（隴南師范高等專(zhuān)科學(xué)校 數(shù)信學(xué)院，甘肅 隴南 742500）

1 預(yù)備知識(shí)

1995年，Enochs[1]介紹了 Gorenstein內(nèi)射模的概念，它與 Gorenstein投射模、Gorenstein平坦模是Gorenstein同調(diào)理論的重要研究對(duì)象. 孟凡云等[2]提出了X-Gorenstein投射模、Y-Gorenstein內(nèi)射模和Y-Gorenstein平坦模的概念，并證明當(dāng)rY-GID（R）＜∞時(shí)，(⊥YGI,YGI)是一個(gè)完全的遺傳余撓理論. 當(dāng)R為右凝聚環(huán)且 l Y-GFD（R）時(shí)，(YGF,YGF⊥)是一個(gè)完全遺傳余撓理論. 2017年，Alacob[3]討論了雙邊Nother環(huán)上Gorenstein內(nèi)射模的包絡(luò)與覆蓋. 本文將利用Y-Gorenstein包絡(luò)與覆蓋等工具進(jìn)一步研究由Y-Gorenstein模類(lèi)導(dǎo)出的對(duì)偶對(duì)(⊥YGI,YGF⊥)及(YGI,YGF).

本文中的環(huán)R均指有單位元的結(jié)合環(huán)，模指酉模.M+= H omZ(M,QZ)表示R模M的示性模. Y表示包含所有內(nèi)射模的右R模類(lèi). 先介紹一些涉及到的概念.

稱右R模M是Y-Gorenstein 內(nèi)射模[2]539，如果存在正合列

其中，Ei為內(nèi)射模，M= K er(E0→E1)且對(duì)任意H∈Y有正合列ε在函子HomR(H,-)仍正合. 用YGI表示所有Y-Gorenstein 內(nèi)射模組成的類(lèi).

稱左R模M是Y-Gorenstein 平坦模[2]550，如果存在正合列

其中，F(xiàn)i為平坦模，M= K er(E0→E1)且對(duì)任意G∈Y有正合列ξ在函子G?-仍正合. 用YGF表示所有Y-Gorenstein平坦模組成的類(lèi).

注：1）內(nèi)射模?Y-Gorenstein內(nèi)射模?Gorenstein內(nèi)射模;

2）平坦模?Y-Gorenstein平坦模?Gorenstein平坦模.

為了方便討論，我們用Y-GiD(M)表示R模M的Y-Gorenstein內(nèi)射維數(shù)，Y-GfD(M)表示R模M的 Y-Gorenstein平坦維數(shù). 記是 任意右R模}，l Y-GFD （R）=sup{Y-是左R模} . 設(shè)F為R模類(lèi)，F(xiàn)的右正交類(lèi)記為對(duì)任意F∈F都有.對(duì)偶地，F(xiàn)的左正交類(lèi)記為.

稱(L,C)是一個(gè)余撓理論[4]，如果L⊥=C，且⊥C=L. 稱余撓理論(L,C)是完全的，如果對(duì)任意右R模M都存在正合列0 →C→L→M→0和0 →M→C′→L′→0，其中C,C′∈C，L,L′∈L. 稱余撓理論(L,C)是遺傳的，如果以下等價(jià)條件之一成立：

1）L關(guān)于滿同態(tài)的核封閉；

2）C關(guān)于單同態(tài)的余核封閉；

3）對(duì)任意i≥1，任意C∈C,F∈L有.

本文涉及到的概念和記號(hào)參見(jiàn)文獻(xiàn)[5-6].

定義1[7]623設(shè)M為R模類(lèi)，C為Rop模類(lèi). 稱(M,C)為對(duì)偶對(duì)，如果滿足

1）對(duì)任意R模M，有M∈M ?M+∈C；

2）C關(guān)于直和因子及有限直和封閉.

引理1[2]547設(shè)rY-GID（R）＜∞，則(⊥YGI,YGI)是一個(gè)完全遺傳余撓理論.

引理2[2]551設(shè)M為左R模，則以下條件等價(jià)：

1）M是Y-Gorenstein平坦左R模；

2）M+是Y-Gorenstein內(nèi)射右R模.

2 主要結(jié)論

命題1如果M∈Y GF∩ Y GF⊥，那么M是平坦模.

證明由M∈YGF 知，存在正合列0 →M→F→G→ 0 ，其中F是平坦模，G是 Y-Gorenstein平坦模. 用函子HomR(-,M)作用于上正合列得

因?yàn)镸∈YGF⊥而G∈Y GF ，所以. 可見(jiàn)短正合列0 →M→F→G→ 0 可裂，從而M是平坦模F的直和因子. 因此M是平坦模.

命題2設(shè)rY-GID（R）＜∞，且對(duì)任意M∈Y GI 有M+∈Y GF . 則有

證明（充分性）設(shè)K∈⊥YGI ，由引理2知Y-Gorenstein平坦模的示性模是Y-Gorenstein內(nèi)射模，即對(duì)任意B∈Y GF 有B+∈Y GI . 從而. 而可見(jiàn)，因此K+∈Y GF⊥.

（必要性）設(shè)K+∈Y GF⊥. 由于rY-GID（R）＜∞ ，由引理 1知存在正合列0 →K→C→L→0，其中C∈Y GI ，L∈⊥YGI . 從而有正合列0 →L+→C+→K+→ 0 . 根據(jù)引理2可知L+∈Y GF⊥，可見(jiàn)C+∈Y GF⊥. 因此C+∈Y GI∩ Y GF⊥. 由命題1知C+是平坦模，又由文獻(xiàn)[4]中定理3.2.16知C是內(nèi)射模.注意到內(nèi)射模一定是 Y-Gorenstein內(nèi)射模，所以在正合列0 →K→C→L→0中C∈⊥YGI ，L∈⊥YGI . 由于(⊥YGI,YGI)是一個(gè)完全遺傳余撓理論，所以K∈⊥YGI .

定理1設(shè)rY-GID（R）＜∞且對(duì)任意M∈Y GI 有M+∈Y GF ，則(⊥YGI,YGF⊥)是一個(gè)對(duì)偶對(duì).

證明根據(jù)假設(shè)條件及命題 2可知K∈⊥YGI ?K+∈Y GF⊥. 因?yàn)閅GF⊥關(guān)于直積、有限直和、直和因子封閉，由定義1得(⊥YGI,YGF⊥)是一個(gè)對(duì)偶對(duì).

引理3[2]553設(shè)R為右凝聚環(huán)且 l Y-GFD（R）＜∞時(shí)，(YGF,YGF⊥)是一個(gè)完全遺傳余撓理論.

有了以上結(jié)論，可得如下定理.

定理2設(shè)R為右凝聚環(huán)且rY-GID（R）與 l Y-GFD（R）均有限，且對(duì)任意M∈Y GI 有M+∈Y GI .則(YGI,YGF)是一個(gè)對(duì)偶對(duì).

證明先證對(duì)任意R模K有K∈YGI ?K+∈YGI .

(? 設(shè)K+∈Y GF ，由引理1知存在正合列0 →K→C→L→ 0 ，其中C∈Y GI ，L∈⊥YGI . 由引理2及L∈⊥YGI 得L+∈Y GF⊥，考慮正合列0 →L+→C+→K+→ 0 ，用函子作用于該正合列得因?yàn)镵+∈Y GF ，所以. 可見(jiàn)短正合列0 →L+→C+→K+→ 0 可裂，C+?L+⊕K+且L+∈Y GF ，因此L+∈Y GI∩ Y GF⊥，由命題1知L+是平坦模，L是內(nèi)射模. 在正合列0 →K→C→L→0中C∈Y GI 且L是內(nèi)射模，因此K具有有限 Y-Gorenstein內(nèi)射維數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[2]中命題 2.12，存在正合列0→I→F→K→ 0 ，其中C∈Y GI ，F(xiàn)內(nèi)射維數(shù)有限. 因此序列0 →K+→F+→I+→ 0 正合且I+,K+∈Y GF ，從而F+∈Y GF . 由文獻(xiàn)[4]中定理3.2.19知F+具有有限平坦維數(shù)，又因?yàn)榫哂杏邢奁教咕S數(shù)的Gorenstein平坦模一定是平坦模，注意到Y(jié)-Gorenstein平坦模一定是Gorenstein平坦模，由文獻(xiàn)[4]中推論10.3.4可得F+是平坦模. 從而F是內(nèi)射模. 因此K∈Y GI.

? )由定理?xiàng)l件易證.

因此對(duì)任意R模K，有K∈YGI ?K+∈YGF .

下證(YGI,YGF)是一個(gè)對(duì)偶對(duì). 定義1的第一個(gè)條件已經(jīng)成立. 又由文獻(xiàn)[2]中命題4.5易知YGF關(guān)于有限直和及直和因子封閉. 因此(YGI,YGF)是一個(gè)對(duì)偶對(duì).