王贛勇

（江西省豐城市拖船中學(xué)，江西 宜春 331100）

數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，在此過程中，教師不僅需要教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，更應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想。分類討論既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是解決問題的邏輯方法。這種方法對(duì)于簡(jiǎn)化研究對(duì)象、發(fā)展人的思維有著重要幫助。在教學(xué)活動(dòng)中“分類討論思想”是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種重要手段，它能揭示研究對(duì)象之間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生可以用它解決問題，使數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)更有條理。此外，運(yùn)用分類討論來解決的題目在高考試題中也必然存在。重點(diǎn)論述高中數(shù)學(xué)中分類討論的原理、類型以及討論的步驟，講述分類討論的具體應(yīng)用。

一、弄清分類討論的原因

（一）由數(shù)學(xué)概念而引起的分類討論：如絕對(duì)值的定義，不等式的定義，二次函數(shù)的定義，直線與平面所成的角，直線的傾斜角，兩條異面直線所成的角等問題。

（二）由數(shù)學(xué)運(yùn)算引起的分類討論：如導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)，除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)數(shù)，不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域，對(duì)數(shù)運(yùn)算中真數(shù)與底數(shù)的要求等問題。

（三）由函數(shù)的性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的分類討論：如函數(shù)的單調(diào)性、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等問題。

（四）由參數(shù)的變化而引起的分類討論：如含參數(shù)的方程、不等式，含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、值域（最值）等問題。

（五）由圖形不確定引起的分類討論：如角的終邊所在的象限，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等問題。

（六）其他根據(jù)實(shí)際問題具體分析而引起的分類討論：如排列組合，概率等實(shí)際問題。

二、分類討論教學(xué)的重要性

在分類討論問題解決中，雖然存在規(guī)律，但是規(guī)律沒有固定結(jié)構(gòu)，對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)需要以基本概念、內(nèi)涵、定理、法則與公式為前提。因此，在高中數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)過程中，引進(jìn)分類討論教學(xué)，可以讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分類掌握，并形成數(shù)學(xué)框架，對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)全面了解。例如，針對(duì)數(shù)學(xué)概念的分類討論，在對(duì)函數(shù)Y=作圖，在這個(gè)函數(shù)中，需要將cosx看成是一個(gè)整體，在分式中分母不得為0，因此，需要去除cosx=0的點(diǎn)，屬于間斷圖像。之后從增減性與正負(fù)性考慮函數(shù)cosx，最終對(duì)該題進(jìn)行解答。另外，在數(shù)學(xué)公式與訂立的分類討論中，需要對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)的分析研究，需要考慮到公式的運(yùn)算法則以及問題成立與否的條件，并對(duì)其進(jìn)行指定分類。例如，在排列組合的學(xué)習(xí)過程中，教師向?qū)W生提問：8個(gè)人站成兩排，A與B必須相鄰，有多少站法。在對(duì)其進(jìn)行解答的時(shí)候，可以將A與B看成是一個(gè)整體，即7人站兩排，并得出組合數(shù)，之后對(duì)A與B的站位進(jìn)行討論，將上述結(jié)果乘以2得出答案。由此，可以看出在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論是十分必要的，在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要的地位。因此，教師在教學(xué)的時(shí)候，需要充分考慮到分類討論的內(nèi)容，以便對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分類討論，通過對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分類了解與掌握，對(duì)整體數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行消化與理解。

三、具體應(yīng)用與實(shí)例

（一）因數(shù)學(xué)定義和規(guī)則必須分類討論的如，開偶次方、不等式兩邊同乘、去絕對(duì)值等。

（二）由定理、性質(zhì)、公式的限制引起的分類討論

對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性因底數(shù)a的取值范圍不同而不同，故需對(duì)a進(jìn)行分類討論。

（三）由幾何圖形中由于相對(duì)位置不確定引起的分類討論

（四）某些含有參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同對(duì)結(jié)果有影響，所以要分類討論

例如，有關(guān)一元二次函數(shù)最值、值域等問題，如果含有參數(shù)，需要對(duì)開口方向、對(duì)稱軸的位置進(jìn)行分類討論，最后綜合各種情況得到答案。

（五）其他情形，具體問題要根據(jù)實(shí)際情況具體分析

對(duì)于何時(shí)需要分類討論，則要視具體問題而定，并沒有絕對(duì)規(guī)定，我們要在解題時(shí)不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。另外，數(shù)學(xué)中的一些結(jié)論一般情形是正確的，但要考慮特殊情況。解題時(shí)，應(yīng)注意就這些特殊情形進(jìn)行討論。常見的有以下幾例：

（1）“一元二次方程有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為？駐≥0時(shí)，忽略了個(gè)別情形：當(dāng)a=0時(shí)，方程有解不能轉(zhuǎn)化為？駐≥0；

（2）等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中：q=1時(shí)，公式不成立，而是Sn=na1。

（3）直線方程時(shí)，設(shè)直線的斜率為k，但當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)無斜率，應(yīng)另行討論。

四、分類討論思想的注意事項(xiàng)

在應(yīng)用分類討論思想進(jìn)行解題的過程中，需要注意以下四方面的問題：第一、根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)進(jìn)行分類，分類過程中應(yīng)該做到不遺漏、不重復(fù)；第二、應(yīng)用分類討論思想，應(yīng)該熟練掌握基本方法、技巧、知識(shí)等，熟能生巧的同時(shí)做到融會(huì)貫通；第三、學(xué)習(xí)過程中要不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，避免盲目分類和主觀臆測(cè)；第四、不斷總結(jié)，注重簡(jiǎn)化分類，優(yōu)化解題過程。在運(yùn)用分類討論解題時(shí)，我們要明確分類的原因是什么？對(duì)象是什么？分幾個(gè)類別？不僅要掌握分類的原則，而且要把握分類的時(shí)機(jī)，重視分類的合理性與完整性。

數(shù)學(xué)思維的教學(xué)和數(shù)學(xué)的一般知識(shí)不一樣，很難在短時(shí)間內(nèi)掌握。教師在教學(xué)過程中不要急于求成，應(yīng)該在平時(shí)的教學(xué)中有意識(shí)地將分類討論的思想滲透其中，讓學(xué)生一步一步地學(xué)習(xí)分類方法，加強(qiáng)思考，提高解決復(fù)雜問題的能力。應(yīng)用分類討論思想的范圍比較廣，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，對(duì)于該思想的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，需要經(jīng)過不斷的經(jīng)驗(yàn)的積累、反復(fù)的總結(jié)和思考。并且應(yīng)用分類討論思想需要具備一定的邏輯思維能力、分析問題能力以及自主探究能力，而這些能力又在應(yīng)用分類討論思想的過程中相輔相成，相互促進(jìn)，從而提升了學(xué)生的綜合素質(zhì)和能力。分類討論思想能夠有效提升學(xué)生的理性思維，促進(jìn)學(xué)生思維擴(kuò)散，從而可以為今后的學(xué)習(xí)和工作奠定良好的基礎(chǔ)。