馬 馳， 劉世忠

(蘭州交通大學土木工程學院，甘肅蘭州 730070)

波形鋼腹板PC組合箱梁是由波形鋼腹板代替?zhèn)鹘y(tǒng)的混凝土腹板改進而成的一種新型組合梁橋。文獻[1-3]對波形鋼板、波形鋼腹板Ⅰ型鋼梁及波形鋼腹板PC組合箱梁橋的抗剪強度、剪切屈曲開展研究。文獻[4-5]研究波形鋼腹板剪切變形對波形鋼腹板組合梁受力行為的影響，提出把該結(jié)構(gòu)在承受彎曲荷載作用時的變形形式分離成桁架和彎曲作用計算鋼腹板剪切變形。文獻[6]制作波形鋼腹板混凝土試驗箱梁，對試驗箱梁的動力特性進行計算和分析。文獻[7]導(dǎo)出分析波形鋼腹板組合箱梁橋扭轉(zhuǎn)振動的有效辦法，證明設(shè)置橫隔板可以提高結(jié)構(gòu)的抗扭慣性矩，改善動力特性。文獻[8]基于能量變分理論，得到計入剪力滯與剪切變形效應(yīng)的波形鋼腹板簡支箱梁結(jié)構(gòu)自振頻率解析解。文獻[9]考慮剪滯剪切效應(yīng)的影響，運用能量變分法與Hamilton原理，推導(dǎo)獲得該橋型自由彎曲振動的控制微分方程，以提高波形鋼腹板組合梁橋的自振頻率計算精度。文獻[10-14]對薄壁箱梁剪力滯、剪切變形雙重效應(yīng)的自振特性進行分析研究?，F(xiàn)階段，很少有學者對波形鋼腹板組合箱梁剪滯剪切雙重效應(yīng)的自振特性進行研究。本文利用能量變分原理，考慮剪滯剪切變形雙重效應(yīng)，在獲得單元剛度矩陣和等效節(jié)點荷載矩陣的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)波形鋼腹板組合箱梁的一致質(zhì)量矩陣，使波形鋼腹板組合箱梁矩陣位移法更加系統(tǒng)、完整，為計算波形鋼腹板組合箱梁的剪滯剪切效應(yīng)提供一種新的分析方法。

1 波形鋼腹板組合箱梁的控制微分方程及單元剛度矩陣

圖1所示的波形鋼腹板組合箱梁在對稱彎曲作用下，截面上梁的豎向撓度為W(x)，彎曲撓度引起的轉(zhuǎn)角為φ(x)，其縱向位移U(x,y,z)滿足

( 1 )

式中：x、y、z分別為橋梁縱向、橫向、豎向坐標；b為箱梁凈寬的一半；u(x)為最大縱向位移差函數(shù)。

圖1 波形鋼腹板箱梁橫截面

根據(jù)文獻[14]，波紋鋼腹板的有效剪切模量計算公式為

( 2 )

式中：Es為鋼材的彈性模量；νs為鋼材的泊松比。其他結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖2所示。

圖2 波形鋼腹板幾何參數(shù)

波形鋼腹板部分僅考慮剪切應(yīng)變能，忽略其彎曲應(yīng)變能，波形鋼腹板剪應(yīng)變γxz=W′(x)-φ(x)，W′(x)為豎向撓度W(x)一階導(dǎo)數(shù)，全梁應(yīng)變能為

( 3 )

式中：E為混凝土的彈性模量；ε為縱向應(yīng)變；G為混凝土的剪切模量。

設(shè)z方向的、沿縱向分布的荷載為q=q(x)，l為梁長，M、Q為梁右端的彎矩和剪力，外力做功為

( 4 )

總勢能為Π=V-Γ，由最小勢能原理δΠ=0得到波形鋼腹板組合箱梁的控制微分方程組及自然邊界條件為

( 5 )

波形鋼腹板組合箱梁在均布荷載作用下的初參數(shù)解為

( 6 )

( 7 )

( 8 )

將x=l代入式( 6 )～式( 8 )，整理可得均布荷載作用下直線梁單元平衡方程為

( 9 )

(10)

(11)

(12)

式中：i表示單元左端；j表示單元右端。

(13)

等效結(jié)點荷載列陣中的元素分別為

(14)

式(13)、式(14)中各符號的意義如下：

(15)

2 波形鋼腹板組合箱梁的質(zhì)量矩陣和運動方程

由虛功原理導(dǎo)出局部坐標系下波形鋼腹板組合箱梁單元的質(zhì)量矩陣為

(16)

式中：Ne為形函數(shù)矩陣，它是梁單元內(nèi)部結(jié)點坐標的函數(shù)，與時間t無關(guān)。

令式( 6 )～式( 8 )中的q=0并寫成矩陣形式

(17)

(Ki)3×6(δe)6×1=(Fi)3×1+(Ri)3×1

(18)

由式(18)可得

(19)

(20)

式(20)中δe的系數(shù)矩陣就是形函數(shù)矩陣Ne，將Ne代入式(16)即可導(dǎo)出考慮剪力滯、剪切變形效應(yīng)的波形鋼腹板組合箱梁單元質(zhì)量矩陣，單元質(zhì)量矩陣的形式為(Me)6×6，矩陣中各元素的表達式較復(fù)雜冗長，不再列出。

根據(jù)虛功原理可得局部坐標系下平面梁單元的運動方程

Meδe+Keδe=Fe

(21)

式中：Ke為局部坐標系下的單元剛度矩陣；Me為局部坐標系下的質(zhì)量矩陣。

根據(jù)平面結(jié)構(gòu)有限元理論組集系統(tǒng)坐標系下的單元剛度矩陣與一致質(zhì)量矩陣，并列出各結(jié)點滿足的平衡條件，即可得到整個結(jié)構(gòu)的運動表達式

Mδ+Kδ=P

(22)

式中：δ為結(jié)點位移總矢量；P為已知的結(jié)點荷載總矢量；K和M分別為系統(tǒng)的總剛度矩陣和總一致質(zhì)量矩陣。

3 動力特性分析

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的重要動力性能是自振特性,即結(jié)構(gòu)系統(tǒng)無阻尼自由振動的頻率與相應(yīng)振型，求解自振特性的過程即確定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動頻率與其相應(yīng)振型的過程。

在式(22)中令P=0，得

Mδ+Kδ=0

(23)

式(23)為結(jié)構(gòu)的無阻尼自由振動方程[15]，式(23)基本解的一般形式應(yīng)為

δ(t)=φsin(ωt+β)

(24)

式中：φ為非零n元列向量，它的各分量之間無關(guān)；ω與β為待定常量。

式(24)的基本解表示的是以ω為圓頻率的簡諧振動，而φ則為與ω相應(yīng)的振型，β為相位角。

將計算出的基本解代回式(23)，即可得到確定圓頻率ω與相應(yīng)振型φ的方程

Kφ=ω2Mφ

(25)

這是一個廣義特征值問題，也稱為振動特征值問題。

式(25)可改寫為

(K-ω2M)φ=0

(26)

式(26)為關(guān)于φ的n個分量的線性代數(shù)齊次方程組，該方程組存在非零解φ的充要條件為

det[(K-ω2M)φ]=0

(27)

由式(27)可確定ω，稱該式為頻率方程。記

λ=ω2

并記

p(λ)=det(K-λM)

(28)

稱p(λ)為振動特征值問題的特征多項式，而方程p(λ)=0的根稱為特征根。

由頻率方程式(27)解得n個ω，代入式(26)后，可得到非零解φ，即相應(yīng)的振型。本文利用子空間迭代法編制求解廣義特征值的Fortran語言程序BXBOX。

4 算例分析

4.1 算例1

按照本文單元剛度矩陣和一致質(zhì)量矩陣建立運動方程,對文獻[8]中的波形鋼腹板組合箱梁進行計算。該試驗箱梁跨度為9.745m，模型橫截面尺寸參照文獻[8]中的圖3。箱梁混凝土的實測彈性模量為3.45×104MPa，泊松比為0.167，鋼材彈性模量為1.95×105MPa，泊松比為0.3。本文把該試驗梁分為40個單元進行計算，本文方法計算結(jié)果與文獻[8]提供的一般梁理論、有限元及實測法所得的結(jié)果列于表1。其中一般梁理論為不考慮剪力滯及剪切變形效應(yīng)的結(jié)果，本文方法為考慮剪力滯及剪切變形效應(yīng)的結(jié)果。

表1 波形鋼腹板組合箱梁的自振特性

由表1可以看出，本文計算結(jié)果與有限元法和實測所得的結(jié)果吻合較好，驗證了本文方法的正確性。本文方法計算結(jié)果相對一般梁理論計算結(jié)果精度大幅提高，隨著階次的升高一般梁理論誤差也在增大，本文計算方法的計算量小，計算精度高，可用于考慮剪力滯及剪切變形效應(yīng)自振特性的分析計算，且可得到與文獻[8]同樣的規(guī)律，考慮剪力滯及剪切變形效應(yīng)后，波形鋼腹板組合箱梁的自振頻率有所降低，且降低程度隨著階次的升高迅速增大。

4.2 算例2

模型試驗梁為簡支箱梁，截面梁長為5 m，采用C50細石混凝土，實測抗壓強度平均值為49.7 MPa，泊松比為0.2，彈性模量為34.5 GPa；波形鋼腹板選擇Q235，波紋板型號為H1600，厚度為2 mm，實測鋼材彈性模量為206 GPa，泊松比為0.3；普通鋼筋采用φ6鋼筋，預(yù)應(yīng)力筋采用1860級7φ5的鋼鉸線。試驗梁橫截面尺寸、縱向立面尺寸如圖3、圖4所示，波形鋼腹板波形形狀如圖5所示。本文建立ANSYS實體模型[16]、考慮剪切變形的Midas梁單元模型和不考慮剪切變形的Midas梁單元模型，實體模型中箱梁頂板與底板采用solid45單元，波紋板采用薄殼單元shell63單元，且三者采用共節(jié)點方式連接，采用8節(jié)點的單元對實體模型進行網(wǎng)格劃分， ANSYS有限元模型如圖6所示，模型試驗梁如圖7所示。

圖3 模型梁橫截面設(shè)計尺寸(單位：mm)

圖4 模型梁縱向立面尺寸(單位：mm)

圖5 波形鋼腹板波形形狀平面圖(單位：mm)

圖6 試驗梁有限元模型

圖7 模型試驗梁

對波形鋼腹板簡支梁和連續(xù)梁進行動力效應(yīng)測試，獲得其振動頻率及相應(yīng)的振型，采用東華DHDAS信號測試分析系統(tǒng)對室內(nèi)模型試驗梁進行動力特性測試，試驗梁的模態(tài)試驗采用瞬態(tài)激振法，采樣頻率為512 Hz。模型試驗梁上布置DHDAS動態(tài)信號采集器，如圖8所示，該設(shè)備可以采集豎向和橫向的動態(tài)信號。為避免所關(guān)心頻率的丟失，沖擊荷載的位置根據(jù)結(jié)構(gòu)的振型確定，應(yīng)避免敲擊點設(shè)置在結(jié)構(gòu)前幾階模態(tài)振型的結(jié)點上。根據(jù)本試驗?zāi)Ｐ驼裥偷挠嬎惴治鼋Y(jié)果，進行敲擊點和測點的布設(shè)，如圖9所示。試驗中保持激勵位置不變，在激勵位置發(fā)射脈沖信號，測量測點位置的加速度響應(yīng)信號，通過分析程序進行模態(tài)擬合，得到試驗梁的各階振型。通常振動頻率按由小到大的順序排列，對應(yīng)的振型也由簡單變?yōu)閺?fù)雜，如果計算實測沒有發(fā)生漏根，結(jié)構(gòu)的固有頻率按次序排列與振型一一對應(yīng)。

圖8 DHDAS動態(tài)信號采集器

圖9 采集器在上翼板的平面布置(單位：mm)

4.2.1 剪滯剪切效應(yīng)對波形鋼腹板簡支箱梁自振特性的影響

采用本文編制的BXBOX程序分析波形鋼腹板PC組合箱梁的振動行為，把簡支梁分為4個單元5個節(jié)點進行計算,將實測值、本文計算值與數(shù)值模擬值的前四階自振頻率列于表2、表3。

表2 剪滯剪切效應(yīng)對簡支梁自振特性的影響

表3 不同方法間頻率差值(簡支梁)

考慮剪力滯和剪切變形雙重效應(yīng)的情況下，本文計算值與模型實測值、ANSYS數(shù)值計算值幾乎完全吻合，驗證了本文理論的正確性；其次采用Midas梁單元模型計算考慮剪切變形、不考慮剪切變形的工況以及不考慮剪力滯和剪切變形效應(yīng)的工況(即一般的箱梁理論)。ANSYS實體模型的前四階振型如圖10～圖13所示，一階和二階振型表現(xiàn)出梁豎向振動特性，三階和四階振型既表現(xiàn)出梁的豎向振動又有翼緣板沿梁軸線的振動特性。由表2、表3可知，剪切變形效應(yīng)使梁內(nèi)的自振頻率降低，對高階頻率的影響更大，四階時所得的結(jié)果頻率差值達到了7.771%，一般箱梁理論值與本文計算值的頻率差值在四階時達到了44.166%，由此可知剪力滯效應(yīng)對波形鋼腹板組合箱梁的動力特性起主導(dǎo)作用。

圖10 簡支梁一階振型

圖11 簡支梁二階振型

圖12 簡支梁三階振型

圖13 簡支梁四階振型

4.2.2 剪滯剪切效應(yīng)對波形鋼腹板連續(xù)梁自振特性的影響

在算例2簡支梁的基礎(chǔ)上，在距離梁端2.5 m(即中橫隔板位置)處的跨中截面上增加固定支座，使其變?yōu)閮傻瓤邕B續(xù)梁(2.5 m+2.5 m)，邊跨固定支座變換為活動支座，使簡支梁變成如圖14所示的連續(xù)梁，把全梁分為20個單元進行計算，并討論考慮剪滯、剪切效應(yīng)對兩等跨連續(xù)梁振動特性的影響。將實測值、本文計算值與數(shù)值模擬值的前四階自振頻率列于表4、表5，連續(xù)梁表現(xiàn)出與表2、表3中簡支梁相同的振動特性。

圖14 連續(xù)梁的支座和單元節(jié)點

表4 剪滯剪切效應(yīng)對連續(xù)梁自振特性的影響

表5 不同方法間頻率差值(連續(xù)梁)

由表4和表5可知，本文計算值與模型試驗值吻合良好，驗證了本文理論的正確性。剪滯剪切變形效應(yīng)使梁內(nèi)的自振頻率降低，對高階頻率的影響更大，四階時所得的結(jié)果頻率差值達到45.748%，規(guī)律與波形鋼腹板簡支箱梁相同。

5 結(jié)論

本文利用能量變分原理方法，考慮剪滯剪切變形雙重效應(yīng)，在獲得單元剛度矩陣和等效節(jié)點荷載矩陣的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出波形鋼腹板PC組合箱梁的一致質(zhì)量矩陣，使波形鋼腹板PC組合箱梁矩陣位移法更加系統(tǒng)、完整，為波形鋼腹板PC組合箱梁的剪滯剪切效應(yīng)提供一種新的計算方法。與波形鋼腹板PC組合箱梁的板殼或?qū)嶓w單元計算相比，計算量小、計算精度高，在工程實際中易于應(yīng)用。算例表明：

(1)對于波形鋼腹板簡支箱梁和連續(xù)箱梁，本文計算值與模型試驗值所得的自振特性值幾乎完全吻合，驗證了本文理論的正確性和可靠性。

(2)考慮了剪力滯與剪切變形雙重效應(yīng)的影響后，波形鋼腹板PC組合箱梁結(jié)構(gòu)的自振頻率與Midas梁單元模型的模擬數(shù)值相比有所減小。這是因為剪力滯與剪切變形雙重效應(yīng)的影響使混凝土翼板與鋼腹板的有效剛度降低，進而減小了組合結(jié)構(gòu)的自振頻率，對高階頻率影響較大。

(3)對波形鋼腹板PC組合箱梁進行動力特性分析時，考慮剪滯剪切效應(yīng)使結(jié)構(gòu)自振頻率明顯減小，在四階時約減小45%，剪切效應(yīng)對其頻率的影響在7%左右，剪力滯效應(yīng)對該箱梁的動力特性影響更大。因此，對波形鋼腹板組合箱梁進行動力特性分析時應(yīng)考慮剪力滯和剪切變形效應(yīng)的影響。