徐 磊，翟婉明，陳憲麥，陶偉峰

(1.西南交通大學(xué)牽引動力國家重點實驗室，四川成都 610031；2.中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長沙410075；3. 同濟大學(xué)土木工程學(xué)院，上海 200092)

我國擁有龐大的鐵路線路網(wǎng)，線路長期穩(wěn)定、安全運營所需的狀態(tài)監(jiān)測管理工作重要性日益凸顯。國內(nèi)外一般采用綜合檢測列車對影響行車的線路異常情況進行實時檢測與綜合評判。影響車輛-軌道耦合系統(tǒng)(以下簡稱此系統(tǒng))的隨機因素眾多，各因素之間的相互作用機理尚未完全明確。此系統(tǒng)的激擾源具有隨機性和演變性(如常見的軌道不平順)，在理想的平順狀態(tài)下能夠反映到車輛響應(yīng)中的線路傷損，極易被線路不平順產(chǎn)生的響應(yīng)掩蓋。從隨機不平順激擾下的車輛響應(yīng)中解耦出線路損傷產(chǎn)生的響應(yīng)亦是困難的，因為除不平順的隨機變化特性外，線路本身的動力參數(shù)也是隨機的。因此，通過車輛系統(tǒng)的振動響應(yīng)實時反饋線路基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的狀態(tài)及傷損情況是一個艱巨的研究課題。

現(xiàn)階段，一般基于計算機或雷達視覺分析軌道系統(tǒng)圖形特征，進行病害的診斷[1-2]。本文基于隨機分析的一般理論，考慮線路不平順的空間隨機性和長時效演變性，以及軌道結(jié)構(gòu)動力參數(shù)的隨機性，將車輛-軌道耦合動力學(xué)理論[3]與概率密度演化方法[4]結(jié)合，提出一種用于鐵路線路基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)傷損識別的概率密度分布演化方法。該方法以車輛-軌道耦合動力模型為核心，在妥善解決用于動力模型激勵的軌道不平順隨機性及演變性模擬、線路基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)動力參數(shù)隨機模擬與組合等兩個問題的基礎(chǔ)上，將正常與傷損下的動力響應(yīng)進行概率密度分布的差分，從而發(fā)現(xiàn)線路損傷。

1 軌道不平順的隨機性和演變性模擬

對于某段待監(jiān)測的鐵路線路，采用如下方法模擬此區(qū)段軌道不平順的隨機性和長時效演變性。

(1)制定不同線路條件下的累計概率譜。文獻[5]指出軌道不平順譜近似服從自由度為 2 的χ2分布函數(shù)。可針對不同的鐵路線路區(qū)段(路基、橋梁、隧道等)，構(gòu)建相應(yīng)的累計概率譜(圖1)。

(2)通過長期的線路監(jiān)測及統(tǒng)計分析，確定不同監(jiān)測時段內(nèi)線路區(qū)段軌道不平順譜線的隨機波動范圍。若以月為監(jiān)測的時間單位，假定第i月此線路區(qū)段軌道隨機不平順譜在累計上、下限概率分別為Ci,u和Ci,d的累計概率譜內(nèi)波動；同時，用τi→k,u、τi→k,d表示從第i月到第k月的上、下限譜累計概率變化率，一般存在等式

Ck,u|d=Ci,u|d(1±τi→k,u|d)

( 1 )

(3)根據(jù)(2)中確定的線路不平順譜線累計概率范圍，采用拉丁超立方抽樣(LHS)方法[6]進行此累計概率范圍內(nèi)軌道譜的抽樣，對采集的軌道譜進行逆傅里葉變換[3]，生成隨機軌道不平順時域樣本。

需要指出的是：

①每條譜樣本由服從一定空間頻率-譜密度規(guī)律的樣本點組成。一般而言，頻率越低，譜密度值越大，因此采用LHS法對不同頻率下譜密度值抽樣時，需滿足臨近低頻點的譜密度更大、譜密度值對應(yīng)的累計概率均在擬定的譜累計概率范圍內(nèi)這兩個基本要求。

圖1 武廣高速鐵路普通路基段軌道不平順的累計概率譜(截止波長：1～120 m)

②計算及實測資料表明[7]，同一路段的軌道不平順呈現(xiàn)“記憶”重復(fù)特性，即其隨機波形具有一定的相似性。因此，在用逆傅里葉變換法[3]生成軌道隨機不平順時域樣本時，取不同不平順時域樣本對應(yīng)的獨立相位序列ζn相同，即ζn=exp(iΦn)，Φn服從0～2π均勻分布。

2 參數(shù)隨機的軌道模型構(gòu)建與計算

國內(nèi)外基于車輛、軌道系統(tǒng)參數(shù)確定的動力分析居多[3]，這在線路的初始設(shè)計、評估階段十分有用。隨著車-線系統(tǒng)的長期運營，此系統(tǒng)參數(shù)和激勵源一般會發(fā)生隨機演變，從而進入隨機振動的范疇。本文假定車輛參數(shù)確定，主要簡述線路參數(shù)隨機時的模擬與組合方法和線路參數(shù)隨機時軌道系統(tǒng)的構(gòu)建及計算方法。

2.1 線路參數(shù)隨機模擬與組合

以板式軌道為例，闡述動力參數(shù)(取軌下膠墊垂橫向剛度、阻尼參數(shù)，CA砂漿垂橫向剛度、阻尼參數(shù))的隨機模擬與組合方法。在時間域，假定不同的隨機參數(shù)服從正態(tài)分布[8]且獨立；在空間域(即沿線路區(qū)段)，同一參數(shù)的隨機模擬樣本間具有相關(guān)性，而不同隨機參數(shù)的模擬序列是獨立的。

上文已述及同一結(jié)構(gòu)層的系統(tǒng)部件(如軌下膠墊垂向剛度)參數(shù)樣本間具有相關(guān)性，其相關(guān)系數(shù)為

( 2 )

通過式( 2 )，可以形成n維相關(guān)正態(tài)分布隨機變量抽樣序列的相關(guān)系數(shù)矩陣

( 3 )

步驟3通過線性變換，令

( 4 )

式中：μ為均值矩陣。

根據(jù)Cantor集合映射的思想[12]，依據(jù)不同樣本的出現(xiàn)概率進行不同隨機參數(shù)的樣本序列組合，實現(xiàn)動力計算樣本的降維[13]。

2.2 軌道模型建模與計算

線路參數(shù)隨機與否對軌道系統(tǒng)的建模與計算影響較大。將2.1節(jié)中模擬出的隨機參數(shù)組合序列均布在軌道模型中，采用有限單元法進行軌道系統(tǒng)建模。

2.2.1 軌道模型

軌道模型[14](圖2)采用板式軌道結(jié)構(gòu)，取相鄰軌下膠墊間距為一軌段單元，鋼軌為連續(xù)點支承Euler梁，鋼軌墊層為線性剛彈簧及阻尼器單元，軌道板通過CA砂漿與路基連接，CA砂漿模擬為線性均布面彈簧和黏滯阻尼器，每個軌段單元有40個自由度，可表示為

( 5 )

式中：

δ1=[U1LrV1LrW1LrθX1LrθY1LrθZ1LrU1RrV1RrW1RrθX1RrθY1RrθZ1RrV1LsW1LsθX1LsθY1LsθZ1LsW1RsθX1RsθY1Rs]T

( 6 )

δ2=[U2LrV2LrW2LrθX2LrθY2LrθZ2LrU2RrV2RrW2RrθX2RrθY2RrθZ2RrV2LsW2LsθX2LsθY2LsθZ2LsW2RsθX2RsθY2Rs]T

( 7 )

式中：U、V、W分別為沿縱向X、橫向Y、垂向Z的位移；下標(biāo)1、2分別為沿Y軸方向的右側(cè)自由度和左側(cè)自由度；下標(biāo)L、R分別為沿Z軸方向的左側(cè)自由度和右側(cè)自由度；θ為轉(zhuǎn)角位移；下標(biāo) r、s分別為鋼軌單元和軌道板單元。

圖2 板式軌道模型三維視圖

2.2.2 循環(huán)計算方法

由于線路參數(shù)在時間-空間域具有隨機特性，在車輛-軌道耦合動力計算時，定點激勵法[3]不能反映線路參數(shù)隨機時車軌系統(tǒng)振動響應(yīng)的時變特征，須采用移動車輛激勵法考慮車輛與軌道之間的相對運動狀態(tài)。采用移動車輛激勵法時，往往存在計算長度上的限制，特別是采用有限元建模時，其自由度較多，將占用較大的計算機內(nèi)存并降低計算效率。采用循環(huán)計算方法，可有效解決這一類問題。

循環(huán)計算方法的實現(xiàn)過程為：

步驟1取M為前期平穩(wěn)運行長度，N為循環(huán)計算長度，L為數(shù)值積分時車輛前后截取的軌道模型長度，同時設(shè)置全局坐標(biāo)系xOy和局部坐標(biāo)系x′O′y′(圖3)。在平穩(wěn)運行階段，亦可只取長度為M的軌段單元進行數(shù)值積分，以減小時域積分算法中等效剛度矩陣的規(guī)模，減少求解時間。

圖3 循環(huán)計算模型

步驟2若已知軌下膠墊間距，則可以計算長度N、L所占的軌段單元數(shù)目nN、nL。若第1、4號輪對在全局坐標(biāo)系中軌段單元編號為n1、n4，車輛在循環(huán)計算區(qū)段的運行距離為N′，那么前、后輪對所接觸的局部軌段單元編號分別為

nf=n1+nL-([N′/N]-1)nN

( 8 )

nb=n1-nL-([N′/N]-1)nN

( 9 )

式中：[·]表示朝0方向取整。

式( 8 )、式( 9 )是實現(xiàn)循環(huán)計算的關(guān)鍵，其能保證車輛始終在循環(huán)區(qū)段N內(nèi)不斷運行。而前、后輪對所接觸的全局軌段單元編號分別為

(10)

(11)

根據(jù)式( 8 )～式(11)計算出的前、后輪對所在的局部和全局軌段單元，以及L、軌下膠墊間距等已知參數(shù)，可以得到每一積分步內(nèi)整車所占用的軌段單元序列編號。

步驟3前期已經(jīng)將2.1節(jié)中模擬出的隨機參數(shù)序列按軌段單元序列的形式編號，即全局軌道單元序列與隨機參數(shù)序列一一對應(yīng)，因此可以較方便地依據(jù)步驟2中計算出的整車所占用的軌段單元序列編號，擇取相應(yīng)的線路隨機參數(shù)序列參與車軌耦合動力計算。

如圖3所示，每循環(huán)一次，需重新生成一個長度為N+2L+2(Lc+Lt)(Lc為前后構(gòu)架中心間距的一半，Lt為軸間距離的一半)的軌道單元矩陣(包括剛度矩陣、阻尼矩陣和質(zhì)量矩陣)。

3 車輛模型

將車輛視為多剛體系統(tǒng)，考慮車體、轉(zhuǎn)向架及輪對的橫移、沉浮、側(cè)滾、點頭和搖頭運動，即車輛系統(tǒng)共35個自由度。具體建模方法參考文獻[3]。

4 概率密度演化方法

文獻[4]在結(jié)構(gòu)隨機分析方面發(fā)展了一類概率密度演化方法，用于解決系統(tǒng)隨機激擾-振動響應(yīng)間的概率密度傳遞問題。

車輛-軌道耦合系統(tǒng)隨機動力方程

(12)

式(12)的解答存在且唯一，并與隨機向量有關(guān)。因此，可寫成如下形式

X(t)=?(Θ,t)

(13)

式中：?為集合符號。

根據(jù)概率守恒原理，[X(t)ΘT]T的概密度函數(shù)pXΘ(x,θ,t)滿足如下廣義概率密度演化方程[4]。

(14)

式(14)的初始條件為

pXΘ(x,θ,t)|t=0=δ(x-x0)pΘ(θ)

(15)

聯(lián)合求解式(14)和式(15)，可得pXΘ(x,θ,t)，隨后積分可知X(t)的概率密度函數(shù)為

(16)

5 用于線路狀態(tài)監(jiān)測的概率密度演化模型

車輛-軌道耦合系統(tǒng)中的軌道不平順及系統(tǒng)參數(shù)均具有時-空隨機演變特性(圖4)，導(dǎo)致基于車輛系統(tǒng)振動響應(yīng)的“反饋式”線路狀態(tài)監(jiān)測工作困難重重。一般來說，由于線路基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)傷損過程的漸變性和此系統(tǒng)本質(zhì)上的隨機演變性，系統(tǒng)參數(shù)、激勵源確定的動力計算理論對于線路隨機傷損(尤其是小傷損)的實時監(jiān)測與預(yù)判工作略顯乏力。

圖4 軌道不平順和線路基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的時-空演變示意

現(xiàn)階段，國內(nèi)外大部分線路傷損監(jiān)測的研究均基于特殊或沖擊信號，取一段確定性信息進行特征狀態(tài)的提取一般可獲得滿意結(jié)果，但往往忽視了線路系統(tǒng)(包括軌道不平順)在列車循環(huán)動荷載及其他因素干擾下的隨機演化特性。這些不斷發(fā)展的車軌激勵形態(tài)給線路狀態(tài)監(jiān)測帶來了困難。例如：軌道隨機不平順的存在極有可能掩蓋那些較微弱的線路傷損造成的動力響應(yīng)差異，從而造成識別的困難。

針對線路基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的傷損預(yù)估和動力性能評判問題，作者認(rèn)為將隨機分析方法引入確定性計算理論[3]，統(tǒng)計此系統(tǒng)在不同的參數(shù)或激勵源隨機域下的動力響應(yīng)特征，當(dāng)線路狀態(tài)惡化時，根據(jù)此系統(tǒng)確定隨機域下的動力響應(yīng)特征變化預(yù)估線路狀態(tài)惡化與否不失為一種可行的辦法。

本文用概率密度分布表達這種動力響應(yīng)特征，動力響應(yīng)的概率密度分布基于概率密度演化方法將眾多具有概率性質(zhì)的確定性計算結(jié)果融合，是在確定的隨機域激擾下此系統(tǒng)響應(yīng)的全面反映。線路狀態(tài)惡化時，動力響應(yīng)的概率密度分布會發(fā)生相應(yīng)的變化，通過此變化即可識別線路傷損，這就是用于鐵路線路狀態(tài)監(jiān)測的概率密度演化方法，其基本模型或分析流程如圖5所示。

圖5 用于鐵路線路狀態(tài)監(jiān)測的概率密度分布演化模型

6 算例分析

本文主要采用動力仿真手段，驗證所提方法的有效性。行車速度為350 km/h，軌道不平順截止波長范圍1～120 m。

將線路區(qū)間的監(jiān)測時間長度取為1年，將“月”作為監(jiān)測時間單位，將有12次線路狀態(tài)的監(jiān)測評判?；居嬎銋?shù)如下：

(1)將線路區(qū)段隨機不平順激擾譜的初始累計概率范圍取為0.5～0.6，終止累計概率范圍取為0.1～0.9，假定此線路區(qū)間不同時段間的激擾譜累計概率服從均勻分布。

(2)由于本文的研究重點為線路基礎(chǔ)部件的傷損識別，故取較小的線路系統(tǒng)參數(shù)隨機域，即：各參數(shù)正態(tài)分布中的標(biāo)準(zhǔn)差較小，同一基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)層的線路參數(shù)相關(guān)系數(shù)區(qū)間為0.7～0.9。

(3)動力計算里程為1 km。本文分別在線路里程K0+400、K0+425、K0+615三處的兩側(cè)承臺設(shè)置了軌下膠墊橫向動力系數(shù)(即橫向剛度、阻尼系數(shù))的傷損；在里程K0+137、K0+330、K0+520三處的兩側(cè)承臺設(shè)置了軌下膠墊垂向動力系數(shù)(即垂向剛度、阻尼系數(shù))的傷損?；A(chǔ)部件傷損表現(xiàn)為動力參數(shù)值的減小，本文假定損傷部件在不同監(jiān)測時段間的動力參數(shù)值λi可以通過參數(shù)μi∈[0,1](i=1,2,…,12)進行調(diào)節(jié)，若初始參數(shù)值為λ0，則λi=λ0(1-μi)。

限于篇幅，圖6、圖7僅給出i=2，8(μi=0.09，0.73)時通過車輛系統(tǒng)輪對橫向加速度進行軌下膠墊傷損狀態(tài)監(jiān)測時的概率密度分布差分圖，主要步驟參考圖5。

圖6 μi=0.09時軌下膠墊傷損識別結(jié)果

圖7 μi=0.73時軌下膠墊傷損識別結(jié)果

從圖6、圖7可知，通過概率密度分布差分圖能較好地檢測出軌下膠墊在不同比率下的傷損情況，且定位準(zhǔn)確；傷損程度不同，對應(yīng)的概率密度分布差分值亦不同，一般傷損越嚴(yán)重，差分值越大。如圖6所示，即使是軌下膠墊的小傷損狀態(tài)(動力系數(shù)僅減小了0.09)，仍引起輪軌橫向加速度概率密度分布較大的變化，繼而可以通過此變化評判線路基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的傷損狀態(tài)。

此外，圖8給出了不同階段(1～12月)的概率密度差分上、下極限值。

圖8 不同階段的概率密度差分極限值

由圖8可知，隨著軌下膠墊的動力參數(shù)耗損及隨機不平順的演化，傷損位置處動力響應(yīng)的概率密度差分值范圍逐漸變大，基本與傷損程度成正比，這為確定不同損傷狀態(tài)下的概率密度差分值標(biāo)準(zhǔn)奠定了基礎(chǔ)。

7 結(jié)論

激勵源和系統(tǒng)參數(shù)確定時，利用車輛-軌道耦合動力學(xué)方法能較好計算出線路基礎(chǔ)部件傷損時的系統(tǒng)響應(yīng)形態(tài)。由于車輛-軌道系統(tǒng)的傷損位置、時間具有未知性和漸變性，為了防患于未然，需對線路基礎(chǔ)部件的傷損狀態(tài)進行跟蹤測算與評估。

本文根據(jù)隨機分析的一般理論，將此系統(tǒng)的不平順激勵源和線路參數(shù)均做隨機處理，考慮此系統(tǒng)的時-空隨機演變特性，提出了從車輛系統(tǒng)動力響應(yīng)的概率密度分布差分結(jié)果中發(fā)現(xiàn)、定位線路傷損程度及位置的基本設(shè)想及方法。計算結(jié)果表明：

(1)采用本文給出的概率密度演化差分方法，能夠準(zhǔn)確定位軌下膠墊的垂橫向損傷，表明了方法的可行性；同時，概率密度差分值可用于表征線路基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)傷損程度。

(2)以往的研究工作多取確定性的實測或仿真信號進行傷損識別，忽視了線路在循環(huán)隨機荷載等因素作用下的時變本質(zhì)。本文重點考慮軌道不平順和線路參數(shù)的隨機演化特性，提出更通用的一般性方法，可供借鑒。