（大連民族大學 計算機科學與工程學院，遼寧 大連 116605）

無窮小有很多的性質(zhì)，它在數(shù)學運算中起了重要作用，其中用等價無窮小代換法求極限是突出的表現(xiàn)[1]. 設(shè)α、β為兩個無窮小，有如下定理：

定理1[2]設(shè)α～α′,β～β′且存在，則.

當α或β為一個和差形式的多項式時，它們的等價無窮小往往不能直接求出，這時可使用等價無窮小代換多項式中各個單項來求極限. 比如求，由sin5x～5x,tan3x～3x,，有

然而此法并非萬能，它的使用是有條件的，稍不注意就會計算錯誤[3]，原因是對α、β各個單項用等價無窮小代換后得到的式子與α、β不互為等價無窮小[4]. 比如求，用sinx-sinx替換sinx-tanx，可得. 而sinx-sinx與sinx-tanx不互為等價無窮小，故出錯. 然而sinx-sinx與sinx-tanx不互為等價無窮小無法從直觀上得出，故很多教科書都存在只能代換極限里分子、分母中的乘積因子，而不能隨意代換其中加減法因子的說法[5]. 本文將給出一種和差形式的多項式均可采用等價無窮小量代換其中各個單項的條件[6].

為方便敘述，對下文給出統(tǒng)一記號：令

其中，fi（x）、gi（x）為α、β的一個單項式，i∈[1,n].

設(shè)α和β被等價無窮小代換后為A和B，當只對α或只對β代換，所得極限為. 又設(shè)b為代換前和代換后的差值在α和β同一變化過程中的極限，所以b有兩種形式：

當對α和β同時代換時，可視為先后進行這兩種操作.

又 ?i∈[1,n]，有Fi（x）～fi（x）、Gi（x）～gi（x），故有

設(shè)fi（x）ri階可導，x→a，則和差運算中各部分無窮小按泰勒公式展開可得[7]：

設(shè)Fi（x）Ri階可導，Ri≤ri，所以有

同理，設(shè)gi（x）si階可導，Gi（x）Si階可導，Si≤si，有

1 使用等價無窮小進行單項代換的條件

以下兩個定理是為了保證定理1中α～α′,β～β′成立.

定理2若b=0，則α～A,β～B.

證明若b=0，則. 又limβ=0，所以lim(A-α)=0 ，即A=α，所以A～α.若，則，所以，即B～β.

定理3設(shè)，又有R≥t或S≥t，則有b=0.ii

證明i）對于，. 故

此時只須Ri≥t，就有b=0，否則b≠0.

此時只須Si≥t，就有b=0，否則b≠0.

綜上，只要滿足了定理3，使b=0，也就滿足了定理1，就可以進行和差分式上對于單項的等價無窮小替換.

所求極限正確.

2 典型題

例1

解這是的形式，故只對β進行替換. 此時,；使用代換g1（x）和g2（x），則有S1=6，S2=6，且有，此時有

例2

解這是的形式，此時使用代換f1（x）和f2（x），則有R1=3，R2=3，，此時有

例3

解這是的形式，此時，使用代換f2（x），則有此時有

例4

解這是的形式，此時），使用代換f2（x），則有R2=3，R2≥t=3 ，R1=r1=∞＞t，此時有