張 成，趙海濤，孫韶媛

(1. 華東理工大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200030；2. 東華大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海 201620)

由于間歇生產(chǎn)過程具有高附加值、小批量和品種多等優(yōu)點，現(xiàn)已成為現(xiàn)代工業(yè)中的一種重要的生產(chǎn)方式[1]。因此，對間歇過程進行有效的故障檢測，及時發(fā)現(xiàn)故障變得十分重要。常用的方法有多向主成分分析(multi-way principal component analysis， MPCA)和多向偏最小二乘 (multi-way partial least squares， MPLS)法[2-4]。間歇過程的一個重要特性為多階段性，每一個生產(chǎn)過程都由幾個子階段組成。但是，傳統(tǒng)MPCA和MPLS方法沒有考慮到間歇過程的多階段特性，只是對所有的批次建立單一的檢測模型，這樣會造成較高的故障誤報率和漏報率。

針對以上問題，研究學(xué)者進行了大量的研究。Lu等[5]提出了一種基于階段劃分的故障檢測策略，利用K均值聚類(K-means)算法對過程數(shù)據(jù)進行階段劃分，對不同的子階段分別建立檢測模型，取得了較好的檢測效果。該聚類算法利用樣本與初始類別之間的相似性，確定樣本所屬的類別，并根據(jù)所有類別的平方誤差和來確定最終的聚類結(jié)果。Liu等[6]將近鄰傳播聚類算法(affinity propagation clustering algorithm， APCA)應(yīng)用于間歇過程的故障檢測。APCA不需要事先指定聚類中心以及聚類個數(shù)，而且對數(shù)據(jù)的初始值不敏感。Yew等[7]將模糊C均值聚類算法(fuzzyC-means，F(xiàn)CM)應(yīng)用于間歇過程的子階段劃分。FCM由K-means算法改進而來，引入了一個隸屬度函數(shù)，通過各個樣本與每個類別的隸屬度來決定該樣本所屬的類別[8]。除此之外，研究學(xué)者也對階段劃分做了大量的工作[9-13]。在實際生產(chǎn)中，過程數(shù)據(jù)是按時間順序來進行采集的，每個子階段內(nèi)的數(shù)據(jù)在時間上必須是連續(xù)的。然而，以上幾種算法都沒有考慮到過程數(shù)據(jù)的連續(xù)性，導(dǎo)致子階段劃分出現(xiàn)斷續(xù)問題，即子階段內(nèi)的數(shù)據(jù)不是某一時間段內(nèi)監(jiān)測到的連續(xù)數(shù)據(jù)，出現(xiàn)了不連續(xù)的問題。

圖1 基于時間片的聚類過程Fig.1 Clustering process based time slice

此外，很多方法利用三維數(shù)據(jù)矩陣相鄰時間片數(shù)據(jù)矩陣之間的相似性或者其負載矩陣的相似性來進行聚類[14-16]，其過程如圖1所示。其中:I為批次總數(shù);K為每個批次的采樣總數(shù);J為過程監(jiān)測變量總數(shù);Xi為第i個時間片的數(shù)據(jù)矩陣，即第i個采樣點處所有批次的監(jiān)測數(shù)據(jù)。使用該方法就必須保證每個矩陣維度相同，這就要求每一個批次過程的生產(chǎn)時間要一致，由于對于所有的批次來說，J都是相同的，要使每個矩陣維度相同，必須要求所有批次的K相同。但在實際生產(chǎn)中，受于初始值和環(huán)境等因素的影響，每一個批次的生產(chǎn)時長都會有所不同，即出現(xiàn)數(shù)據(jù)不等長問題。

為了更準確地對間歇過程進行階段劃分，本文基于有序聚類算法提出了一種模糊有序聚類算法(fuzzy order clustering algorithm， FOCA)。在初始化聚類時，F(xiàn)OCA規(guī)定每個類別中的樣本按照采集時的先后順序保持連續(xù)，直到聚類完成。為了降低噪聲、離群點以及數(shù)據(jù)波動等對聚類結(jié)果的影響，F(xiàn)OCA借鑒了FCM中的隸屬度函數(shù)[8]，利用模糊的方法來降低數(shù)據(jù)波動的影響。此外，F(xiàn)OCA應(yīng)用于階段劃分時，并未采用圖1中的方式，而是對每一個批次過程單獨進行子階段劃分，然后再將每個子階段的數(shù)據(jù)按變量方向展開。因此，在對批次過程進行子階段劃分時不會受數(shù)據(jù)不等長問題的影響。階段劃分完成之后，建立每個子階段的主成分分析(PCA)檢測模型，利用T2和平方預(yù)測誤差(squared prediction error, SPE)統(tǒng)計量對新采集樣本進行故障檢測。

1 基于模糊有序聚類的多階段建模

1.1 模糊有序聚類算法

為了保證對批次過程進行子階段劃分時不出現(xiàn)斷續(xù)的問題，在初始化類別時不能隨機選取數(shù)據(jù)作為類別樣本，可以對原批次過程數(shù)據(jù)進行截取，截取之后的類別數(shù)據(jù)屬于批次過程某一時間段內(nèi)的數(shù)據(jù)。該初始化之后的聚類一定不存在斷續(xù)問題，每個聚類中的數(shù)據(jù)都是連續(xù)的。

設(shè)有一組樣本數(shù)據(jù)X=(x1，x2， …，xK)，包含了K個連續(xù)的樣本數(shù)據(jù)，xk∈RJ，k=1， 2， …，K。FOCA在初始化類別時只在樣本X中截取連續(xù)的一段樣本數(shù)據(jù)作為初始化類別數(shù)據(jù)。

(1)

式中：xk為類別Gc中的樣本數(shù)據(jù)；xic和xic+1-1分別為類別Gc的起始樣本和末尾樣本；ic和ic+1為相鄰類別之間的分割點序號；Nc為類別Gc中的樣本個數(shù)。

(2)

式中：μks為樣本xk與類別s的隸屬度；b為控制聚類結(jié)果模糊程度的常數(shù)，且b>1。

本文隸屬度的計算借鑒FCM中的隸屬函數(shù)，要求一個樣本與所有類別的隸屬度之和為1，即

(3)

隸屬度的計算公式如式(4)所示。

(4)

式中：S為需要計算隸屬度的類別總數(shù)。若類別c不是第一個或者最后一個類別，那么S為3，即將類別c之前的所有類別視為一類，類別c之后的所有類別視為一類，類別c單獨視為一類，總共3類；若類別c是第一個或者最后一個類別，則S為2。

類別初始化完成之后，需要根據(jù)準則函數(shù)來確定最終的聚類結(jié)果。設(shè)一聚類結(jié)果如式(5)所示。

P(K，C):{xi1，xi1+1， …，xi2-1}， {xi2，xi2+1， …，xi3-1}， …， {xiC，xiC+1， …，xK}

(5)

式中：P(K，C)表示將K個樣本聚成C類，其分割點為xi1，xi2， …，xiC，其中i1=1。每個類別中的樣本保持連續(xù)和有序。由式(2)可知，類別的誤差和越小，該類別的數(shù)據(jù)劃分越合理。當(dāng)所有類別的誤差和達到最小值時，得到的便是最優(yōu)聚類結(jié)果。因此，定義該聚類結(jié)果的準則函數(shù)如式(6)所示。

(6)

當(dāng)K和C固定時，e值越小，表示所有類別的誤差和越小，聚類結(jié)果也就越合理。e達到最小值的P(K，C)將會是最優(yōu)的聚類結(jié)果。則

e[P(K， 2)]=min{D(G1)+D(G2)}

(7)

D(Gc)}

(8)

式(7)表示將K個樣本聚成兩類。式(8)表示將K個樣本聚成C類。后者需先找到一個類別，即GC= (xiC，xiC+1， …，xK)，然后將剩下的iC-1個樣本聚成C-1類，依次類推找到所有的類別，所得到的聚類結(jié)果便是最優(yōu)聚類。FOCA的具體步驟如下:

(1) 從第一個樣本開始，迭代截取連續(xù)的一段數(shù)據(jù)作為初始化聚類，此步驟需遍歷出所有的聚類結(jié)果；

(2) 根據(jù)式(2)計算每一個聚類的誤差和，用于表示該聚類的合理性，其中模糊策略的加入可優(yōu)化聚類結(jié)果；

(3) 根據(jù)式(6)和計算出的聚類誤差和，計算出所有聚類結(jié)果的準則函數(shù)值；

(4) 根據(jù)式(7)和(8)以及準則函數(shù)值，計算出樣本聚類分割點，得到最優(yōu)聚類結(jié)果。

1.2 算法分析

FOCA在確定初始化類別時，需遍歷所有可能的聚類結(jié)果。以第一個樣本為類別起始點，將第1到第2之間的樣本視為一類，將第1到第3之間的樣本視為一類，依次類推，將第1到第K之間的所有樣本視為一類；然后以第二個樣本為類別的起始點，同上推出所有的類別，直到遍歷出所有可能的聚類結(jié)果。由于每一個類別中的樣本前后有序，而且在時間上是連續(xù)的，這樣就保證了數(shù)據(jù)的連續(xù)性。

間歇過程的每一批次都是由幾個子階段組成，由一個子階段到相鄰的后一個子階段之間的過渡不可能瞬間完成，這中間有一個過渡過程[17]。過渡階段的數(shù)據(jù)不穩(wěn)定，波動比較大，對聚類會產(chǎn)生一定的影響。過渡階段的數(shù)據(jù)一般位于子階段數(shù)據(jù)集的兩端，這一區(qū)域的樣本數(shù)據(jù)沒有確定的子階段屬性，因此可加上隸屬度進行軟聚類。由式(2)可知，隸屬度的加入可改變該類別的誤差和的大小，最終會通過式(6)改變聚類結(jié)果。但是，對于FOCA來說，每一個樣本點都有可能成為相鄰子階段之間的分割點，隸屬度的加入主要會對過渡區(qū)域中樣本的類別歸屬產(chǎn)生影響，并對該區(qū)域的聚類結(jié)果進行優(yōu)化。而對于子階段中間部分即穩(wěn)定區(qū)域樣本數(shù)據(jù)的類別歸屬影響不大。

當(dāng)使用FOCA對批次過程數(shù)據(jù)進行子階段劃分時，對每一個批次數(shù)據(jù)單獨進行階段劃分，聚類完成之后，再將每一個子階段內(nèi)的數(shù)據(jù)按變量方向進行展開。整個子階段的劃分過程如圖2所示。由圖2可知，F(xiàn)OCA不會受數(shù)據(jù)不等長問題的影響。

圖2 FOCA劃分子階段過程Fig.2 Phase partition process of FOCA

1.3 基于多階段的故障檢測模型

每個子階段的數(shù)據(jù)按變量方向展開成二維矩陣的形式：X(KI×J)，然后建立每個子階段的PCA模型。設(shè)有一子階段c的數(shù)據(jù)矩陣為Xc，其PCA模型如式(9)所示。

(9)

式中：Pc(J×R)為Xc的負載矩陣；R為主元個數(shù)；Tc為得分矩陣；Ec為殘差矩陣。

PCA模型建立之后，通常使用T2以及SPE兩個統(tǒng)計量來檢測過程的運行是否正常。對于一個待檢測樣本xnew來說，其T2統(tǒng)計量計算如式(10)所示。

(10)

式中：Pc，Sc分別表示xnew所屬子階段數(shù)據(jù)矩陣對應(yīng)的負載矩陣以及特征值矩陣。

對于每個子階段來說，T2統(tǒng)計量近似服從F分布。所以每個子階段的T2統(tǒng)計量控制限可以通過式(11)來進行估算。

(11)

式中：Rc為主元個數(shù)；Nc為子階段c的樣本個數(shù)；FRc，Nc-Rc，α為自由度為Rc，Nc-Rc的F分布；α為置信度。

SPE統(tǒng)計量計算如式(12)所示。

(12)

式中：Qnew為SPE統(tǒng)計量；I為單位矩陣，Pc為xnew所屬子階段數(shù)據(jù)矩陣對應(yīng)的負載矩陣。

每個子階段的SPE統(tǒng)計量近似服從χ2分布，每個子階段的SPE統(tǒng)計量控制限可以通過式(13)進行計算。

(13)

式中：ec和fc分別為子階段c中所有樣本數(shù)據(jù)SPE統(tǒng)計量值的均值和方差。

由以上分析可知，要計算一個待檢測樣本的T2和SPE統(tǒng)計量的值需要某一階段c的Pc、Rc、Nc等參數(shù)，該階段c是當(dāng)前待檢測樣本所屬的子階段，即要對待檢測樣本進行檢測就需要知道該樣本屬于哪一個子階段。Qin等[18]設(shè)計了一個指標(biāo)φ用于表示當(dāng)前待檢測樣本與所有子階段的相似性，其計算式如式(14)所示。

(14)

1.4 基于FOCA的間歇過程故障檢測流程

基于FOCA的間歇過程故障檢測可以分為離線建模以及在線檢測兩個部分。

離線建模的步驟如下：

步驟1 采集正常生產(chǎn)過程數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，組成數(shù)據(jù)集X(I×J×K)。其中：I為總批次個數(shù)；J為過程監(jiān)控的變量個數(shù)；K為批次運行過程中采集到的數(shù)據(jù)個數(shù)，每個批次會所有不同。

步驟2 對每個批次數(shù)據(jù)Xi(J×K) (i=1，2， …，I)進行標(biāo)準化處理，然后通過FOCA對每個批次的數(shù)據(jù)分別進行子階段劃分，得到每個批次的子階段。

步驟3 將所有批次中相同的子階段進行整合，并按變量方向進行展開，整合之后的新數(shù)據(jù)代表了每個子階段的訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)。

步驟4 對于每個子階段的訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)，通過PCA算法確定每個子階段的檢測模型，并確定每個子階段的SPE和T2控制限，該控制限會被用于后續(xù)新樣本的檢測。

在線檢測的步驟如下：

步驟1 采集新的樣本數(shù)據(jù)xnew(J×1)，對其進行標(biāo)準化處理，作為待檢測樣本數(shù)據(jù)。

步驟2 通過式(14)確定當(dāng)前待檢測樣本屬于哪一個子階段。

步驟3 通過待檢測樣本所屬的子階段檢測模型，來計算待檢測樣本的SPE和T2統(tǒng)計量值。

步驟4 判斷SPE和T2統(tǒng)計量值是否超過控制限。如果超過，則表示過程出現(xiàn)故障，發(fā)出警報；如果未超過，則表示過程運行正常。

2 仿真試驗

青霉素的生產(chǎn)過程是一個典型的多階段、非線性且動態(tài)的間歇過程。2002年，由Birol等[19]設(shè)計出了青霉素的仿真模型Pensim 2.0，這一模型被廣泛應(yīng)用于間歇過程的故障檢測研究。

本文試驗仿真采用Pensim 2.0生成仿真數(shù)據(jù)，包括50組正常批次和3組故障批次。每個批次的采樣周期為0.5 h，共產(chǎn)生800個左右的采樣值。共選取10個生產(chǎn)變量進行監(jiān)控，包括通風(fēng)率、攪拌功率、底料流速、pH值、物料溫度、二氧化碳濃度、氧氣濃度、產(chǎn)熱量、冷水流速和青霉素濃度。在進行仿真試驗時，將K-means方法作為比較對象。

2.1 子階段劃分

K-means和FOCA對正常批次29的子階段劃分結(jié)果如圖3所示。由從圖3(a)可知，階段劃分結(jié)果出現(xiàn)了很嚴重的斷續(xù)問題，除第1個階段外，第2和3階段的數(shù)據(jù)完全斷續(xù)。由圖3(b)可知，3個子階段內(nèi)的數(shù)據(jù)連續(xù)，沒有出現(xiàn)斷續(xù)的問題。由此可以表明，F(xiàn)OCA對批次階段劃分的效果要優(yōu)于K-means。

在FOCA對批次29聚類過程中，準則函數(shù)值的變化曲線如圖4所示。由1.2節(jié)分析可知，要將批次聚成3類需要兩個分割點，首先需要求第2個分割點然后再求第1個分割點。圖4便為求第2個分割點時準則函數(shù)值的變化曲線，求第1個分割點時的變化曲線與此類似。由圖4可知，準則函數(shù)值先急劇減小后緩慢增大，其最小值對應(yīng)的樣本點便為第2個分割點。

(a) K-means

(b) FOCA圖3 K-means和FOCA對于批次29的階段劃分結(jié)果Fig.3 Phase partition result of K-means andFOCA for batch 29

圖4 FOCA迭代過程中準則函數(shù)值的變化Fig.4 Variation of criterion function value during the iterative process of FOCA

本次試驗采用的計算機配置：CPU為Intel Core i3-4500，內(nèi)存為8G，系統(tǒng)為Win7 64位操作系統(tǒng)。經(jīng)計算可知，F(xiàn)OCA對批次進行階段劃分的平均耗時為7 min 23 s。由于這是對訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)的處理耗時，所以不會對在線故障檢測造成影響。

2.2 正常批次的檢測

為了驗證本文方法的有效性，選取一個正常樣本數(shù)據(jù)進行檢測，并與基于K-means的故障檢測方法進行對比，檢測結(jié)果如圖5所示。由圖5(a)可知，基于K-means檢測方法的T2和SPE統(tǒng)計量都誤檢測出了故障，且后者的誤報率較高，在大約90個樣本點處出現(xiàn)誤報。由圖5(b)可知，在過程正常運行期間，基于FOCA的故障檢測方法的T2和SPE統(tǒng)計量都處于控制限以下，沒有出現(xiàn)誤報。由此可知，基于FOCA的故障檢測方法對正常樣本的檢測效果要優(yōu)于基于K-means的故障檢測方法。

(a) K-means

(b) FOCA圖5 基于K-means和FOCA的檢測方法對正常批次的檢測結(jié)果Fig.5 Monitoring result of normal batch processbased on K-means and FOCA

2.3 故障批次的檢測

通過Pensim 2.0仿真平臺可以生成不同變量(通風(fēng)率、攪拌功率和培養(yǎng)基進料流速)、不同類型(階躍或斜坡)、不同時長、不同大小的故障類型?，F(xiàn)對3組故障的檢測結(jié)果進行分析。

故障1為通風(fēng)率的階躍故障，通風(fēng)率以8%的階躍增加，故障時間為150～350 h?；贙-means和FOCA的故障檢測方法的檢測結(jié)果如圖6所示。由圖6可知，兩種方法都及時的檢測出了故障，而且沒有出現(xiàn)誤報。圖中橢圓包圍起來的部分為漏報部分。通過兩圖對比可知，基于FOCA的故障檢測方法的漏報率要比基于K-means的故障檢測方法的漏報率低很多。對于故障1的檢測，基于FOCA的故障檢測方法要優(yōu)于基于K-means的方法。

(a) K-means

(b) FOCA圖6 基于K-means和FOCA的故障檢測方法對故障1的檢測結(jié)果Fig.6 Monitoring result of fault 1 based onK-means and FOCA

故障2為通風(fēng)率階躍故障，通風(fēng)率以10%的階躍增加，故障時間為85～335 h?；贙-means和FOCA的故障檢測方法的檢測結(jié)果如圖7所示。由7(a)可知，基于K-means故障檢測方法的T2和SPE統(tǒng)計量都及時檢測到了故障，但在故障發(fā)生期間，在大量采樣點處T2位于控制限以下，造成了很高的漏報率。而由7(b)可知，基于FOCA的故障檢測方法不僅能夠及時地檢測出故障，而且T2統(tǒng)計量沒有出現(xiàn)漏報，SPE統(tǒng)計量也僅在少量采樣點處位于控制限以下。綜合兩種統(tǒng)計量的檢測結(jié)果，基于FOCA的方法效果較好。

(a) K-means

(b) FOCA圖7 基于K-means和FOCA的故障檢測方法對故障2的檢測結(jié)果Fig.7 Monitoring result of fault 2 based onK-means and FOCA

故障3為攪拌功率的斜坡故障，攪拌功率以0.05 W/h增加，故障時間為100～300 h。基于兩種方法的檢測結(jié)果如圖8所示。由圖8可知，兩種方法對故障3進行檢測時都沒有出現(xiàn)誤報。但是，對比圖8(a)和8(b)可知，基于FOCA方法的T2統(tǒng)計量在第141.5 h處檢測到了故障，SPE統(tǒng)計量在第166 h處檢測到了故障；基于K-means方法的T2統(tǒng)計量在第147 h處檢測到了故障，SPE統(tǒng)計量在第232 h處檢測到了故障。由此可見，基于FOCA故障檢測法的第一次檢測出故障的時間要早于基于K-means的故障檢測方法。

經(jīng)統(tǒng)計，基于FOCA的故障檢測方法對每個樣本檢測所耗費的時間為0.095 ms，在故障發(fā)生時，可以準確迅速地檢測出故障并發(fā)出警報，有助于現(xiàn)場操作人員及時做出相應(yīng)的處理。

由以上3組故障檢測結(jié)果對比可知，在對不同故障類型、故障大小和故障時長的檢測上，基于FOCA的故障檢測方法要優(yōu)于基于K-means的方法。這主要是由于FOCA對階段的劃分更加準確，基于階段劃分所建立的故障檢測模型更加符合生產(chǎn)過程的實際情況。因此，基于FOCA的故障檢測方法能夠得到更好的故障檢測結(jié)果。

(a) K-means

(b) FOCA圖8 基于K-means和FOCA的故障檢測方法對故障3的檢測結(jié)果Fig.8 Monitoring result of fault 3 based onK-means and FOCA

3 結(jié) 語

針對傳統(tǒng)聚類算法在對過程批次數(shù)據(jù)進行聚類時出現(xiàn)的斷續(xù)問題，本文提出的模糊有序聚類算法(FOCA)對過程數(shù)據(jù)的連續(xù)性進行了充分考慮，并加入了隸屬度，有效避免了斷續(xù)問題的發(fā)生，同時降低了噪聲對聚類的影響，優(yōu)化了聚類結(jié)果。而且，F(xiàn)OCA只針對單一的批次進行子階段劃分，這樣既可減少對其他批次數(shù)據(jù)的影響，又能解決數(shù)據(jù)不等長問題。對青霉素生產(chǎn)過程的仿真試驗表明，基于FOCA的故障檢測方法比基于K-means的故障檢測方法有著更優(yōu)的檢測效果。