□文/重慶市南岸區(qū)天臺(tái)崗小學(xué)校 鄒冰秋

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。由此可見：數(shù)學(xué)研究的問題就是數(shù)與形這兩方面的問題，所以“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中最基本的兩個(gè)研究對(duì)象。他們分別是數(shù)量關(guān)系和空間形式的體現(xiàn)，兩者看似對(duì)立卻又相互統(tǒng)一，在一定的條件下還可相互轉(zhuǎn)化。數(shù)與形之間的關(guān)系叫做“數(shù)形結(jié)合”?！皵?shù)形結(jié)合”既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法。主要包含了兩方面內(nèi)容：“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”。利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解決數(shù)學(xué)問題不僅能使復(fù)雜、抽象、枯燥、無味的數(shù)學(xué)問題變得簡單、直觀、有趣、生動(dòng)，而且還助于學(xué)生理解題目的含義，有利于學(xué)生分析題目中顯性和隱性條件的聯(lián)系，有利于拓寬學(xué)生的解題的思路，所以運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想解決問題在數(shù)學(xué)中有著重要的指導(dǎo)意義。那么在現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中哪些內(nèi)容體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”思想？“數(shù)形結(jié)合”思想在教學(xué)中有什么作用？筆者認(rèn)為可從以下幾個(gè)方面來分析：

一、 數(shù)形結(jié)合思想，讓“粗淺”變“深刻”

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)方式大多以情景為主，許多學(xué)生在閱讀教材時(shí)被情景吸引，不能對(duì)情景背后所蘊(yùn)含的知識(shí)本質(zhì)進(jìn)行分析和理解。通過數(shù)形結(jié)合可以將情景中的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行提煉，讓看似粗淺的問題變?yōu)樯羁獭?/p>

例如：在數(shù)學(xué)人教版教材六年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》時(shí)，由于學(xué)生在前一節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了《求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少？》即整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的含義及方法，學(xué)生通過遷移、類推的方法能計(jì)算出分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的結(jié)果，但這僅僅只是計(jì)算方法的求解，對(duì)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的含義及為什么要這樣計(jì)算并沒有真正的凸顯，所以教材把利用“數(shù)形結(jié)合”的方式對(duì)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的含義進(jìn)行了凸顯。

例題為：李伯伯家有一塊1/2公頃的地，其中的1/5種土豆，種土豆的面積是多少公頃？根據(jù)題意本題也就是1/2公頃的1/5是多少？列式為1/2×1/5=？根據(jù)整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的方法可得：

從上圖清晰的表達(dá)出：

通過“數(shù)形結(jié)合”我們可以清晰的知道：求1/2的1/5所表示的含義，通過含義我們理解了算理，有利于加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)含義和算理的理解，使原本粗淺的知識(shí)變得深刻。

二、數(shù)形結(jié)合思想，讓“模糊”變“清晰”

據(jù)研究表明：小學(xué)生的思維以具體形象思維為主，特別是小學(xué)一、二年級(jí)的學(xué)生，而且他們的已有認(rèn)知有限，對(duì)于某些抽象的概念認(rèn)識(shí)比較困難，而數(shù)學(xué)卻是以抽象為核心的學(xué)科，所以數(shù)學(xué)教材中的某些知識(shí)中對(duì)于小學(xué)生來說具有一定程度的模糊性和不易理解性。利用“數(shù)形結(jié)合”的思想和方法能使這些模糊的、難理解的知識(shí)轉(zhuǎn)化為清晰、具體的知識(shí)，便于學(xué)生理解與掌握。

例如，人教版教材在二年級(jí)（上冊(cè)）《認(rèn)識(shí)乘法》一課中，教材出現(xiàn)了如下主題圖：

通過分析得出：教材調(diào)動(dòng)了學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)——看圖列式，并利用數(shù)形結(jié)合的思想直觀、形象、生動(dòng)的展示出了情景，引導(dǎo)學(xué)生列出加數(shù)相同的算式：3+3+3+3+3=15由此讓學(xué)生初步感知乘法由來。教材運(yùn)用數(shù)與形相結(jié)合的方式，降低了學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的難度。在實(shí)際教學(xué)中教師運(yùn)用多媒體技術(shù)連續(xù)展現(xiàn)一架小飛機(jī)上有三人，然后依次出現(xiàn)這樣的第二架飛機(jī)，第三架飛機(jī)……，一直到第五飛機(jī)，提問：一共有多少人呢？學(xué)生用同數(shù)相加的方法來列式。接著，教師繼續(xù)出示多架小飛機(jī)的畫面提問：“如果有6架飛機(jī)，10架飛機(jī)，甚至100架呢，怎么辦？”，學(xué)生驚呆了：?。√嗔?，太難寫了，寫不完?！边@時(shí)，建立乘法的概念水到渠成！教師順勢(shì)而導(dǎo)：我們可以用乘法來表示。然后揭示課題“認(rèn)識(shí)乘法”。3+3+3+3+3=15也就是5個(gè)3相加，可寫成5×3=15，然后用形表示出5、3和15分別表示圖中哪些含義。在此數(shù)形結(jié)合不僅使學(xué)生理解了乘法的意義，體會(huì)到乘法產(chǎn)生的必要性，而且懂得了乘法就是求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡便運(yùn)算。

由此可見整個(gè)數(shù)形結(jié)合的引導(dǎo)過程。首先，教材利用學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想和方法使學(xué)生體會(huì)到“乘法”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)形成過程；其次，教師對(duì)教學(xué)材料的加工（把5架飛機(jī)增加到6架、30架、100架……）使學(xué)生充分感悟到在加數(shù)相同且數(shù)量較多時(shí)，列加法算式的不便，促使乘法產(chǎn)生的必要性；最后，學(xué)生理解乘法的含義，且通過比較，感悟到乘法的簡便。從學(xué)生思維活動(dòng)過程來看，經(jīng)歷了從具體到抽象，一般到特殊的過程。由此證明：在教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，能夠把對(duì)學(xué)生比較模糊的數(shù)學(xué)知識(shí)變得讓學(xué)生看得見，摸得著，從而清晰、深刻理解知識(shí)的本質(zhì)，讓看似模糊的知識(shí)變得清晰。

三、數(shù)形結(jié)合思想，讓“抽象”變“直觀”

在教學(xué)中，為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的有用，教師通常以實(shí)際生活中的問題進(jìn)行教學(xué)，但通常現(xiàn)實(shí)生活中的問題都不易于理解，所以教師常常將生活問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化，將它們轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題，再將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)換成用符號(hào)或其他圖形表示的題目，這樣易于理解題意，方便我們解題，并且還能拓寬我們解題的思路。所以教師要培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再將數(shù)學(xué)問題抽象為圖形或符號(hào)表達(dá)的形式，這樣當(dāng)我們把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，再與形結(jié)合起來，很多問題就迎刃而解了。

例如：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)內(nèi)容（如下圖）：

像這樣借助直觀的線段圖把復(fù)雜的數(shù)學(xué)行程問題變得簡明、形象，有利于學(xué)生對(duì)題目含義的理解，能幫助學(xué)生能直觀地建立“小林走的路程+小云走的路程=4.5千米”這一數(shù)量關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上拓寬了學(xué)生解決問題的思路。本題通過揚(yáng)數(shù)之長，取形之優(yōu)，使數(shù)量關(guān)系與空間形式相得益彰，使抽象的數(shù)學(xué)問題變得直觀、形象，加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解從而解決問題。

通過對(duì)教材的分析，可以看出數(shù)形結(jié)合的思想與方法幾乎貫穿于整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教材之中。數(shù)形結(jié)合通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，將復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，讓數(shù)學(xué)知識(shí)由粗淺變得深刻，由模糊變得清晰，由抽象變直觀，從而使學(xué)生深刻的理解知識(shí)的本質(zhì)，拓寬了學(xué)生解決問題的思路。