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(坪地中學(xué),廣東 深圳 518116)

在初三中考數(shù)學(xué)備考過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)基本模型的探究，透析數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，使學(xué)生完善自身的數(shù)學(xué)認(rèn)知體系，形成解決某類問題的思路、步驟，即問題解決程序，提升數(shù)學(xué)思維的靈活性和深刻性，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文以一線三等角模型及其變式為載體，研究一道以此基本模型為背景的中考題.

1 “一線三等角”基本模型及其變式

如圖1，點(diǎn)B,C,D在同一直線上，且∠B=∠ACE=∠D,我們稱這一基本模型為“一線三等角”模型.易知△ABC∽△CDE，如果添加條件AC=CE，那么△ABC≌△CDE.當(dāng)∠B=∠ACE=∠D=90°時(shí)，如圖2所示，我們也稱該模型為三垂直模型.

圖1 圖2

如果在平面中存在點(diǎn)F,使得點(diǎn)A,C,E,F共圓，那么“一線三等角”模型有如下變式.

圖3 圖4

如圖3，過點(diǎn)C作CH∥FA交EF于點(diǎn)H,在射線FA上找一點(diǎn)G，使得∠GCH=∠ACE，易知此時(shí)△AGC∽△EHC.與圖2對(duì)應(yīng)的情況如圖4所示.

該模型及其變式在近年來各省市的數(shù)學(xué)中考試卷中經(jīng)常出現(xiàn)，部分題目難度較大.深刻了解該模型的特點(diǎn)，可以幫助學(xué)生看透數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，進(jìn)而輕松解決問題.

2 試題呈現(xiàn)

圖5

例1如圖5，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，聯(lián)結(jié)AC.若AC=6，則四邊形ABCD的面積為______.

(2017年陜西省數(shù)學(xué)中考試題第14題)

本題是一道中檔難度填空題，具有一定的難度，思維含量高.該題以直角三角形為背景，綜合考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及構(gòu)造全等三角形和特殊四邊形解決問題的能力，綜合性較強(qiáng).

3 解法探究

根據(jù)題意，考慮到△ABD和△BCD是直角三角形，由垂直可構(gòu)造特殊四邊形，從不同角度分析可以探索出多種解題思路.現(xiàn)舉例如下:

思路1原圖形對(duì)角線AC已將四邊形ABCD切分為△ADC和△ABC,故求出△ADC和△ABC的面積之和即可.過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BD,如圖6所示.由于△ABD是等腰直角三角形，易證△ABF≌△DAE,因此BF=AE.注意到∠BAD+∠BCD=180°，故點(diǎn)A,B,D,C共圓.此時(shí)，∠BCA=∠BDA=45°，即△BCF是等腰直角三角形，故BF=FC.因此，

S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=

評(píng)注在思路1的解決方案中我們發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)A,B,D,C共圓，注意到∠BCA=∠BDA=45°，故∠ACD=45°，可以考慮以AC為對(duì)角線構(gòu)造等腰直角三角形，進(jìn)而解決問題.

圖6 圖7

思路2過點(diǎn)A作直線EA⊥AC,交CB的延長線于點(diǎn)E,交CD的延長線與點(diǎn)F,如圖7所示.聯(lián)結(jié)BD,由于△ABD是等腰直角三角形，易證△ADF≌△ABC.此時(shí)求四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為求等腰Rt△CAF的面積.易求得△CAF的面積為18.

評(píng)注注意題目給出的問題特征，可構(gòu)造三垂直模型或其變式(圖2和圖4)，搭建問題線索，形成解決程序.

思路3過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F,作AE⊥CD于點(diǎn)E，如圖8所示.由于AB=AD，易證△EDA≌△FBA,且四邊形ECFA是正方形.此時(shí)求四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為求正方形ECFA的面積.由對(duì)角線AC=6，易求得正方形ECFA的面積為18.

圖8 圖9

思路4過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，作CF⊥AD的延長線于點(diǎn)F，如圖9所示.易證△CBE∽△CDF,且四邊形ECFA是矩形.設(shè)AB=AD=m,∠CAE=α,則

CF=AE=6cosα，CE=6sinα,

從而

BE=m-6cosα，F(xiàn)D=6sinα-m.

故S四邊形ABDC=S梯形AFCB-S△CFD=

圖10

思路5過點(diǎn)C點(diǎn)作EF⊥AC，交AD的延長線于點(diǎn)E,交AB的延長線于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DG⊥EF于點(diǎn)G,過點(diǎn)B作BH⊥EF于點(diǎn)H，如圖10所示.

設(shè)AB=AD=m,∠CAF=α,從而

于是

同理可得

BH=6-mcosα.

由△ADC∽△FBC,易得

故S四邊形ABCD=S△AEF-S△CED-S△BFC=

說明本題有兩個(gè)核心的問題表征：1)四邊形中點(diǎn)A，B，C，D共圓；2)△ABD和△BCD是直角三角形.雖然以上5種思路都是通過割補(bǔ)法來求四邊形ABCD的面積，但思路1和思路2解法簡潔，在運(yùn)用轉(zhuǎn)化方法的過程中，需深度挖掘和利用四點(diǎn)共圓這個(gè)隱性條件；思路3利用三垂直模型進(jìn)行切入剖析，構(gòu)造全等三角形，解決方法簡潔漂亮，抓住了問題的關(guān)鍵；思路4和思路5雖也從三垂直模型角度出發(fā)，通過構(gòu)造相似三角形進(jìn)而解決問題，但由于Rt△BCD的邊長關(guān)系無法確定，因此處理起來相對(duì)繁瑣；思路4和思路5通過引入變量，最終化簡消元，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，能更清晰地感悟到變中不變的規(guī)律.

教師可引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)不同解法的探究和感悟，利用圖形特征，搭建問題線索，初步形成本題的解題程序的為：直角三角形—三垂直模型—構(gòu)造相似三角形.若問題中存在等腰直角三角形，則應(yīng)優(yōu)先通過其構(gòu)造三垂直模型找全等三角形，將其作為解決問題的切入點(diǎn).

實(shí)際上，若給定Rt△ABD的邊長關(guān)系和邊AC的長度，則例1也可以拓展得到結(jié)論：

圖11 圖12

分析過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，作AF⊥CD于點(diǎn)F，如圖12所示.易證四邊形EAFC是矩形，此時(shí)△EBA∽△FDA，從而

假設(shè)AF=n(其中n>0)，則

AE=kn.

依題意可得AF2+AE2=AF2+FC2=AC2，

即

k2n2+n2=m2，

于是

故

4 變式推廣

變式1如圖13，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠BCD=60°，聯(lián)結(jié)AC.若AC=6，則四邊形ABCD的面積為______.

圖13 圖14

CN=4x，DN=4y,

從而

AN=CN-AC=4x-6，

AM=CM+AC=3y+6.

由BM=AN,AM=DN,易求得x=6,y=6.此時(shí)

S四邊形ACBD=S梯形MBDN-S△MBC-S△AND=504.

說明變式1改變?cè)}中直角三角形背景，將原來三垂直模型進(jìn)一步拓展到更一般的一線三等角的情況.學(xué)生剛形成的處理程序?qū)⒃谧兪?的解決中得到進(jìn)一步提升，并利用其解決問題.變式2將原題目中△BCD沿著BD翻折，使得點(diǎn)C和點(diǎn)A在線段BD的同側(cè)，此時(shí)為了求四邊形ACBD的面積，需給出△BCD的邊角關(guān)系.變式2的解決依舊需從三垂直模型角度切入去解決問題，需要兩對(duì)相似三角形，難度較原題有所提高.當(dāng)然，變式2也有類似于結(jié)論1的推廣，留給讀者思考.

5 總結(jié)感悟

在初三數(shù)學(xué)中考專題復(fù)習(xí)的教學(xué)中，解題教學(xué)是主旋律.但教師很容易陷入“以題論題”的教學(xué)誤區(qū)中，僅僅停留在把題目的答案求解出來，從而課堂變得枯燥無味，缺乏新知生成，學(xué)生思維能力的靈活性和深刻性很難得以進(jìn)一步的提升.通過該中考題解法和變式的探究，筆者對(duì)“如何在幾何教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”有了進(jìn)一步的思考.

首先，關(guān)注基本模型，聚焦問題表征.初中幾何教學(xué)中，教師可設(shè)計(jì)“折一折、擺一擺、拼一拼、量一量、畫一畫、剪一剪”等具體直觀的活動(dòng)方式[1]，幫助學(xué)生更好地探索解決問題的思路，猜想結(jié)果，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).教師在此過程中引導(dǎo)學(xué)生思考解決思路的異同，通過類比歸納，尋找?guī)缀螆D形中存在的基本模型，搭建問題線索，立足從問題表征的角度去比較問題解決思路的異同，形成初步解題程序.

其次，抓住通解通法，形成解題程序.通解通法是解決某類問題最合理的想法、最基本的思路、最普遍的操作程序[2].通過一題多解、多題歸一，讓學(xué)生掌握處理一個(gè)基本模型的方法，理解方法背后所隱含的數(shù)學(xué)思想，知道如何應(yīng)用到其他情境中去，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).變式訓(xùn)練變化的是題目，不變的是通法通解，通過對(duì)問題變式的探究和原問題的推廣，幫助學(xué)生掌握一類數(shù)學(xué)問題的通解通法，進(jìn)而形成解題模塊.

總之，一線教師要有基本的鉆研精神，遇到問題不能淺嘗輒止，應(yīng)考慮有無其他解法，解法是否具有一般性，通過一個(gè)問題徹底理解一類問題.只有教師抓住知識(shí)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合理情境，啟發(fā)學(xué)生思考，才能讓學(xué)生在掌握所學(xué)知識(shí)和技能的同時(shí)，感悟知識(shí)本質(zhì)，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展核心素養(yǎng).