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(溫嶺中學(xué),浙江 溫嶺 317500)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017版)》(以下簡稱《新課標》)指出：平面解析幾何通過建立直角坐標系，借助直線、圓與圓錐曲線的幾何特征，導(dǎo)出相應(yīng)的方程，用代數(shù)的方法研究它們的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)形與數(shù)的結(jié)合；再運用代數(shù)方法進一步認識圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系,運用平面解析幾何方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實際問題，感悟平面解析幾何中蘊含的數(shù)學(xué)思想[1].

為了突出“用代數(shù)的方法解決幾何問題”這一數(shù)學(xué)思想，一線的教師們也煞費苦心.編制或選擇一些代數(shù)運算量較大的問題，于是“計算量大”就成了解析幾何的另一個代名詞，也成為許多學(xué)生學(xué)不好解析幾何的借口.解析幾何之難真的在“計算量大”上嗎？

1 問題

圖1

學(xué)生解法1片段設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，與橢圓方程x2+4y2=4聯(lián)立可得

x2+4(kx+1)2=4，

從而

從而BC的中點為

學(xué)生的疑惑：該解題思路很常規(guī)，為什么運算量如此之大？兩個極大值f(k1)與f(k2)之中哪個為最大值呢？

學(xué)生解法2設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，BC的直線方程為y=kx+b，與橢圓方程x2+4y2=4聯(lián)立可得

(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0，

從而

Δ=16(4k2+1-b2).

因為AB⊥AC,所以

x1x2+(y1-1)(y2-1)=0，

2 問題的完善

上述解答中，如此繁復(fù)的計算學(xué)生都能無誤，說明該學(xué)生的運算能力比較強.那么解法1能不能解決問題呢？

解法1補充因為k1k2=-1，k3k4=-1，從幾何角度看

f(k1)=f(k2)，f(k3)=f(k4).

由k1,k2,k3,k4是方程4k4-33k2+4=0的根，知

3 反思

解題時我們應(yīng)該有這樣的意識：沒有任何一個題目是徹底完成的，總還會有些事情可以做，如果對問題進行充分地研究和洞察，就可以將解題的方法加以改進，從而深化對問題的理解.

3.1 命題者的意圖

上述兩種解法的運算量有著天差地別，解法1雖然常規(guī)，但計算量如此之大，顯然不是命題者的意圖.眾所周知，解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問題，因此首先要將幾何條件代數(shù)化，然后才是代數(shù)運算.也就是說，轉(zhuǎn)化是前提，運算是基礎(chǔ).解析幾何問題不僅考查運算求解能力，還要考查轉(zhuǎn)化化歸能力.

3.2 不同解法的本質(zhì)原因

3.3 常見幾何對象

縱觀浙江省近幾年的解析幾何高考題，考查的幾何對象有：1)位置關(guān)系類，2017年和2018年考查了直線垂直，2015年考查了線段平分，2012年和2015年考查了對稱問題，2016年考查了曲線相交，2014年考查了直線與曲線相切，2011年考查了特殊的三點共圓；2)度量關(guān)系類，2017年考查了線段長度問題，2012年、2013年、2015年和2018年考查了三角形面積問題.因此掌握不同幾何對象的代數(shù)轉(zhuǎn)化是必要的，這是運算的前提.

圖2

3.4 幾何條件代數(shù)化的特點

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題改編)

1)幾何條件代數(shù)化的多樣性.

目標|PA|·|PQ|需要轉(zhuǎn)化為坐標表示.若借助兩點間距離公式

則|PA|·|PQ|的表示就需要知道點P,Q,A的坐標；若將公式等價變形為

分析1為了目標和已知的統(tǒng)一性，可選擇長度的代數(shù)化方式為

垂直的代數(shù)化方式是兩條直線的斜率為負倒數(shù).

|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.

令f(x)=(1+x)3(1-x)，其中-1

f′(x)=(1+x)2(2-4x),

分析2若BQ⊥PQ的代數(shù)化形式為

|PB|2=|BQ|2+|PQ|2，

則|BQ|的代數(shù)表示為點B到直線AP的距離，|PB|為兩點距離.

|PQ|2= |PB|2-|BQ|2=

|PA|2=(k2+1)(k+1)2,

從而

|PA|·|PQ|=(1-k)(k+1)3.

下同解法1.

2)幾何條件代數(shù)化的可組性.

幾何條件的代數(shù)轉(zhuǎn)化并不一定是孤立地將每個條件轉(zhuǎn)化，也可以將相關(guān)的幾何條件進行組合轉(zhuǎn)化，通常結(jié)合的條件越多，轉(zhuǎn)化越巧妙，計算越簡單，不同的組合方式也會得到不同的解答方法.

分析3因為點A,P,Q在同一條直線上，即∠APQ=180°，所以

知道點P,Q,A的坐標就可以求解.

(1+k)3(k-1),

于是

|PA|·|PQ|=(1+k3)(1-k).

下同解法1.

分析4解法3最大的運算量就是求交點Q的坐標，結(jié)合點Q為垂足的特點，轉(zhuǎn)化為與之相鄰的點P,B的坐標，就較為簡單，因此可轉(zhuǎn)化為

從而簡化運算.

解法4設(shè)P(x,x2)，則

f′(x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2,

故

圖3

如圖3，取AB的中點M，則

而直線AB的方程為

即

4x-4y+3=0,

下同解法4.

|PA|·|PQ|=

下同解法4.

從上面的解法3～6中可以發(fā)現(xiàn)，不同的代數(shù)化方法是解析幾何一題多解的根源，也是解析幾何繁復(fù)多變的根源.因此掌握幾何條件代數(shù)化的方法就是掌握解析幾何解題的命脈.

4 結(jié)束語

再次回味《新課標》中關(guān)于解析幾何的兩句話：1)用代數(shù)的方法研究它們的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)形與數(shù)的結(jié)合，因此需要將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件，然后用代數(shù)的方法進行研究，最后將代數(shù)結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何條件，這就是解析幾何問題解決的三步曲：轉(zhuǎn)化—運算—轉(zhuǎn)化；2)運用平面解析幾何方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實際問題，感悟平面解析幾何中蘊含的數(shù)學(xué)思想，體會數(shù)學(xué)思想是教學(xué)的目的，因此大計算量并不是《新課標》的本意，教師與學(xué)生無需為大運算量花費大量的時間與精力，“如何轉(zhuǎn)化、怎么巧妙轉(zhuǎn)化”是研究的重點.