劉文杰，金健，張航軍，黃思涵

(華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北武漢 430074)

0 引言

環(huán)境應(yīng)力篩選是可靠性試驗(yàn)項(xiàng)目之一，通過對產(chǎn)品施加合適的環(huán)境應(yīng)力，可以有效地剔除產(chǎn)品中的潛在缺陷，使產(chǎn)品盡快地進(jìn)入偶然失效期，提高產(chǎn)品使用階段的可靠性。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)出現(xiàn)失效時，在較低組裝級上進(jìn)行維修，維修費(fèi)用會較低。組裝級提高一級，維修費(fèi)用幾乎會提高一個數(shù)量級。而當(dāng)產(chǎn)品投入使用后出現(xiàn)失效時，維修的費(fèi)用會更高[1]。進(jìn)行環(huán)境應(yīng)力篩選，可在產(chǎn)品投入現(xiàn)場使用之前，把產(chǎn)品生產(chǎn)過程中引入的潛在缺陷剔除，不僅可以大大地減少維修費(fèi)用，還能提高產(chǎn)品在用戶中的口碑。然而，當(dāng)產(chǎn)品已經(jīng)進(jìn)入偶然失效期后，其使用可靠性已經(jīng)接近于設(shè)計可靠性，此時若仍過度地對產(chǎn)品進(jìn)行應(yīng)力篩選，其可靠性不僅不能再得到太大的提升，反而會因?yàn)楹Y選時間過長而使得產(chǎn)品的生產(chǎn)成本大大地增加，得不償失。因此，進(jìn)行環(huán)境應(yīng)力篩選，需要合理地制定環(huán)境應(yīng)力篩選計劃。

本文以印制電路板組件為例，研究生產(chǎn)和使用階段環(huán)境應(yīng)力篩選的費(fèi)用估算和相應(yīng)的優(yōu)化問題。使用術(shù)語連接來描述在組件級裝配過程中可能會引入缺陷的要素[2]。以二級組裝模型來建立印制電路板的費(fèi)用模型，即以印制電路板上所使用的元器件為元器件級，以印制電路板、元器件和涉及的連接作為組件級，假設(shè)元器件級的缺陷來源于元器件，組件級的缺陷來源于元器件和連接。

針對環(huán)境應(yīng)力篩選費(fèi)用模型優(yōu)化問題，國內(nèi)外的研究學(xué)者已經(jīng)進(jìn)行了一系列的研究。Li Fang針對電子元器件的環(huán)境應(yīng)力篩選提出了一種優(yōu)化模型。他使用混合分布法來對元器件失效現(xiàn)象建模，使用罰函數(shù)法，通過進(jìn)行環(huán)境應(yīng)力篩選而使得可節(jié)省的費(fèi)用最大化來求最佳的篩選時間[3]。Edward A Pohl針對由元器件級、印制電路板級和系統(tǒng)級組成的復(fù)雜系統(tǒng)提出了一個3級混合分布模型，使用指數(shù)分布法和威布爾分布法來對其壽命特性建模。使用擬牛頓法求解費(fèi)用模型的最優(yōu)解可得到各級最佳的篩選時間[2]。但以上兩種方法所使用的指數(shù)分布和威布爾分布模型的失效率并不符合產(chǎn)品早期失效期的特點(diǎn)。Li Yan則針對一個由元器件級和組件級組成的二級系統(tǒng)提出了環(huán)境應(yīng)力篩選和老化相結(jié)合的方法來剔除早期故障，并使用浴盆曲線來對產(chǎn)品的壽命特性進(jìn)行建模[4]。但他的仿真實(shí)例卻假設(shè)產(chǎn)品沒有早期失效期。

由于威布爾分布具有極強(qiáng)的適應(yīng)性，為了描述產(chǎn)品在早期失效期的失效率情況，使用形狀參數(shù)小于1的兩參數(shù)威布爾分布來描述元器件和連接早期失效期和偶然失效期的壽命特征[5]。

1 組件篩選模型

對于印制電路板組件，本章將建立一個由元器件級和組件級組成的二級應(yīng)力篩選模型。為了較好地描述產(chǎn)品的失效率情況，假設(shè)元器件和連接的壽命都服從兩參數(shù)威布爾分布，并且元器件和連接都分別包含一定比例的次品和合格品，假設(shè)次品與合格品相比，有較高的失效率。根據(jù)文獻(xiàn) [1]的要求，在環(huán)境應(yīng)力篩選過程中，會對產(chǎn)品施加超過常規(guī)使用環(huán)境中的環(huán)境應(yīng)力，并且不會引入新的故障模式，也不會引入新的潛在缺陷，只是把已經(jīng)存在的潛在缺陷加速轉(zhuǎn)化成為故障并剔除掉。

1.1 元器件級篩選

元器件級篩選的目的是把含有潛在缺陷的元器件，即次品，從整批元器件中剔除出去，使得產(chǎn)品能盡快地進(jìn)入穩(wěn)定期。只有通過了元器件級篩選的元器件才能被組裝到印制電路板中。

環(huán)境應(yīng)力篩選對元器件施加的應(yīng)力水平會高于正常使用時環(huán)境對產(chǎn)品施加的應(yīng)力水平。為了描述元器件在環(huán)境應(yīng)力篩選過程中的壽命加速效果，使用加速因子的概念。因此，在環(huán)境應(yīng)力篩選的應(yīng)力水平下，元器件級等效使用時間與加速因子相關(guān)，即：

式(1)中：tc——元器件級等效使用時間；

tac——元器件級篩選時間；

Kc——元器件級篩選加速因子。

加速因子定義為在不同應(yīng)力水平作用下產(chǎn)品達(dá)到相同壽命消耗累積量的期望時間之比[6]。Kc值的大小取決于所采用的加速應(yīng)力類型和應(yīng)力水平。周玉芬曾推導(dǎo)過環(huán)境應(yīng)力篩選加速因子的計算公式，并且針對溫度循環(huán)應(yīng)力，給出了相應(yīng)的參數(shù)值，計算出其加速因子可達(dá)到4.99甚至更高[7]。

由于元器件的壽命服從威布爾分布，則其可靠度函數(shù)為：

式(2)中：Pcss、Pcg——元器件中次品和合格品所占的比例；

βcss、 ηcss、 βcg、 ηcg——元器件次品和合格品威布爾分布的形狀參數(shù)和比例參數(shù)。

并且：

元器件通過tc時間的篩選后為次品的概率和合格品的概率分別為：

通過了元器件級篩選的元器件將被組裝到組件中。在元器件級篩選中失效的元器件將被已通過篩選的元器件替換。預(yù)計的元器件更新數(shù)可由更新理論求得[8]。更新方程如下：

式(6)中：F(x)——元器件壽命的累積失效分布函數(shù)；

f(x)——失效概率密度函數(shù)；

M(x)——在[0，t)時間內(nèi)預(yù)計的元器件更新數(shù)。

求解更新方程需要使用拉普拉斯變換，但是威布爾分布的拉普拉斯變換很難求解，因此可采用數(shù)值方法求解。R Jiang使用伽馬分布與正態(tài)分布結(jié)合的方式求解威布爾分布的更新方程值，其方法適用于威布爾形狀參數(shù)β∈ (0.87，8.0)的情況，并且誤差小于0.003 7[9]。其使用威布爾累積失效分布函數(shù)F(t)的形狀參數(shù)、比例參數(shù)和t值來估算M(t)值。則在經(jīng)歷過tc時間篩選后，t時間內(nèi)預(yù)計的元器件更新數(shù)為：

其中， Mcss(t｜tc) 和 Mcg(t｜tc) 可分別根據(jù)次品和合格品元器件的累積分布函數(shù)來估算。

1.2 組件級篩選

組件級上的缺陷主要來源是元器件和連接。同元器件級篩選一樣，組件級的應(yīng)力篩選同樣會對元器件和連接造成壽命加速效果，可用一個加速因子來描述。連接和元器件在組件級篩選下的等效使用時間可用下面的關(guān)系來表示：

式(8)中：tab——組件級篩選時間；

Kb——組件級篩選加速因子。

假設(shè)所有的連接中都包括了合格品和次品，其壽命都服從威布爾分布。其未篩選的連接的可靠度函數(shù)為：

式(9)中：Pbss、Pbg——連接中次品和合格品所占的比例；

βbss、ηbss、βbg、ηbg——連接次品和合格品的形狀參數(shù)和比例參數(shù)。

連接通過tb時間的篩選后為次品和合格品的概率分別為：

因此，通過篩選的連接的可靠度函數(shù)為：

式(13)中：Rbss(t｜tb)——連接次品通過tb時間篩選后的可靠度函數(shù)；

Rbg(t｜tb)——元器件合格品通過tb時間篩選后的可靠度函數(shù)。

當(dāng)連接發(fā)生失效時，就對其進(jìn)行維修。失效率的定義為某產(chǎn)品工作到某時刻t時尚未發(fā)生失效，在該時刻t之后的下一個單位時間內(nèi)發(fā)生失效的概率。則某一時間段連接的維修數(shù)可由對其失效率函數(shù)λ(t)積分來估算[2]，其關(guān)系式如下：

式(15)中：f(t)——失效概率密度函數(shù)；

R(t)——可靠度函數(shù)。

經(jīng)過tb時間的組件級篩選后，連接的預(yù)計維修數(shù)為：

2 總費(fèi)用模型

對環(huán)境應(yīng)力篩選總費(fèi)用進(jìn)行優(yōu)化，首先，需要建立印制電路板從生產(chǎn)到保修期結(jié)束期間的費(fèi)用模型，找出影響總費(fèi)用的因素，并研究各種因素是如何影響總費(fèi)用的；然后，在此基礎(chǔ)上，找出總費(fèi)用最低值，制定最優(yōu)的應(yīng)力篩選計劃。印制電路板整個壽命周期內(nèi)的費(fèi)用可分為元器件費(fèi)用和組件費(fèi)用兩部分，則總費(fèi)用為：

2.1 元器件費(fèi)用

元器件費(fèi)用由固定費(fèi)用、隨時間增長的篩選費(fèi)用，以及分別在元器件級篩選、組件級篩選和現(xiàn)場使用且在保修期范圍內(nèi)更換元器件的費(fèi)用。對于更換元器件的費(fèi)用，其所處的組裝級越高，更換費(fèi)用就越高。因此，對于存在潛在缺陷的次品元器件，應(yīng)及早將其篩選出來。但是在實(shí)際的應(yīng)用過程中，依然存在即使?jié)撛谌毕菀呀?jīng)轉(zhuǎn)化為故障，卻仍然沒有被檢測出來的情況，所以在各個組裝級中篩選時檢測效率也會受到一定的影響。元器件級費(fèi)用計算公式如下：

式(18)中：SC——元器件級篩選的固定費(fèi)用；

I(t)——t＞0表明開啟篩選設(shè)備；

npcb——印制電路板的數(shù)量；

nc——每塊印制電路板上元器件的數(shù)量；

CT——單個元器件在元器件級篩選中單位時間的費(fèi)用；

DC——元器件級篩選的檢測效率；

CRCC——在元器件級篩選時更換單個元器件的費(fèi)用；

DB——組件級篩選的檢測效率；

CRCF——在現(xiàn)場使用時更換單個元器件的費(fèi)用。

2.2 組件費(fèi)用

印制電路板上的費(fèi)用主要來自于各個連接的失效，包括篩選設(shè)備的固定費(fèi)用、組件級篩選時隨時間增加的費(fèi)用、維修在組件級篩選中失效并被檢測到的連接、維修在投入使用后且在保修期內(nèi)失效的連接的費(fèi)用。組件級費(fèi)用的計算公式如下：

式(19)中：SB——組件級篩選的固定費(fèi)用；

nb——每塊印制電路板上連接的數(shù)量；

CRBB——在組件級篩選時維修單個連接的費(fèi)用；

CRBF——在現(xiàn)場使用時維修單個連接的費(fèi)用。

3 基于粒子群算法的費(fèi)用模型問題求解

根據(jù)式 (17)的總費(fèi)用模型，通過調(diào)整篩選時間tac和tab可得到不同的費(fèi)用結(jié)果。因此，將篩選時間tac和tab作為優(yōu)化問題的優(yōu)化變量，采用優(yōu)化算法尋找一種最優(yōu)的篩選時間，使得總費(fèi)用最少，即可實(shí)現(xiàn)環(huán)境應(yīng)力篩選時間的最優(yōu)設(shè)計。

該非線性優(yōu)化問題可使用粒子群算法求解。粒子群算法 (PSO：Particle Swarm Optimization)[10]是一種進(jìn)化計算技術(shù)，由Eberhart博士和Kennedy博士發(fā)明，其源于對鳥群捕食行為的研究。PSO是從隨機(jī)解出發(fā)，通過迭代尋找最優(yōu)解，通過自定義的適應(yīng)度函數(shù)來評價解的品質(zhì)，通過追隨當(dāng)前搜索到的最優(yōu)值來尋找全局最優(yōu)。這種算法具有實(shí)現(xiàn)容易、精度高和收斂快等優(yōu)點(diǎn)。該問題的適應(yīng)度函數(shù)定義為總費(fèi)用函數(shù)。然而PSO仍然存在收斂于局部最優(yōu)解的問題，而采用動態(tài)慣性權(quán)重法可較好地解決這個問題[11]，即：

式(20)中：ωstart——初始慣性權(quán)重；

ωend——迭代至最大次數(shù)時的慣性權(quán)重；

k——當(dāng)前迭代代數(shù)；

Tmax——最大迭代數(shù)。

PSO的流程圖如圖1所示。

圖1 PSO流程圖

本節(jié)將提供一個實(shí)例來闡述各個參數(shù)是如何影響產(chǎn)品壽命周期總費(fèi)用的。假設(shè)一個生產(chǎn)商需要生產(chǎn)某種印制電路板npcb塊，每塊印制電路板由nc個元器件和nb個連接組成，并且假設(shè)各個參數(shù)為：

元器件和連接的威布爾分布模型參數(shù)分別如下：

元器件級篩選和組件級篩選的加速因子可根據(jù)相應(yīng)的篩選應(yīng)力和參數(shù)，結(jié)合阿倫尼斯模型或逆冪率模型等求得，在本例中，假設(shè)：

3.1 更新數(shù)和維修數(shù)

元器件在某個篩選時間情況下的更新數(shù)可由式(7)求得。先分別假設(shè)元器件級篩選時間為0、500、1 000、1 500 h，觀察不同篩選時間對更新數(shù)的影響。更新數(shù)與時間的關(guān)系如圖2所示。由圖2可知，由于元器件級篩選會將一部分具有潛在缺陷的元器件剔除，使得次品元器件的占有率降低，從而影響整批元器件的累積失效分布函數(shù)，進(jìn)而使得整批元器件更新方程的解值減小。因此，經(jīng)歷過應(yīng)力篩選的元器件更新數(shù)會遠(yuǎn)低于沒有經(jīng)歷過篩選的元器件。而當(dāng)篩選時間超過1 000 h時，更新數(shù)減小的幅度就并不明顯了。

對于印制電路板上的連接，當(dāng)其發(fā)生失效時，并不是采取更新的策略，而是對其進(jìn)行維修。在不同篩選時間后某一時刻連接的預(yù)計維修數(shù)可由式(16)求得。在不同的篩選時間下，連接預(yù)計維修數(shù)與時間的關(guān)系如圖3所示。在投入使用初期，連接的維修數(shù)會急劇地增加，在一定時間之后，其增速會放緩。而對于未經(jīng)篩選的連接，其維修數(shù)會遠(yuǎn)遠(yuǎn)地高于經(jīng)過篩選的連接。當(dāng)篩選時間超過1 000 h后，不同篩選時間后的維修數(shù)的變化幅度不大。

由圖2-3可知，對元器件和組件進(jìn)行環(huán)境應(yīng)力篩選，可極大地減少投入使用后元器件的更新數(shù)和連接的維修數(shù)。雖然進(jìn)行應(yīng)力篩選會有一定的成本，但能極大地減少更新和維修費(fèi)用，可見對其進(jìn)行環(huán)境應(yīng)力篩選是很有必要的。

圖2 元器件的預(yù)計更新數(shù)曲線

圖3 連接的預(yù)計維修數(shù)曲線

3.2 數(shù)值仿真分析

根據(jù)以上提出的方法，在Matlab中實(shí)現(xiàn)算法程序，用于求解該總費(fèi)用優(yōu)化問題。在本實(shí)驗(yàn)中，讓程序重復(fù)運(yùn)行20次，可得到相同的結(jié)果，證明已求得全局最優(yōu)解。

依次改變元器件級篩選和組件級篩選的加速因子，求得的結(jié)果如表1所示。

表1 加速因子的影響

案例1的總費(fèi)用值隨迭代次數(shù)的收斂曲線如圖4所示。

圖4 PSO收斂曲線

由案例1-3可知，保持組件級篩選的加速因子不變，當(dāng)元器件級篩選的加速因子逐漸地增大時，總費(fèi)用減少，所需要的篩選時間減少。同理，當(dāng)保持元器件級篩選的加速因子不變時，組件級篩選的加速因子增加也可減少總費(fèi)用。對比案例2、4和7、8可發(fā)現(xiàn)，在組件級加速可取得更好的效果，因?yàn)榻M件級篩選可同時對元器件和連接產(chǎn)生加速效果。對比案例1和10可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)不進(jìn)行應(yīng)力篩選時，總費(fèi)用會遠(yuǎn)遠(yuǎn)地高于篩選后的費(fèi)用。因?yàn)椴贿M(jìn)行應(yīng)用篩選潛在缺陷就不能被提前剔除，只會在使用現(xiàn)場暴露出來。而在使用現(xiàn)場維修會產(chǎn)生高額的費(fèi)用。在環(huán)境應(yīng)力篩選過程中，要求所施加的應(yīng)力水平不能超過產(chǎn)品的破壞極限，以免對產(chǎn)品造成額外的壽命損耗。

在應(yīng)力篩選過程中，將潛在缺陷剔除需要兩步。第一步是通過環(huán)境應(yīng)力將潛在缺陷轉(zhuǎn)化為明顯缺陷，第二步是將明顯缺陷檢測出來并維修。為了度量檢測的充分程度，將由規(guī)定檢測程序發(fā)現(xiàn)的缺陷數(shù)與篩出的總?cè)毕輸?shù)的比值定義為檢測效率。檢測效率的大小決定了能否將已被應(yīng)力加速變成故障的潛在缺陷找出來并準(zhǔn)確地排除[1]。篩選在較高組裝級時，由于有可能利用較現(xiàn)成的測試系統(tǒng)或機(jī)內(nèi)檢測系統(tǒng)，高組裝級能準(zhǔn)確地模擬各種功能接口，以及便于規(guī)定合理的驗(yàn)收準(zhǔn)則，容易實(shí)現(xiàn)高效率的檢測，提高檢測效率。檢測效率對總費(fèi)用的影響如表2所示。

表2 檢測效率的影響

由表2中的案例1-3可知，當(dāng)組件級篩選檢測效率相同時，元器件級檢測效率越大，則總費(fèi)用越低。并且，當(dāng)元器件級檢測效率較小時，應(yīng)適度地減少元器件級的篩選時間。

由以上分析可知，檢測效率是應(yīng)力篩選的重要因素。施加的環(huán)境應(yīng)力把潛在缺陷變成明顯缺陷后，剔除故障的能力僅取決于儀表尋找故障并加以定位的能力。因此，應(yīng)盡可能地采用檢測效率高的測試儀表。

4 結(jié)束語

a)本文以印制電路板為例，提出了一個2級威布爾分布環(huán)境應(yīng)力篩選費(fèi)用模型，第一級為元器件級，第二級為組件級，組件級包括印制電路板上的元器件和連接。模型假設(shè)元器件和連接的壽命服從兩參數(shù)威布爾分布，并且形狀參數(shù)小于1，可較好地描述其在早期失效期失效率的表現(xiàn)。通過對該模型建立產(chǎn)品壽命周期的總費(fèi)用模型，以元器件級篩選時間和組件級篩選時間為優(yōu)化變量，以總費(fèi)用最少為目標(biāo)，使用PSO求得最優(yōu)解。

b)環(huán)境應(yīng)力篩選的關(guān)鍵是將整批產(chǎn)品中的次品剔除出去，因而其能減少產(chǎn)品隨后的更新數(shù)和維修數(shù)，從而極大地減少產(chǎn)品在保修期期間的更新費(fèi)用或維修費(fèi)用。但無限制地增加篩選時間并非最佳決策。因此，只有合理地制定和實(shí)施環(huán)境應(yīng)力篩選計劃，才是劃算的。

c)使用PSO求解總費(fèi)用模型的非線性優(yōu)化問題，通過對最優(yōu)解分析可知，提高各級篩選的加速因子和檢測效率，對于減少總費(fèi)用有著非常積極的效果。因此，為了提高環(huán)境應(yīng)力篩選的效益，可從此方面進(jìn)行優(yōu)化。

本文提出了一種用于求解環(huán)境應(yīng)力篩選最優(yōu)篩選時間的方法，所用的模型并不特指某種特定的產(chǎn)品，所涉及到的威布爾分布參數(shù)、次品占有率和費(fèi)用模型中的常數(shù)可根據(jù)具體的情況來確定。