文獻[14]中的條件(3.1)與(3.12)或(3.16)等), 則有如下的振動準則.

定理3若存在函數(shù)ζ(t)∈Crd(T,R)及一個正的單調(diào)非減且Δ可微的函數(shù)ξ(t)， 使得對充分大的T≥t0，當u≥T≥t0時, 有

(18)

(19)

并且函數(shù)ζ(u)滿足

(20)

證明同定理1的證明, 可得(14)和(15)兩式, 于是由(15)式, 當t≥u≥T≥t0時,有

考慮到(19)式, 于是, 當u≥T時, 有

(21)

同時, 將(14)式兩邊積分, 可得

利用(21)式, 由上式可得

(22)

其中：M0=w(T)-ζ(T)是常數(shù). 至此, 可以斷言

(23)

于是由(22)式, 得

(24)

故對充分大的正整數(shù)n， 有

因此, 對ε∈(0,1)和充分大的正整數(shù)n， 容易得到

(25)

另一方面, 利用引理4(即H?lder不等式), 可得

分別利用(25)和(18)式, 由上式進一步可得

這就與(24)式矛盾,所以(23)式是成立的. 于是, 注意到(21)式的第一個式子及(23)式, 得

這與(20)式矛盾,定理3證畢.

結合定理2, 利用與定理3類似的方法, 就可得到如下的定理.

定理4若存在函數(shù)ζ(t)∈Crd(T,R)及一個正的單調(diào)非減且Δ可微的函數(shù)ξ(t)以及常數(shù)m≥1， 使得對充分大的T≥t0， 當u≥T≥t0時, 有

(26)

(27)

并且函數(shù)ζ(u)滿足

(28)

例考慮動態(tài)方程

(29)

顯然, 這是二階非線性差分方程:a(t)=t2/5，p(t)=1/2，q(t)=t-11/10，τ(t)=δ(t)=t/2且α=β=1的情形. 容易驗證

為了簡單, 現(xiàn)取ξ(t)=1， 注意到當t≥2時,有

所以, (18)～(20)式顯然均滿足, 于是, 由定理3知, 方程(29)是振動的.

注2由于

這就意味著論文定理1的條件(3)不滿足(可以驗證定理2的條件(16)也不滿足), 因此定理1、2不能用于方程(29). 同時, 現(xiàn)有文獻如[1-6,9-19]中定理的相應條件也均不滿足, 所以這些文獻中的結果均不能用于方程(29).

論文針對時標上一類非常廣泛的二階Emden-Fowler型中立型變時滯動態(tài)方程, 利用時標上的有關理論和一些分析技巧, 結合時標上的H?lder不等式, 給出了該方程振動的若干充分條件, 當T=N和T=R時得到相應的差分方程和微分方程振動的有關結論, 推廣并改進了現(xiàn)有文獻中的一些結果.