吳靖，胡國才,*，柳泉，劉湘一

1. 海軍航空大學(xué) 航空基礎(chǔ)學(xué)院，煙臺 264001 2. 海軍航空大學(xué) 91206部隊，青島 266108

直升機(jī)起落架的剛度及阻尼對其地面狀態(tài)的動穩(wěn)定性影響較大，必須確保直升機(jī)開車至起飛離地以及著陸至完全停車整個過程都不會發(fā)生地面共振，因此研究滿足地面共振穩(wěn)定性要求的起落架剛度及阻尼對直升機(jī)動力學(xué)設(shè)計至關(guān)重要。

不管是陸地還是艦面[1-3]狀態(tài)，輪式或滑橇式起落架直升機(jī)[4-5]的地面共振研究通常是在已知起落架剛度及阻尼的情況下，對直升機(jī)進(jìn)行地面共振分析[6-8]，驗證是否滿足穩(wěn)定性要求。也有通過分析起落架剛度及阻尼對地面共振穩(wěn)定性的影響，來獲得對起落架進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計的有益指導(dǎo)[9-12]。但關(guān)于滿足直升機(jī)地面共振穩(wěn)定性要求的起落架剛度及阻尼優(yōu)化設(shè)計的研究較少，一般依據(jù)直升機(jī)著陸緩沖性能要求初步確定起落架剛度及阻尼，再根據(jù)地面共振要求對剛度及阻尼進(jìn)行修正[13-15]；米里[16]提出以直升機(jī)滑跑時的不穩(wěn)定中心與工作轉(zhuǎn)速重合，并擁有足夠阻尼裕度為要求的起落架剛度和阻尼選擇方法；顧仲權(quán)[17]提出以起落架需用阻尼最小為優(yōu)化目標(biāo)，主要約束條件為在給定旋翼轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)機(jī)體模態(tài)滿足阻尼裕度要求，最小模態(tài)阻尼比是通過特征值法求解模態(tài)阻尼后，在共振轉(zhuǎn)速附近尋找的方式獲得，該方法對于求解最小模態(tài)阻尼比過于繁瑣，且未考慮機(jī)體模態(tài)滿足轉(zhuǎn)速裕度要求的情況。

本文給出了機(jī)體模態(tài)非穩(wěn)區(qū)臨界轉(zhuǎn)速以及與旋翼擺振后退型模態(tài)共振轉(zhuǎn)速下機(jī)體模態(tài)阻尼比的計算方法，據(jù)此提出了滿足地面共振穩(wěn)定性的機(jī)體固有頻率及阻尼要求。通過建立機(jī)體模態(tài)頻率及阻尼與起落架剛度及阻尼的關(guān)系，給出了滿足地面共振穩(wěn)定性的起落架剛度及阻尼要求?；谏鲜龇€(wěn)定性要求，在滿足著陸緩沖性能要求的起落架剛度及阻尼范圍內(nèi)，以減小起落架需用阻尼且增大機(jī)體最小模態(tài)阻尼比為優(yōu)化目標(biāo)提出了對剛度及阻尼進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計的方法，并對某型直升機(jī)進(jìn)行了實例驗證。

1 滿足地面共振要求的機(jī)體特性

1.1 非穩(wěn)區(qū)臨界轉(zhuǎn)速和共振區(qū)模態(tài)阻尼計算

在進(jìn)行直升機(jī)動力學(xué)設(shè)計時，避免地面共振一般有2種方法：① 使機(jī)體模態(tài)與旋翼擺振后退型模態(tài)耦合非穩(wěn)區(qū)遠(yuǎn)離工作轉(zhuǎn)速；② 有足夠的阻尼確保耦合系統(tǒng)在工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)不會產(chǎn)生地面共振[13-14]。根據(jù)上述方法進(jìn)行地面共振設(shè)計的關(guān)鍵是要確定非穩(wěn)區(qū)臨界轉(zhuǎn)速和共振區(qū)模態(tài)阻尼。在槳轂中心有水平運動的機(jī)體模態(tài)與旋翼擺振后退型模態(tài)的共振轉(zhuǎn)速Ωr有如下關(guān)系：

對于槳葉擺振欠阻尼情況，根據(jù)式(1a)可得共振轉(zhuǎn)速計算公式為

(2)

由于研究的是滿足直升機(jī)地面共振要求的機(jī)體特性，因此考慮旋翼槳葉擺振阻尼較大的情況，此時危險模態(tài)是機(jī)體模態(tài)，要確定其臨界轉(zhuǎn)速，就需要知道其模態(tài)阻尼在共振區(qū)附近隨旋翼轉(zhuǎn)速Ω的變化情況。由旋翼機(jī)體耦合系統(tǒng)的特征方程是難以解出模態(tài)阻尼的顯式表達(dá)形式，根據(jù)機(jī)體模態(tài)阻尼在非穩(wěn)區(qū)附近的變化趨勢構(gòu)造機(jī)體無阻尼時的模態(tài)阻尼比函數(shù)為

(3)

式中：系數(shù)A、B、C和D通過式(4)確定。

(4)

由式(4)確定的各系數(shù)為

(5)

某直升機(jī)旋翼采用黏彈減擺器來提高槳葉的擺振阻尼，在3種擺振幅值狀態(tài)下，其復(fù)模量如表1 所示。

采用式(3)計算機(jī)體無阻尼時其模態(tài)阻尼比在非穩(wěn)區(qū)的變化情況，與采用特征值法求解的模態(tài)阻尼比對比如圖1所示。

表1 減擺器復(fù)模量Table 1 Complex modulus of damper

圖1 機(jī)體無阻尼時的模態(tài)阻尼比Fig.1 Modal damping ratio without fuselage damping

由圖1可知，針對槳葉不同擺振情況，式(3)均能較好地擬合機(jī)體無阻尼時其在非穩(wěn)區(qū)的模態(tài)阻尼比，最大誤差為7.08%，說明了式(3)的準(zhǔn)確性，可用于下一步確定非穩(wěn)區(qū)臨界轉(zhuǎn)速。由圖1中也可以看出，隨著槳葉擺振幅值減小，黏彈減擺器儲能模量增加，擺振固有頻率增加，與機(jī)體模態(tài)耦合轉(zhuǎn)速增加，不穩(wěn)定中心右移；黏彈減擺器耗能模量增加，擺振阻尼增加，機(jī)體模態(tài)阻尼增加，穩(wěn)定性增加。

機(jī)體有阻尼時共振區(qū)附近的模態(tài)阻尼比為

σ(Ω)=σ0(Ω)+σfb

(6)

由式(4)和式(6)推導(dǎo)可知，共振點的機(jī)體模態(tài)阻尼比σ(Ωr)=(cf-cfr)/(2mfbωfb)，當(dāng)cf>cfr時，即機(jī)體阻尼大于最小需用阻尼時，共振點的機(jī)體模態(tài)阻尼比大于0，也就表明機(jī)體模態(tài)不存在非穩(wěn)區(qū)。

根據(jù)σ(Ω)=0可確定機(jī)體模態(tài)非穩(wěn)區(qū)下界Ωl和上界Ωh分別為

(7)

采用式(7)計算機(jī)體取不同阻尼時直升機(jī)地面共振非穩(wěn)區(qū)臨界轉(zhuǎn)速的變化情況，與通過特征值法確定的結(jié)果對比如圖2所示。

由圖2可知，針對槳葉不同擺振情況，式(7)均能較好地擬合機(jī)體取不同阻尼時的臨界轉(zhuǎn)速，最大誤差僅為3.54%，說明了式(7)用于計算非穩(wěn)區(qū)臨界轉(zhuǎn)速的準(zhǔn)確性。該方法避免了通過求解不同轉(zhuǎn)速下的特征值再根據(jù)特征值尋找臨界轉(zhuǎn)速的繁瑣，可為后續(xù)采用優(yōu)化算法進(jìn)行起落架剛度及阻尼的優(yōu)化設(shè)計節(jié)省大量時間。

圖2 非穩(wěn)區(qū)臨界轉(zhuǎn)速Fig.2 Critical rotation speed in instable area

1.2 機(jī)體頻率及阻尼要求

在進(jìn)行直升機(jī)地面共振設(shè)計時，首先考慮是否能使機(jī)體模態(tài)與旋翼擺振后退型模態(tài)共振區(qū)遠(yuǎn)離工作轉(zhuǎn)速，即確保機(jī)體模態(tài)非穩(wěn)區(qū)下界Ωl≥ηΩmax，其中Ωmax為旋翼最大工作轉(zhuǎn)速，η為下界轉(zhuǎn)速裕度，一般取1.2[19]。

在難以使所有機(jī)體模態(tài)均滿足上述要求的情況下，可以考慮使機(jī)體低階模態(tài)非穩(wěn)區(qū)上界Ωh<μΩe，其中Ωe為旋翼額定轉(zhuǎn)速，μ為上界轉(zhuǎn)速裕度，在其足夠小時，旋翼旋轉(zhuǎn)動能很小，在旋翼加速過程中就有可能通過非穩(wěn)區(qū)而不會激起大幅度的振動，一般取0.4[19]。

若不能滿足上述2種情況，則需要提供足夠的阻尼確保機(jī)體模態(tài)阻尼比σ(Ω)≥ε，其中ε為阻尼裕度，一般取0.02[20]。

綜上所述，滿足地面共振穩(wěn)定性的機(jī)體非穩(wěn)區(qū)臨界轉(zhuǎn)速及共振點模態(tài)阻尼比的要求，即機(jī)體頻率及阻尼須滿足的要求為

(8)

滿足式(8)要求的具體判斷流程如圖3所示。

圖3 滿足穩(wěn)定性要求的判斷流程Fig.3 Judgment process meeting stable requirements

2 起落架剛度及阻尼設(shè)計

2.1 機(jī)體運動特性與起落架剛度及阻尼的關(guān)系

為根據(jù)式(8)對起落架剛度和阻尼提出滿足地面共振穩(wěn)定性的設(shè)計要求，需要建立起落架剛度及阻尼與機(jī)體頻率及阻尼的關(guān)系。首先，建立機(jī)體地面狀態(tài)的運動模型，支持在起落架上的機(jī)體簡圖如圖4所示。

根據(jù)分析可知，機(jī)體運動x、z和φy相互耦合，機(jī)體運動y和φx、φz相互耦合，在直升機(jī)地面共振分析中，機(jī)體縱移和橫移以及俯仰和滾轉(zhuǎn)模態(tài)較為重要，該4階模態(tài)與垂向平動和扭轉(zhuǎn)模態(tài)耦合較弱，令機(jī)體縱向運動X1=[x,φy]，機(jī)體橫向運動X2=[y,φx]，可得與地面共振相關(guān)的4階 機(jī)體模態(tài)的無阻尼自由運動方程為

圖4 直升機(jī)簡圖Fig.4 Helicopter diagram

(9)

(10)

(11)

式中：ω1=[ωx,ωφy]和ω2=[ωy,ωφx]分別為機(jī)體縱向和橫向運動前2階模態(tài)固有頻率。

由于滿足地面共振穩(wěn)定性的機(jī)體特性要求是根據(jù)當(dāng)量至槳轂中心的平面模型得出的，因此需將機(jī)體模態(tài)質(zhì)量及阻尼當(dāng)量至槳轂中心，根據(jù)文獻(xiàn)[6,21]研究可知機(jī)體模態(tài)的瞬心位置、當(dāng)量質(zhì)量和當(dāng)量阻尼分別為

(12)

式中：zh為重心至槳轂中心的垂向距離；z1(i)和z2(i)分別為機(jī)體縱向和橫向第i階模態(tài)瞬心距重心的垂向距離；m1(i)和m2(i)分別為機(jī)體縱向和橫向第i階模態(tài)當(dāng)量至槳轂中心的質(zhì)量；c1(i)和c2(i)分別為機(jī)體縱向和橫向第i階模態(tài)當(dāng)量至槳轂中心的阻尼；cxf、cyf、czf和cxa、cya、cza分別為前后起落架3個方向的等效阻尼。

2.2 起落架剛度及阻尼優(yōu)化方法

令剛度k=[kxf,kxa,kyf,kya,kzf,kza]，阻尼c=[cxf,cxa,cyf,cya,czf,cza]，優(yōu)化目標(biāo)為減小起落架的需用阻尼，且增大機(jī)體最小模態(tài)阻尼比，因此，目標(biāo)函數(shù)可定義為

f(k,c)=

(13)

式中：ωbe為額定轉(zhuǎn)速下槳葉的擺振固有頻率。

基于直升機(jī)地面共振穩(wěn)定性要求的起落架剛度及阻尼優(yōu)化設(shè)計可描述為

(14)

式中：kmax和kmin分別為起落架剛度的上下邊界值，cmax和cmin分別為起落架阻尼的上下邊界值，由直升機(jī)著陸緩沖性能要求及具體的起落架構(gòu)型確定。

嵌入尋優(yōu)策略的優(yōu)化流程如圖5所示，尋優(yōu)策略是針對連續(xù)域的優(yōu)化算法，如蟻群算法、遺傳算法或粒子群算法等，滿足的結(jié)束條件是達(dá)到最大迭代次數(shù)或目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到給定要求。

圖5 起落架剛度及阻尼的優(yōu)化流程Fig.5 Optimization of landing gear stiffness and damping

3 實例仿真

實例計算中，旋翼減擺器取大擾動幅值(26 mm) 下的阻尼，旋翼主要參數(shù)如表2所示，直升機(jī)選擇小重量前后重心及大重量前后重心4種狀態(tài)，起落架采用后三點布置，不同狀態(tài)下機(jī)體及各位置參數(shù)[22]如表3所示。

以支柱式起落架為例，其縱橫向剛度主要取決于輪胎的縱橫向剛度，起落架的各向剛度為

(15)

式中：kbu為緩沖支柱等效剛度；kxt、kyt和kzt分別為輪胎3個方向上的剛度，由于前后起落架計算形式相同，式(15)以及式(16)不區(qū)分前后起落架。

根據(jù)某型輪胎剛度數(shù)據(jù)，對文獻(xiàn)[23]中輪胎剛度計算公式進(jìn)行修改，得

(16a)

kyt=B1w(p0+0.24pr)·

(16b)

(16c)

式中：d為輪胎外徑；w為輪胎寬度；δt為輪胎垂向壓縮量；p0為輪胎充氣壓力；pr為輪胎額定充氣壓力，pr=0.25pb，pb為輪胎最小爆炸壓力；A1～A3、B1～B4和C1均為擬合系數(shù)。

表2 旋翼參數(shù)Table 2 Rotor parameters

表3 機(jī)體及位置參數(shù)Table 3 Fuselage and location parameters

針對某型輪胎，其垂向剛度確定后，根據(jù)地面平衡方程可計算其垂向壓縮量，由式(16a)可確定充氣壓力，輪胎縱橫向剛度可由式(16b)和式(16c)計算。因此，需要優(yōu)化的剛度為緩沖支柱剛度及輪胎垂向剛度，k=[kfbu,kabu,kzft,kzat]，根據(jù)著陸緩沖性能要求給出各剛度范圍為：kmax=[780 900, 860 100, 1 435 900, 1 194 500] N·m-1，kmin=[254 300, 198 000, 458 800, 451 500] N·m-1。

該直升機(jī)輪胎在一定壓縮量范圍內(nèi)，其當(dāng)量阻尼系數(shù)與垂向壓縮量關(guān)系不大，主輪3個方向上的當(dāng)量阻尼系數(shù)分別為0.188、0.125和0.204，尾輪3個 方向上的當(dāng)量阻尼系數(shù)分別為0、0.205和0.237， 尾輪由于沒有剎車，不考慮其縱向剛度及阻尼。輪胎阻尼與其剛度相對應(yīng)，需要優(yōu)化的阻尼為緩沖支柱阻尼，c=[cfbu,cabu]，根據(jù)著陸緩沖性能要求給出各阻尼范圍為：cmax= [503 000, 1 058 800] N·s·m-1，cmin= [3 600, 2 000] N·s·m-1。

采用的優(yōu)化算法為粒子群算法，種群規(guī)模為18，初始種群采取均勻隨機(jī)分布策略，迭代次數(shù)為40，各狀態(tài)下計算10次的迭代結(jié)果如圖6所示，優(yōu)化所得剛度及阻尼如圖7所示。

由圖6可知，所采用的優(yōu)化算法對該問題的收斂性較好，迭代40次均能收斂到最優(yōu)值，直升機(jī)在4種重量重心狀態(tài)下的最優(yōu)值分別為0.939 7、0.935 5、1.124 4和1.120 8。

圖6 不同重量重心下的迭代結(jié)果Fig.6 Iteration results of various weights and gravity centers

圖7 優(yōu)化剛度及阻尼Fig.7 Optimized stiffness and damping

由圖7可知，4種狀態(tài)下優(yōu)化所得緩沖支柱阻尼均為cmin=[3 600, 2 000] N·s·m-1，即最小緩沖支柱阻尼也能使該直升機(jī)滿足式(8)的穩(wěn)定性要求。尾緩沖支柱剛度具有分散性：小重量前重心時分布于198 000～248 000 N·m-1，后重心時分布于198 000～259 000 N·m-1，大重量前重心時分布于198 000～282 000 N·m-1和703 000～860 100 N·m-1， 后重心時分布于198 000～295 000 N·m-1和760 000～ 860 100 N·m-1；主緩沖支柱剛度均為最小值254 300 N·m-1，主尾輪垂向剛度均為最大值，分別為1 435 900 N·m-1和1 194 500 N·m-1。通過分析可知，以上情況下4階模態(tài)中橫移模態(tài)阻尼比最小，為使其盡量增大，要求該階模態(tài)頻率減小且阻尼增大，這就要求主起落架垂向剛度盡可能小，而尾起落架由于距重心橫向距離為0，其垂向剛度對橫移模態(tài)沒有影響，也就出現(xiàn)了優(yōu)化后主緩沖支柱剛度最小，而尾緩沖支柱剛度具有分散性，但不同重量重心狀態(tài)下都對應(yīng)不同剛度范圍，并不是在整個優(yōu)化范圍內(nèi)分散，若尾緩沖支柱剛度不在上述范圍時，具有最小阻尼比的模態(tài)將會變成縱移模態(tài)，而尾起落架垂向剛度對縱移模態(tài)將會產(chǎn)生影響。另外，機(jī)輪垂向剛度的增加使其垂向阻尼相應(yīng)增加，橫移模態(tài)阻尼也將增加，所以優(yōu)化后的機(jī)輪垂向剛度達(dá)到最大。對于尾緩沖支柱剛度的選取應(yīng)該使得機(jī)體橫移和縱移模態(tài)以及俯仰和滾轉(zhuǎn)模態(tài)頻率盡量分開，綜合4種重量重心狀態(tài)考慮，尾緩沖支柱剛度取小值效果較好。

因此，選取剛度k=[254 300, 198 000, 1 435 900，1 194 500] N·m-1及阻尼c=[3 600, 2 000] N·s·m-1，通過特征法計算系統(tǒng)模態(tài)頻率及阻尼隨轉(zhuǎn)速的變化情況，機(jī)體各模態(tài)與旋翼擺振后退型模態(tài)共振轉(zhuǎn)速及最小阻尼比如表4所示。

由表4可知，4種重量重心狀態(tài)下，機(jī)體低階模態(tài)橫移和縱移模態(tài)與旋翼擺振后退型模態(tài)的共振轉(zhuǎn)速均小于0.4Ωe=103 r/min，最小模態(tài)阻尼比均大于0，不存在非穩(wěn)區(qū)，滿足式(8)中的穩(wěn)定性要求；機(jī)體高階模態(tài)俯仰模態(tài)與旋翼擺振后退型模態(tài)的共振轉(zhuǎn)速位于0.4Ωe=103 r/min～1.2Ωmax=310 r/min之間，但最小模態(tài)阻尼比大于2%，滿足式(8)中的阻尼裕度要求；機(jī)體高階模態(tài)滾轉(zhuǎn)模態(tài)與旋翼擺振后退型模態(tài)的共振轉(zhuǎn)速大于1.2Ωmax=310 r/min，最小模態(tài)阻尼比大于0，不存在非穩(wěn)區(qū)，滿足式(8)中的穩(wěn)定性要求。

綜上，說明優(yōu)化計算所得的起落架剛度及阻尼能使該直升機(jī)在4種重量重心狀態(tài)下均滿足地面共振穩(wěn)定性要求。

以大重量后重心為例，通過特征法計算系統(tǒng)模態(tài)頻率及阻尼比隨轉(zhuǎn)速的變化情況如圖8和圖9 所示。為觀察直升機(jī)旋翼與機(jī)體耦合對系統(tǒng)模態(tài)的影響，圖8和圖9中 還給出了旋翼與機(jī)體非耦合時的模態(tài)頻率及阻尼，如圖8和圖9中虛線所示。

由圖8和圖9可知，直升機(jī)旋翼與機(jī)體的耦合會使系統(tǒng)各模態(tài)頻率及阻尼發(fā)生變化，在旋翼擺振后退型模態(tài)與機(jī)體模態(tài)共振轉(zhuǎn)速附近，模態(tài)阻尼會發(fā)生相互“排斥”的現(xiàn)象，使得其中阻尼較小的模態(tài)阻尼降低，若模態(tài)阻尼在旋翼機(jī)體耦合因素的影響下降低至負(fù)值，則會引發(fā)系統(tǒng)的地面共振動不穩(wěn)定現(xiàn)象。

表4 共振轉(zhuǎn)速及最小阻尼比

圖8 大重量后重心時的模態(tài)頻率Fig.8 Modal frequencies with large weight and back gravity center

圖9 大重量后重心時的模態(tài)阻尼比Fig.9 Modal damping ratio with large weight and back gravity center

需要注意的是低轉(zhuǎn)速(Ω<150 r/min)時，旋翼擺振后退型和前進(jìn)型模態(tài)頻率無法分開，而該2階模態(tài)阻尼卻呈現(xiàn)較大差異，該現(xiàn)象可通過獨立旋翼運動方程的特征值[19]解釋：

(17)

旋翼低轉(zhuǎn)速時，如果槳葉擺振剛度較小，而擺振阻尼較大，就會形成過阻尼的情況，上述特征值將變?yōu)?/p>

(18)

由式(18)的特征值虛部可知，在上述情況下，旋翼擺振后退型及前進(jìn)型模態(tài)頻率均等于旋翼轉(zhuǎn)速Ω，考慮旋翼與機(jī)體耦合的影響后，結(jié)果會有一定差異，如圖8所示；而由特征值實部可知，擺振阻尼的增加，可能會使得低轉(zhuǎn)速時的擺振后退型模態(tài)阻尼降低，如圖9中的擺振后退型模態(tài)阻尼在低轉(zhuǎn)速時就比較小。但是，隨著轉(zhuǎn)速增大，槳葉擺振固有頻率會增加，且由于減擺器非線性的影響，在相同幅值擾動下，擺振阻尼會降低，這都會使得擺振后退型與前進(jìn)型模態(tài)頻率逐漸分開，特征值由式(18)回歸式(17)。

4 結(jié) 論

1) 針對機(jī)體無阻尼時構(gòu)造的非穩(wěn)區(qū)機(jī)體模態(tài)阻尼比函數(shù)能較好地擬合槳葉不同擺振狀態(tài)下機(jī)體模態(tài)阻尼比隨轉(zhuǎn)速的變化，據(jù)此給出了機(jī)體模態(tài)非穩(wěn)區(qū)臨界轉(zhuǎn)速的計算方法，由該方法計算機(jī)體不同阻尼情況下的臨界轉(zhuǎn)速，最大誤差僅為3.54%，說明了該方法的準(zhǔn)確性。

2) 基于直升機(jī)地面共振穩(wěn)定性要求，提出了對起落架剛度及阻尼進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計的方法，采用該方法對某直升機(jī)4種重量重心狀態(tài)下起落架的剛度及阻尼進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果使得機(jī)體各階模態(tài)均滿足地面共振穩(wěn)定性要求：機(jī)體橫移和縱移模態(tài)與旋翼擺振后退型模態(tài)的共振轉(zhuǎn)速均小于0.4Ωe，最小模態(tài)阻尼比均大于0；機(jī)體俯仰模態(tài)與旋翼擺振后退型模態(tài)的共振轉(zhuǎn)速位于0.4Ωe～1.2Ωmax之間，但最小模態(tài)阻尼比大于2%；機(jī)體滾轉(zhuǎn)模態(tài)與旋翼擺振后退型模態(tài)的共振轉(zhuǎn)速大于1.2Ωmax，最小模態(tài)阻尼比大于0。