鄧云川，劉志剛，黃 可，宋小翠，成 業(yè)

(1．西南交通大學電氣工程學院， 四川成都 610031；2. 中鐵二院工程集團有限責任公司電化院， 四川成都 610031)

電能傳輸系統(tǒng)載流能力實質上是系統(tǒng)承受熱負荷的能力，也稱耐熱穩(wěn)定性或熱負荷容量[1]。列車通過牽引供電系統(tǒng)獲取電能時牽引網載流能力是評價牽引供電系統(tǒng)供電能力的重要指標。同時，計算牽引網載流能力需要首先獲取牽引網導體載流量，而載流量的確定對牽引供電系統(tǒng)導體截面的選擇也提供了參考[2-3]。

20世紀70年代末，DUNLOP等給出了輸電電荷載荷能力定義。文獻[4]給出熱、電壓降和穩(wěn)定極限時輸電線路最大載荷能力。線路載流能力分析的關鍵步驟是導體載流量和溫度計算[1]，其中，結合設計規(guī)范[5]，輸電線路導體允許載流量的計算公式往往以熱平衡方程給出[1,6-7]。在此基礎上不少學者開展了大量研究，如針對單根導體的計及允許溫度交流電阻計算[6]、針對整體輸電線路實時環(huán)境量測下載流量表達[8]等。也有一些學者對牽引供電系統(tǒng)載流能力進行分析，傳統(tǒng)方法只考慮牽引網傳輸導體自阻抗和各傳輸導體間互阻抗對電流分配系數(shù)的影響[9-10]，文獻[3]在此基礎上，提出了考慮回流電路影響時接觸網載流能力的計算方法，并在涉及電流分配系數(shù)的回路計算中以大地作為參考導體構建各傳輸導體和各回流導體與大地構成的回路。由于大地是牽引電流回流的重要通路，文獻[3]在計算中對大地回流的電流分配系數(shù)進行了假設。

綜上，已有文獻多針對電力架空導體的載流量計算開展分析。即使部分文獻開展了牽引網載流能力分析計算，也大多停留在傳輸導體局部電路的分析基礎上，僅文獻[3]考慮了回流導體的影響，并以大地作為參考導體構建回路，以此為基礎進行計算。然而，實際牽引網導體由于結構、材質、運行環(huán)境等與電力架空導體差別較大，不能完全照搬電力架空導體載流量計算方法。此外，牽引供電系統(tǒng)是以接觸線和承力索作為傳輸導體，回流線、鋼軌、大地等作為回流導體構成的多導體傳輸系統(tǒng)，計算牽引網綜合載流能力時僅考慮傳輸導體，忽略回流導體的影響會帶來計算誤差。而在考慮回流導體影響時，在涉及電流分配系數(shù)的回路計算中若按傳統(tǒng)方法以大地作為參考導體構建回路[3]導致難以單獨得出作為參考導體的大地的準確電流分配系數(shù)。由于大地是牽引電流回流的重要通路，其電流分配系數(shù)對準確分析回流導體對整個牽引網系統(tǒng)影響至關重要。因此，本文提供了一種應用于電氣化鐵路、帶回流線直接供電方式的牽引網綜合載流能力計算方法，相應流程如圖1所示。該方法結合牽引網導體實際，基于熱平衡方程計算牽引網各導體載流量；根據牽引網系統(tǒng)各導體空間位置關系、基礎電氣參數(shù)等，考慮了牽引網中傳輸導體和回流導體構成的實際回路，計及了各回路自感和互感的相互影響，利用多導體傳輸系統(tǒng)回路法得到牽引網各導體載流能力，進而獲得牽引網綜合載流能力。

1 牽引網單導體載流量有效計算方法

導體載流量是指按相關標準、規(guī)程、規(guī)范確定的導體最高工作溫度下承載電流的大小。導體載流量和溫度的關系主要由熱平衡方程描述。熱平衡方程包括焦耳熱量dPJ、太陽輻射熱量dPin、內存儲熱量dPS、對流換熱熱量dPout和對外熱輻射dPout1。

dPJ+dPin-dPS-dPout-dPout1=0

( 1 )

當式( 1 )滿足時，溫度達到一個穩(wěn)定值[11-13]。

焦耳熱量dPJ是交流電流流過導體時導體交流電阻產生的有功功率消耗，其表達式[6-7]為

dPJ=I2e20[1+αR(θ-20)](l/A)dt

( 2 )

式中：I為導體電流；θ為導體溫度；e20為導體在20℃時的電阻率；A為導體截面積；αR為導體溫度系數(shù)；l為導體長度。

太陽輻射熱量dPin表達式為

dPin=dεpsolsinδdt

( 3 )

式中：pso為太陽輻射密度；ε為太陽吸收系數(shù)；d為導體直徑；δ為太陽偏角，計算中可按90°考慮[12]。其中，不同表面和不同材質ε也不同，見表1。

表1 不同表面和材質下的太陽吸收系數(shù)ε

表1(續(xù))

導體內存儲熱量dPS表達式為

dPS=ctdθ=cGdθ=crAldθ

( 4 )

式中：ct為導體熱容量；c為導體材料比熱；r為導體質量密度；A為接觸壁面面積；dθ為溫度變化微分量[12]。其中，與牽引網導體材料相關的銅和鋁比熱c分別為390、880 J/(kg·K)，密度分別為8 900、2 700 kg/m3[11]。

對流換熱熱量dPout是流體與固體表面直接接觸時所產生的熱傳遞，可以表示為

dPout=αrA(θ-θair)dt

( 5 )

式中：A為與流體接觸壁面面積，且A=Ul，U為導體外徑周長，l為導體長度；θ為壁面溫度；θair為流體平均溫度；αr為對流換熱系數(shù)，且αr=(Nu·λ)/lw，λ為空氣特定熱傳導率，lw為導體滑移接觸長度(lw=0.5U)，Nu為努塞爾數(shù)。

Nu=0.17Retr0.62

( 6 )

式中：Retr為綜合自由和強迫對流情況下的雷諾數(shù)，取值范圍103

( 7 )

式中：Ref范圍為5×102

( 8 )

( 9 )

式中：Gr為格拉斯霍夫數(shù)；Pr為普朗特數(shù)，其中μ是計算Pr的一個中間值，表征液體黏性的內摩擦系數(shù)；vair為導體周圍空氣速率；vni為空氣運動黏度。Gr可以表示為

(10)

式中：g為重力加速度；a為體積膨脹系數(shù)。

(11)

空氣中，不同溫度T與dPout計算相關的參數(shù)數(shù)值見表2。其中，t為定性溫度，且t=(θ+θair) /2。

對于對流換熱熱量dPout，上述計算方法主要參考并分析了文獻[7,11-13]相關內容，鑒于本節(jié)所述方法綜合考慮了傳熱學理論、電氣化鐵路導體特征等因素，后文計算均按此方法開展。

表2 不同溫度T下的對流換熱熱量dPout計算相關的參數(shù)值

基于斯蒂芬-玻爾茲曼定律，由于通常壁面溫度T近似等于流體平均溫度Tair，熱輻射熱量dPout1計算式為

(12)

式中：σ為斯蒂芬-玻爾茲曼常數(shù)，其值為5.67×10-8W/(m2·K4)；h為物體表面黑度，幾種常用材料的物體表面黑度見表3。根據德國高鐵設計經驗，接觸線下部表面可認為是光亮的，頂部被氧化和污染，相應輻射率上部為0.93，下部為0.24，磨耗10%的接觸線，上下部比值為0.79/0.21。因此dPout1可表示為

(13)

表3 幾種常用材料的物體表面黑度

2 計及牽引網單導體載流量的計算

將dPJ、dPin、dPS、dPout、dPout1計算式分別代入式( 1 )所示熱平衡方程中，可得

(14)

基于式(14)，可得持續(xù)時間下電流I在牽引網導體產生的溫升、導體正常載流量和導體短路載流量。

2.1 導體溫升計算

對式(14)關于t求導，并就求導所得方程進行求解，設θ1、θ2為記錄時間內導體起止溫度，即t=0時θ=θ1，t=+∞時θ=θ2，可得

(15)

式中

(16)

基于式(15)、式(16)，可得持續(xù)時間內負荷電流I加載在導體上產生的溫升。假設環(huán)境溫度40℃、風速0.5 m/s、太陽輻射密度1 000 W/m2，CTS-150導線和JTM-120絞線在不同I和t下溫升曲線如圖2所示。

圖2 兩種接觸線在不同電流和電流持續(xù)時間下溫升曲線

2.2 導體正常載流量計算

將導體允許最高溫度設為θlim，并考慮單位長度導體處于穩(wěn)定狀態(tài)，即dθ/dt=0。代入熱平衡方程，可推導牽引網單導體正常載流量計算式為

(17)

圖3 不同溫度下各種導體的載流量

基于式(17)，按導體溫升假設條件推導不同θlim值對應的各種導體載流量，如圖3所示。其中，導體型號a1、a2、b1、b2、c1、c2、d1、d2、e1、e2、f1、f2、g1、g2分別為CTA-120、CTA-150、CTM-120、CTM-150、CTMH-120、CTMH-150、CTS-120、CTS-150、JT-95、JT-120、JTM-95、JTM-120、JTMH-95、JTMH-120。將圖3所示結果與文獻[14-15]中不同型號的電氣化鐵道接觸線和絞線載流量標準進行比較，發(fā)現(xiàn)數(shù)值接近，可以驗證本文所述牽引網單導體正常載流量計算方法的有效性。

2.3 導體短路載流量計算

短路情況下，導體電流瞬間可達正常工作電流的幾十倍，導體產生的焦耳熱量急劇增加，可能導致導體被熔化，形成嚴重事故。文獻[16-17]在對導體允許短路載流量分析中，做了如下假設：不考慮導體集膚效應；導體電阻與溫度成線性關系；導體單位熱耗恒定；溫升過程是絕熱的。根據上述假設，可以認為在整個極短短路過程中，導體產生熱量將全部用于提升自身溫度。此時熱平衡方程只計及焦耳熱量dPJ和存儲熱量dPS，其方程為

(18)

通過轉換，可得

(19)

對式(19)兩側關于t和θ積分，可得

(20)

式中：tk為短路持續(xù)時間；θlim為導體允許極限溫度，指導體可能熔化溫度，遠高于導體正常載流量的允許溫度；θa為短路前導體溫度。

圖4 兩種接觸線在不同短路持續(xù)時間下短路載流能力

式(20)中，關于導體允許極限溫度θlim如文獻[17]所規(guī)定的，電解銅接觸線的θlim為175 ℃，銅銀、銅鎂合金接觸線的θlim為200 ℃，青銅導體的θlim可達300 ℃?；谑?20)，可得CTS-150導體和JTM-120絞線在不同短路持續(xù)時間下的短路載流能力曲線，如圖4所示。

3 牽引網綜合載流能力計算

基于上述分析可得牽引網n個導體各自的載流量Ii(i=1, 2,…,n)，基于多導體回路理論計算各導體電流分配系數(shù)ki，并代入式(21)，得到對應各導體的牽引網載流能力Iki。

(21)

取對應各導體的牽引網載流能力的最小值I=min{Iki}(i=1,2,…,n)，可得牽引網綜合載流能力。

3.1 導體電流分配系數(shù)的獲取

以單線帶回流線直接供電方式的牽引網系統(tǒng)為例，基于傳輸導體回路思想求解各導體電流分配系數(shù)ki的計算過程見下文。

圖5為帶回流線直供方式牽引網各導體的布置。牽引網導體網絡由與列車受電弓接觸的T線(包括接觸線JW和承力索CW)、鋼軌R以及與R相聯(lián)系的大地E和回流線NW組成。其中，T線與牽引變壓器正極性端子連接，R、E、NW線等相互連接并與牽引變壓器負極性端子(接地端子)連接。從傳輸和回流的角度可將導體T線(包括接觸線JW和承力索CW)劃分為傳輸導體，其他導體劃分為回流導體。傳輸導體與回流導體間兩兩構成8條回路，見表4。

圖5 常規(guī)的計及帶回流線直供方式單線牽引網各導體布置

表4 計及帶回流線直接供電方式的單線牽引網回路編號

結合表4，根據各回路電壓降與回路磁鏈關系，可得當電源為正弦激勵時各回路電壓降、回路電感和各回路電流間的關系為

(22)

式中：lij(i=1, 2, …, 8；j=1, 2, …, 8)為8條回路對應的自感和兩兩間的互感，構成矩陣即回路電感矩陣；ΔUi對應各回路電壓降(i=1, 2, …, 8)；Ii為各回路電流(i=1, 2, …, 8)；ω為角頻率。

牽引網眾多導體長度較長且平行，各回路可視為并聯(lián)，即各回路電壓降相等，因此，可以假設各回路電壓降為某一值，從而根據式(22)得到在該電壓降下的各回路電流，進而得到各回路的電流分配系數(shù)khi。此外，假設導體JW、CW、R1、R2、NW、E的電流分別為I11、I12、I01、I02、I03、I04，結合圖4，其與各回路電流I1、I2、I3、I4、I5、I6、I7、I8的關系見式(23)，代入各回路電流分配系數(shù)khi即可獲得各導體電流分配系數(shù)ki。

(23)

根據上述推導，要獲得各導體電流分配系數(shù)ki必須求取各回路自感和兩兩間互感l(wèi)ij(i=1, 2, …, 8；j=1, 2, …, 8)。對于基于多導體回路法的單位長度自電感和互電感推導中，回路可分為兩類：導體與導體構成的架空導體回路(表4中回路1、回路2、回路3、回路5、回路6和回路7)和導體與大地構成的大地回流回路(表4中回路4和回路8)。對于前者，采用基本的回路阻抗公式進行計算[18]，結合圖6，式(24)為與回路1相關的自感和與其他回路間的互感計算公式。

(24)

式中：l11為回路1的自感；l1j為回路1與架空導體回路j(j=2、3、5、6、7)相交聯(lián)的互感；μ為磁導率；ω為角頻率。

針對以大地作為回流通道的回路(即回路4和回路8)而言，電氣化鐵道阻抗計算中Carson公式是普遍使用的方法。假設大地上方有名為i、j的兩導體均以大地作為回流回路(如圖7所示)，它們的自電感l(wèi)i、lj和互電感l(wèi)ij計算公式為

(25)

(26)

圖6 帶回流線直供單線牽引網傳輸回流架空導體示意圖

圖8 架空回流回路與大地回流回路間互感計算示意圖

對于大地回流回路與架空回流回路間的互感計算(回路4、8分別與回路1、2、3、5、6、7間互感)，以圖8為例說明其計算方法。假設傳輸導體i和回流導體k構成一架空回流回路，傳輸導體j與大地構成大地回流回路。架空導體回路i-k與傳輸導體j的大地回流回路間互感l(wèi)i-k, j計算式為

(27)

式中：Di為導體i到導體j對應的等值地回線深度點j′間距離；Dk為導體k到導體j對應的等值地回線深度點j′間距離；djk為導體j到導體k間距離；dij為導體i到導體j間距離。由于等值地回線深度Dg通常遠大于牽引網導體離地高度和牽引網導體之間的距離，即Di≈Dk≈Dg，因此，對于式(27)有

(28)

根據式(24)～式(28)計算得到各回路自感和兩兩間互感l(wèi)ij(i=1, 2, …, 8；j=1, 2, …,8)，進而求出各導體電流分配系數(shù)ki。

3.2 單線牽引供電系統(tǒng)載流能力計算

對于帶回流線直接供電方式，由于構成回流回路導體較多，而傳輸回路僅有接觸線和承力索，故按照傳輸回路各導體(接觸線JW和承力索CW)計算綜合載流能力即可。表5為計及帶回流線直接供電方式的單線牽引供電系統(tǒng)各導體電氣參數(shù)?；谏鲜龇椒ㄇ蟮酶骰芈冯娏鞣峙湎禂?shù)、傳輸導體CW與JW電流分配系數(shù)和牽引網綜合載流能力見表6。其中，根據文獻[14]和文獻[15]，JW和CW最高工作溫度取95 ℃。根據表6，計算所得的鋼軌、回流線和大地回流分配系數(shù)分別為0.396、0.322和0.282。結合高速鐵路牽引供電系統(tǒng)各回流導體電流分配指標研究和相關實測、仿真結果[3, 19-21]，鋼軌、回流線和大地回流分配系數(shù)均在合理范圍內。

表5 常規(guī)的計及帶回流線直供方式的單線牽引供電系統(tǒng)各導體電氣參數(shù)

表6 計及單線直供帶回流線牽引供電方式的計算結果

3.3 復線牽引供電系統(tǒng)載流能力計算

采用3.1節(jié)所述方法對帶回流線直供方式復線牽引網開展計算。復線牽引網一般采用上下行分開、末端并聯(lián)和全并聯(lián)3種供電方式。其中， 當上行和下行分開供電時對載流能力的要求最高，因此，本文對上下行采用分開供電時的復線牽引供電系統(tǒng)綜合載流能力開展計算。

常規(guī)的帶回流線直供方式下復線牽引網導體布置如圖9所示，其由完全對稱相等的上行和下行系統(tǒng)構成。其中上行和下行承力索(CW1與CW2)、接觸線(JW1與JW2)構成傳輸導體；鋼軌(R1、R2、R3與R4)、回流線(NW1與NW2)和大地(E)構成回流導體。傳輸線和回流線間兩兩構成回路。結合表7所示的供電系統(tǒng)各導體電氣參數(shù)，對牽引網綜合載流量進行計算。計算分為兩種工況：一種是不考慮上下行牽引網互感影響的情況，即假設僅在上行或下行存在負荷；另一種計及了上下行牽引網互感影響，即假設上行和下行同時存在相同負荷。對于前者，由于只有一個方向存在負荷，另一個方向的傳輸導體沒有電流流通，不會參與回路的構建。因此，只有一個方向的傳輸導體會與復線所有回流導體兩兩構建回路，根據圖9，共形成14階的回路電感矩陣。對于后者，上下行的傳輸導體與回路導體間均參與回路的構建，根據圖9，共形成28階的回路電感矩陣?；诖?，根據表7所示的圖9中各導體電氣參數(shù)，根據本文所述方法計算得到兩種工況下各回路電流分配系數(shù)、各傳輸導體電流分配系數(shù)和牽引供電系統(tǒng)綜合載流能力分別見表8、表9。需要說明的是，上下行同時存在相同負荷時，前14個回路與后14個回路完全對稱，上行和下行的電流分配系數(shù)完全相同。

圖9 常規(guī)的計及帶回流線直供方式復線牽引網各導體布置

根據表8，僅在上行或下行存在負荷情況下鋼軌回流總比例為0.480 2，回流線回流總比例為0.359 5，大地回流總比例為0.160 3。根據表9，上行或下行同時存在負荷情況下鋼軌回流總比例為0.407 3，回流線回流總比例為0.400 7，大地回流總比例為0.192。結合高速鐵路牽引供電系統(tǒng)各回流導體電流分配指標研究和相關實測、仿真結果[3, 19-21]，鋼軌、回流線和大地的回流分配系數(shù)均在合理范圍內。

表7 常規(guī)的計及帶回流線直供方式的復線牽引供電系統(tǒng)各導體電氣參數(shù)

表8 僅在上行或下行存在負荷情況下的復線牽引網綜合載流量計算結果

表9 上行和下行同時存在負荷情況下的復線牽引網綜合載流量計算結果

4 結束語

牽引網綜合載流能力是評價牽引供電系統(tǒng)供電能力的重要指標。基于熱平衡方程，本文結合牽引網導體具體情況，通過理論分析得到方程相關焦耳熱量、太陽輻射熱量、內儲存熱量、對流換熱熱量和熱輻射熱量的有效計算方法，并將其帶入用于計算輸電線路導體允許載流量的熱平衡方程，進而獲得牽引網各導體載流量。通過不同型號電氣化鐵道銅和銅合金接觸線、銅和銅合金絞線載流量標準驗證了本文所述牽引網單導體正常載流量計算方法的有效性。基于多導體傳輸系統(tǒng)回路法推導了牽引網各導體電流分配系數(shù)，進而獲得整個帶回流線直供方式的牽引網綜合載流能力。將該方法用于帶回流線直接供電方式單線和復線牽引供電系統(tǒng)實際線路的綜合載流能力計算，計算結果表明鋼軌、回流線和大地的回流分配系數(shù)均在合理范圍內，驗證了本文所述方法的有效性。本文提出的方法在計算牽引網導體載流量時結合牽引供電系統(tǒng)實際，推導牽引網各導體載流能力時考慮了牽引網中傳輸導體和回流導體構成的實際回路，計及了各回路自感與互感的相互影響，得到準確的、作為參考導體的大地電流分配系數(shù)。