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(游埠中學,浙江 蘭溪 321106)

2017年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題第9題構思巧妙，樸實無華，以常見的含絕對值的二次不等式為背景，考查推理論證能力.試題背景深刻，解法多樣，是一道值得探究的“中國好題目”．

1 試題呈現(xiàn)

例1設k，m為實數(shù)，不等式|x2-kx-m|≤1對所有x∈[a，b]成立．證明：b-a≤22.

(2017年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題第9題)

2 解法探究

解法1(參考答案)令f(x)=x2-kx-m，其中x∈[a，b]，則f(x)∈[-1，1]，從而

f(a)=a2-ka-m≤1，

(1)

f(b)=b2-kb-m≤1，

(2)

fa+b2=a+b22-k·a+b2-m≥-1.

(3)

式(1)+式(2)-式(3)×2,得

(a-b)22=f(a)+f(b)-2fa+b2≤4,

故

b-a≤22.

讓人感到疑惑的是，怎么想到列出式(1)～(3)？筆者將在后面對本題的背景作一簡要分析．

解法2(換元法)令x=b-a2cosθ+b+a2(其中θ∈R),則原不等式轉(zhuǎn)化為

(b-a)28cos 2θ+b2-a22-b-a2kcosθ+

3b2+3a2+2ba8-a+b2k-m≤1,

于是，只需滿足

(b-a)28cos 2θ≤1,

故

b-a≤22.

圖1

解法3(數(shù)形結合法)設y1=x2，y2=kx+m，則|y1-y2|表示二次函數(shù)y1=x2圖像上的點(x，y1)與動直線y2=kx+m上點(x，y2)的距離.令d=|y1-y2|，設過點A(a，a2)，B(b，b2)的直線為l1，與直線l1平行且與拋物線相切的直線為l2，與直線l1，l2等距的直線為l3(如圖1)，這3條直線的方程分別為

l1:y=(a+b)x-ab,

l2:y=(a+b)x-(a+b)24,

l3:y=(a+b)x-a2+b2+6ab8,

則mink,m∈Rmaxx∈[a,b]d=a2+b2+6ab8-ab=(a-b)28.

由題意，只需滿足(a-b)28≤1,因此b-a≤22.

我們稱多項式(a+b)x-a2+b2+6ab8為函數(shù)y=x2的最佳逼近多項式．

解法4(構造平口單峰函數(shù),改進解法3)構造函數(shù)f(x)=x2+λx，使得f(a)=f(b)，易知

λ=-(a+b),

則原不等式轉(zhuǎn)化為

|x2-(a+b)x+(a+b-k)x-m|≤1．

圖2

設y1=x2-(a+b)x，y2=-(a+b-k)x+m，則|y1-y2|表示二次函數(shù)y1=x2-(a+b)x圖像上的點(x，y1)與動直線y2=-(a+b-k)x+m上點(x，y2)的距離.令d=|y1-y2|，函數(shù)y1=x2-(a+b)x的值域為-(a+b)24,-ab(如圖2).根據(jù)解法3的思路，得

mink,m∈Rmaxx∈[a,b]d=(a+b)24-ab2=(a-b)28,

由題意，只需滿足(a-b)28≤1,故b-a≤22.

通過解法3和解法4，可知當b-a取到最大值22時，k=a+b,m=-a2+b2+6ab8.

3 背景探源

本題涉及雙層最值問題，即

mink,m∈Rmaxx∈[a,b]|x2-kx-m|,

其背景是二次形式的切比雪夫多項式2x2-1(其中-1≤x≤1)．下面證明

maxx∈[-1,1]|x2+a1x+a0|≥maxx∈[-1,1]x2-12=12.

令x=cosθ(其中θ∈R)，則

maxx∈[-1,1]x2-12=12max|cos 2θ|=12.

假設存在二次項系數(shù)為1的二次多項式Q(x)，使得

maxx∈[-1,1]|Q(x)|

那么令P(x)=Q(x)-x2-12,則P(x)是一個次數(shù)不超過1的多項式．

由假設可知-12

P(-1)=Q(-1)-12<0,

P(0)=Q(0)+12>0,

P(1)=Q(1)-12<0,

根據(jù)介值定理知P(x)應當具有兩個零點，而P(x)至多是一次多項式，故假設不成立．

這表明任何二次項系數(shù)為1的二次多項式f(x)在區(qū)間[-1，1]上的最大值都滿足

maxx∈[-1,1]|f(x)|≥12,

而切比雪夫正交多項式x2-12是最大值最小的多項式．

一般地，在區(qū)間[-1，1]上，最高次項系數(shù)為1的所有n次多項式中，與0有最小偏差的多項式為切比雪夫多項式Tn(x)=12n-1cos(n·arccosx)，其偏差為12n-1，具體證明可參見文獻[1]．

現(xiàn)在我們可以解釋解法1．先說明為什么取x=a，b，a+b2.本題的最終目標是要證明b-a≤22.要使最終的等號取到，所列的式(1)～(3)要同時取到等號，怎樣能保證呢？聯(lián)想到切比雪夫多項式2x2-1 (其中-1≤x≤1)，當x=-1，0，1時，|2x2-1|取到最大值1．把本題的區(qū)間[a，b]變換到[-1，1]，令

t=2b-ax-b+ab-a(其中-1≤t≤1),

容易看出：當t=-1，0，1時，恰好對應x=a，a+b2,b.

然后注意到當t=-1，0，1時，多項式2t2-1的值分別為1，-1，1，其規(guī)律是正、負、正，即最大、最小、最大．因此，當對應的x∈[a，b]時，有f(a)≤1，fa+b2≥-1,f(b)≤1.

最后通過式(1)+式(2)-式(3)×2消去k，m，得到結果．

4 性質(zhì)探究

下面給出一條與系數(shù)有關的性質(zhì)：設f(x)=ax2+bx+c，其中[-1，1]，若|f(x)|≤1，則|a|≤2．

證明由a+b+c=f(1),

a-b+c=f(-1),

c=f(0),解得

a=f(1)+f(-1)-2f(0)2,

于是 |a|= |f(1)+f(-1)-2f(0)|2≤

|f(1)|+|f(-1)|+2|f(0)|2≤2,

當且僅當|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1時，等號成立，此時f(x)=2x2-1恰好是切比雪夫多項式．

一般地，設函數(shù)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，若對任意實數(shù)x∈[-1，1]，|f(x)|≤1，則|an|≤2n-1，具體證明可參考文獻[2]．

令t=2b-ax-b+ab-a(其中-1≤t≤1),則原不等式轉(zhuǎn)化為

(b-a)24t2+b2-a22-b-a2kt+

(a+b)24-a+b2k-m≤1.

根據(jù)前面討論的性質(zhì)，立即可知

(b-a)24≤2,

即

b-a≤22.

此類問題也曾出現(xiàn)在2010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽中：

例2已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d，當0≤x≤1時，|f(x)|≤1，試求a的最大值．

(2010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題第9題)

分析令t=2x-1，其中t∈[-1，1]，由題意|f′(x)|≤1，可轉(zhuǎn)化為

34at2+32a+bt+34a+b+c≤1,

根據(jù)性質(zhì)可知34a≤2,故amax=83.

由此可見，例1和例2是同源題．認清試題的本質(zhì)和來源是多么重要??！

5 變式應用

變式1已知a，b∈R，f(x)=|2x+ax+b|.若對任意的x∈[0,4],f(x)≤12恒成立，則a+2b=______.

(2018年浙江省諸暨市高三數(shù)學期末試題第17題)

分析令t=x-1,則t∈[-1,1]，從而

|at2+(2a+2)t+a+b+2|≤12

恒成立．根據(jù)切比雪夫多項式x2-12≤12(其中-1≤x≤1),易知a=-1,b=-12，故a+2b=-2.

變式2若對于任意的x∈[-1，1]，恒有|4x3-ax|≤b(其中a，b∈R)成立，則當b取到最小值時，實數(shù)a的值為______．

(2018年浙江省溫州市六校聯(lián)考試題第17題)

分析根據(jù)切比雪夫多項式

|cos 3θ|=|4cos3θ-3cosθ|≤1，

立即可得bmin=1，此時a=3．

變式3設函數(shù)f(x)=|x-ax-b|，其中a,b∈R,若對任意的實數(shù)a，b，總存在實數(shù)x0∈[0，4]使得f(x0)≥m成立，求實數(shù)m的取值范圍．

(2015年浙江省數(shù)學學考試題第34題)

分析令t=x-1,則t∈[-1,1],由題意，本題實質(zhì)是求

mina,b∈Rmaxt∈[-1,1]|-at2+(1-2a)t+1-a-b|.

由切比雪夫多項式|cos 2θ|=|2cos2θ-1|≤1可知，當a=12,b=14時，

maxt∈[-1,1]|-at2+(1-2a)t+1-a-b|≥

maxt∈[-1,1]-12t2+14=14,

因此實數(shù)m的取值范圍是-∞,14.