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(太湖高級中學(xué),江蘇 無錫 214125)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》(以下簡稱《新課標(biāo)》)明確數(shù)學(xué)教育承載著落實立德樹人的根本任務(wù).發(fā)展素質(zhì)教育的功能，要以學(xué)生發(fā)展為本，培育學(xué)生科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析.鄭毓信教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本內(nèi)涵在于：我們應(yīng)當(dāng)通過數(shù)學(xué)活動幫助學(xué)生學(xué)會思考，并能使他們逐步學(xué)會想得更清晰、更深入、更全面、更合理.波利亞也強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教育的主要目的之一是發(fā)展學(xué)生解決問題的能力，教學(xué)生學(xué)會思考.因此教學(xué)生“怎么思考”“怎么深度思考”是數(shù)學(xué)教育的首要任務(wù).

深度思考是一種特殊的思考方式，它能幫助我們透過事物的表象直抵核心.心理學(xué)上把直接獲取到的信息稱之為現(xiàn)象，現(xiàn)象與一些知識相互關(guān)聯(lián)，進(jìn)行分析得到產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因，這是基本思考.如果將這個原因與別的因素相互關(guān)聯(lián)，就能得到產(chǎn)生現(xiàn)象的深層原因，這種深入分析的過程即為深度思考.深度思考的方法有：特殊化與一般化、直觀化與具體化、關(guān)聯(lián)化以及多角度化等.如何在課堂教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生深度思考，筆者進(jìn)行了反復(fù)的嘗試，現(xiàn)將實踐過程整理如下，以期拋磚引玉.

圖1

1 思考的特殊化與一般化

本題的一般解法是：設(shè)點P的坐標(biāo)，利用點P的坐標(biāo)表示四邊形ABNM的面積，最終求得結(jié)果.得到面積為2后，筆者繼續(xù)追問，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考.

師：同學(xué)們，老師在幾何畫板中演示點P的變化，大家注意觀察四邊形ABNM的變化.

(筆者拖動點P向左頂點移動，又向下頂點移動.)

師：你們看到四邊形如何變化?

生1：點P向左頂點移動時，四邊形ABNM慢慢變成一個三角形.同樣地，點P向下頂點移動時，四邊形ABNM也將成為一個三角形.

師(追問)：面積2是怎么得到的？

生1：極端情況是三角形面積等于長半軸的長度與短半軸長度的乘積.

生2：ab.

師：若將橢圓改為圓x2+y2=r2，其他條件不變，那么四邊形ABNM的面積又為多少？

生3:r2.

師：正確，證法也是相同的.這說明在解題時，我們可以利用特殊情形、特殊位置，先猜測出答案，再證明，進(jìn)而一般化.

通過例1，引導(dǎo)學(xué)生思考，教師要先讓學(xué)生學(xué)會觀察，觀察是思考之始，從特殊情形、極端情況入手，特殊中蘊(yùn)含一般，特殊化就是把研究對象從原有范圍縮小到較小范圍或個別情況，甚至是極端情形來考察和探究.同時也要求學(xué)生能夠用歸納的方法發(fā)現(xiàn)數(shù)量或圖形的性質(zhì)和關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.解決具體問題后，教師可引導(dǎo)學(xué)生放寬制約條件、擴(kuò)大對象范圍、去掉細(xì)枝末節(jié)，將個性的問題一般化，運用數(shù)學(xué)的概念、規(guī)則、推理和論證，提煉出一般的概念,從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.從特殊到一般，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“退”，以退為進(jìn)，數(shù)學(xué)家華羅庚認(rèn)為：解決問題要善于退，退到簡單而不失重要的地方，先解決特殊問題，再以退為進(jìn)，解決一般性問題.當(dāng)然退與進(jìn)需不失“重要性”和“一般性”，如上述例1，若將橢圓改為雙曲線，四邊形的面積將不再是定值.

2 思考的直觀化與具體化

數(shù)學(xué)中的一些問題復(fù)雜且抽象，如果在教學(xué)過程中能運用具體事例來揭示其含義，那么可以將學(xué)生的思維直觀化、具體化，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng).

本題是一道壓軸題.學(xué)生反映看不懂問題，也不知道從何入手.筆者在講解本題前，先讓學(xué)生思考兩個容易的問題(以下預(yù)備問題1和預(yù)備問題2)，以期打開學(xué)生的思路.

預(yù)備問題1(x2+x+y)5展開式中x5y2的系數(shù)為______.

本題的目的是引導(dǎo)學(xué)生將三項式展開問題轉(zhuǎn)化為二項式展開問題，即將問題轉(zhuǎn)化為曾處理過的熟悉問題.

本題的目的是利用算兩次的思想，將證明等式問題轉(zhuǎn)化為求(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n中xn的系數(shù)問題，為問題直觀化提供線索.課堂簡錄如下:

師：從等式(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n思考.

師：右邊呢？

師：很好！如果從被選中的男人人數(shù)來看，還可以怎樣理解？

生6：可能選0男n女，也可能選1男n-1女，……,n男0女.哦，我明白了，這就可以構(gòu)造出組合恒等式.

生(眾生小聲嘀咕)：是不是依然與(1+x)2n中xn的系數(shù)有關(guān)？

師：誰能說說？

師(引導(dǎo))：左邊的式子中有2n-2r，怎么才能出現(xiàn)呢？

(過了一會，依然無人回答.)

師(提示)：(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n，還可寫成什么樣的形式？

生7：是不是(1+x)2n=(1+2x+x2)n？

師：怎么解釋？

生8：將三項寫成兩項[(1+x2)+2x]n，其通項為

(學(xué)生歡呼雀躍起來.)

師：能不能用具體事例來揭示呢？有n對夫婦參加某聚會，該聚會中有一項游戲需要選n人參加，該怎么選呢？

生9：因為有2的次方，能不能這樣看，總共有多少對夫婦被選中？

師：能說得具體一些嗎？

師：太棒啦！

從例2可看出，對于比較復(fù)雜的抽象問題，學(xué)生往往一籌莫展，教師應(yīng)選擇簡單而有效的事例打開學(xué)生的思維；學(xué)生理解后，再引導(dǎo)學(xué)生從直觀角度，用形象的例子來促進(jìn)學(xué)生的理解，引導(dǎo)學(xué)生將思考具體化.日本著名數(shù)學(xué)家小平邦彥認(rèn)為“理解數(shù)學(xué)相當(dāng)于觀察數(shù)學(xué)”[1]，這里的觀察不是“用眼睛看”而是通過一定的感知去把握數(shù)學(xué).《新課標(biāo)》認(rèn)為重要的結(jié)論都是“看出來的”，會看需要直觀想象素養(yǎng)，在教學(xué)過程中教師應(yīng)設(shè)計教學(xué)情境讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)結(jié)論的直觀背景揭示結(jié)論的本質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象及邏輯推理素養(yǎng).筆者認(rèn)為這種把握抽象的感覺就是將抽象直覺化、直觀化，學(xué)生若能直觀把握則必能理解.

3 思考的關(guān)聯(lián)化

本題用數(shù)學(xué)歸納法容易證明.知其然，要知其所以然，證明后，筆者打算和學(xué)生繼續(xù)探索等式是如何被發(fā)現(xiàn)的.

師：這個等式是怎么發(fā)現(xiàn)的呢？

生10(馬上舉手)：我知道.利用

可得到n(n+1)(n+2)，將它們加起來就是要證的等式.

師：說得非常好！由這個想法我們可以得到

n(n+1)(n+2);

(n-1)n(n+1);

…

然后累加上述等式即得所證命題.上述是利用升冪及累加相消求和，若要求12+22+32+…+n2，怎么辦呢？

生11：與例3相似，想辦法得到n2.

師：怎么才能得到n2呢？

生11：利用n3-(n-1)3=3n2-3n+1，然后累加即可.

師：非常好!那如何求13+23+33+…+n3呢？

生(眾)：一樣的，利用n4-(n-1)4，借助12+22+32+…+n2即可.

(這時，有人舉手.)

師：觀察能力很強(qiáng)！能說說你的發(fā)現(xiàn)嗎？

生12：連續(xù)n個數(shù)相加，那個分母是2；相鄰3個數(shù)依次相乘，然后前n個數(shù)相加，分母是4，因此我猜測

師：觀察到的結(jié)果很有意思，猜測正確嗎？誰能解釋一下？

(過了一會，無人回答，筆者提示利用組合數(shù)思考.)

生13：老師，可能是這樣的：

(此時班級一片沸騰.)

師：正確，非常好！那么1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)怎么用組合數(shù)改寫呢？

師：漂亮！

波利亞曾形象地指出：“好問題同某種蘑菇有些相似，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找找，很可能附近就有好幾個.”通過例3筆者認(rèn)為：促進(jìn)學(xué)生深度思考，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)聯(lián)化思考，要讓學(xué)生想一想為什么是這樣而不是那樣，它成立的理由是什么.有了前因，教師還要引導(dǎo)學(xué)生思考后果，即從這個問題或者命題我們能得到什么結(jié)論、獲得哪些活動經(jīng)驗，并思考這些結(jié)論或者經(jīng)驗怎樣用到問題解決中去.思考的關(guān)聯(lián)化可使學(xué)生理解相關(guān)概念、命題、定理之間的邏輯關(guān)系，建立起網(wǎng)狀的知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.

4 思考的多角度化

例4[2]將集合{1,2,3,…,n}(其中n≥2)中的元素作全排列，使得除最左端的數(shù)之外，對于其余的每個數(shù)k，在數(shù)k的左邊某個位置上總有一個數(shù)與k之差的絕對值為1，那么滿足條件的排列個數(shù)為______.

本題有一定難度，要想解決該問題，就要找準(zhǔn)某個角度，從這個角度出發(fā)，認(rèn)真分析題目的內(nèi)涵，通過觀察、聯(lián)想、類比，從特殊出發(fā)，找出解題路徑.課堂簡錄如下:

師：本題的關(guān)鍵是“從第二個數(shù)開始，每個數(shù)k的左邊某個位置上總有一個數(shù)與k之差的絕對值為1”，這一條件的表述比較抽象，需要認(rèn)真思考.

師：如果一時沒有辦法“看透”此條件，可先從最簡單的思考，利用枚舉的方法得到當(dāng)n=2,3,4時的情形.

(過了一會，學(xué)生得到答案，筆者進(jìn)行板書.)

對集合{1,2,3,…,n}，滿足條件的排列個數(shù)記為An.

1)當(dāng)n=2時，數(shù)列“1,2；2,1”都滿足題意，此時A2=2.

2)當(dāng)n=3時，數(shù)列“1,2,3；2,1,3；2,3,1；3,2,1”都滿足題意，此時A3=4.

3)當(dāng)n=4時，數(shù)列“1,2,3,4；2,1,3,4；2,3,1,4；3,2,1,4；2,3,4,1；3,4,2,1；3,2,4,1；4,3,2,1”，此時A4=8.

師：從以上3種情況能猜測出一般情況嗎？

生(眾)：當(dāng)n=k時，可能是Ak=2k-1.

師：從簡單的情形可以觀察到什么？

生14：我發(fā)現(xiàn)滿足數(shù)列的末項是最大數(shù)或最小數(shù).

師：那么如何利用這一規(guī)律呢？

生14：將1,2,3,…,n所滿足條件的數(shù)列添加n+1，形成新數(shù)列，新數(shù)列滿足條件，共An種；2,3,…,n,n+1所形成的滿足條件的數(shù)列共An種，將1添加其后形成新數(shù)列，新數(shù)列也滿足題意.

師：很好！我們就得到An+1=2An，且A2=2，解出An=2n-1(其中n≥2).考慮末項，得到遞推關(guān)系.還有別的嗎？

生15：考慮最大項.n+1出現(xiàn)在首位或末尾.若出現(xiàn)在首位，其后面的數(shù)只能由其余的數(shù)從大到小排列，只有1種情況；若出現(xiàn)在末尾，滿足題意的數(shù)列個數(shù)與1,2,3,…,n滿足的個數(shù)相同，共An種情況.

師：若n+1出現(xiàn)在第2位呢？第3位呢？第i位呢？

生15：若n+1排在第i位，則其后的(n+1)-i位置只能是n+1-i，(n+1)-(i+1)，…，2，1，而它之前的數(shù)只能是(n+1)-i+1，(n+1)-i+2，…，n，共有Ai-1種排法.

師：生15從最大項的角度思考.令i=1,2,3,…,n+1,則An+1=1+A1+A2+…+An=(1+A1+A2+…+An-1)+An=2An.

例4從兩個不同的角度觀察出不同的規(guī)律，抽象出更一般的方法，得到不同的解決方案.教師引導(dǎo)學(xué)生從多維度進(jìn)行思考，轉(zhuǎn)換自己的視角，嘗試從另一個角度去觀察目前正在研究的事物，這樣看待問題更加全面，更能觸及問題的本質(zhì).課堂中學(xué)生在特例的基礎(chǔ)上歸納數(shù)學(xué)命題，將數(shù)學(xué)命題推廣到更一般的情形，形成和鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.多角度思考問題也使學(xué)生在綜合情境下，運用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)學(xué)關(guān)系，也鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)表征能力和數(shù)學(xué)建模能力.

本文從思考特殊化與一般化、直觀化與具體化、關(guān)聯(lián)化以及多角度化等4個方面引導(dǎo)學(xué)生深度思考，其最終目的是促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展，讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)思維思考世界、會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界[3].在教學(xué)實施前后，教師要創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，促使學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值.如何引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會思考是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)，深度思考更是將學(xué)生的思維層次提到了更高階段，對課堂思維參與提出了更高的要求.史寧中教授認(rèn)為：“教會學(xué)生思考”最好的辦法是“和學(xué)生一起思考”,那么深度思考更是要求教師和學(xué)生共同“思考”.