王丹丹, 謝 峰

(東華大學(xué) 理學(xué)院, 上海 201620)

奇異攝動(dòng)問題一直受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注, 利用微分不等式理論、平均化理論、邊界層理論以及其他理論研究了不同類型的奇攝動(dòng)邊值問題[1-7], 解決了許多數(shù)學(xué)、物理及生物問題。 其中, 二次奇異攝動(dòng)問題一般指二階微分方程中一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為二次, 來源于催化表面化學(xué)反應(yīng)的Weekman-Goring模型[4]。 Chang等[2]用微分不等式方法研究了幾類二次奇攝動(dòng)Robin邊值問題的邊界層現(xiàn)象。Kelly[3]研究了如下二次奇異攝動(dòng)問題:

其中，0<ε?1, 在相對(duì)較弱的條件下, 給出其解的漸近估計(jì)。

近年來，含有積分邊界條件的奇攝動(dòng)微分方程應(yīng)用于各種物理問題, 得到了一些關(guān)于解的存在性和唯一性問題的結(jié)論, 并發(fā)展了各種數(shù)值方法。例如文獻(xiàn)[8-9]利用邊界層函數(shù)法研究了幾類具有積分邊界條件的非線性奇攝動(dòng)問題。

受到以上工作的啟發(fā), 本文將研究如下具有積分邊界條件的弱二次奇攝動(dòng)邊值問題:

(1)

(2)

(3)

式中：ε>0。

作如下假設(shè):

(1)[H1]b(t,x)≥k>0, 對(duì)任意t∈[0,1],x∈R都成立;

(2)[H2]退化問題

(4)

(5)

在[0,1]上有唯一連續(xù)可微的解;

(3)[H3] 函數(shù)a(t,x)、b(t,x)、c(t,x)關(guān)于x,t連續(xù)可微,hi:R→R均為連續(xù)函數(shù),hi(0)=0, 存在正數(shù)ki(i=1,2)有k1+k2<1。σi為(0,∞)→(0,∞)上的連續(xù)非減函數(shù), 滿足σi(u)≤kiu,u>0, 且有|hi(y)-hi(z)|≤σi(y-z), ?y,z∈R,i=1,2。

1 構(gòu)造漸近解

借助合成展開法[5], 設(shè)問題(1)～(3)具有如下形式漸近解：

(6)

1.1 正則部分

由假設(shè)可知,V0(t)由退化方程式(4)～(5)決定, 且V1(t)滿足如下方程：

或者寫成如下形式：

(7)

式中:V0(t),V1(t)分別滿足邊界條件：

(8)

(9)

1.2 校正項(xiàng)

將上式代入式(1), 則Q(τ)滿足微分方程：

即有

(10)

將式(10)兩邊關(guān)于ε泰勒展開并比較等式兩邊ε的系數(shù)，可得邊界層項(xiàng)Q0、Q1和Q2分別滿足：

(11)

c(0,V0(0)+Q0)=0

(12)

(13)

為簡(jiǎn)單起見，將式(12)和(13)寫成如下形式

(14)

(15)

則Q0、Q1和Q2應(yīng)滿足的邊界條件為

(16)

(17)

(18)

由式(10)、(15)和(17)可知Q0(τ)的隱式表達(dá)式為

由假設(shè)[H3]知存在正常數(shù)C1和C2，使得式(19)成立[2]。

C1e-kt/ε≤|Q(τ)|≤C2e-kt/ε

(19)

為簡(jiǎn)單起見，將式(14)改寫為

即有

(20)

由于Q0呈指數(shù)衰減, 式(20)等號(hào)右端收斂, 利用常數(shù)變易公式可得

由于Q0呈指數(shù)衰減, 則Q1呈指數(shù)衰減[5], 同理易知Q2也呈指數(shù)衰減。

由此得問題(1)～(3)的形式漸近解為

式中：N為充分大的正數(shù)。

2 主要結(jié)論及證明

引理2.1(不等式理論[9])假設(shè)條件[H3]成立, 在[0,1]上存在兩個(gè)函數(shù)α(t)和β(t),其中,α(t)≤β(t),且分別滿足不等式：

和

則邊值問題(1)～(3)存在一個(gè)解x(t),使得

α(t)≤x(t)≤β(t),t∈[0,1]

且當(dāng)α(t)和β(t)滿足上述條件時(shí), 分別稱為問題(1)～(3)的上下解。

定理2.2假設(shè)[H1]～[H3]成立, 則邊值問題(1)～(3)存在解x(t), 且當(dāng)ε→0時(shí),在[0,1]上有

證明由解的構(gòu)造及假設(shè)[H1]～[H3]知存在正數(shù)M和L使得

選取輔助函數(shù)

滿足

令

由α(t)和β(t)的定義顯然有

及

同理可得

由引理2.1可知問題(1)～(3)存在一個(gè)解x(t)滿足α(t)≤x(t)≤β(t)。 定理2.2證畢。

3 例 子

考慮如下具有左邊界層的奇攝動(dòng)問題:

其精確解為

其中，c1和c2滿足

由漸近解的構(gòu)造可得其零階近似解為

或

即關(guān)于ε的漸近展開和形式漸近解完全一致。