☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 劉成龍

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 胡 丹

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 楊小兵

學(xué)習(xí)金字塔理論表明：不同的學(xué)習(xí)方式得到的學(xué)習(xí)效果區(qū)別很大，位于塔尖的是學(xué)生單憑閱讀或聽老師講授，效果最差（保持10%）；位于塔基的是學(xué)生動手參與和給別人講授，效果最好（保持90%）.可見，積極主動、合作交流是最有效的學(xué)習(xí)方式.［1］在教學(xué)中如何開展主動、合作的學(xué)習(xí)方式呢？研究者認(rèn)為，質(zhì)疑是一種較好的方式.所謂質(zhì)疑，是指提出疑題.質(zhì)疑是思維交流的重要方式，是創(chuàng)造的源泉.通過質(zhì)疑喚醒固化的思維、閃現(xiàn)智慧的火花，通過思維碰撞、邏輯表達(dá)、活動反思，最終達(dá)成互識、共識.研究者以一道中考試題為載體，展示學(xué)生在合作中質(zhì)疑、質(zhì)疑中生成的整個講評過程.

問題：（2011年湛江中考）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AC的中點，且∠A+∠CDB=90°，過點A、D作圓O，使圓心O在AB上，圓O與AB交于點E.

（Ⅰ）求證：直線BD與圓O相切；

（Ⅱ）若AD∶AE=4∶5，BC=6，求圓O的直徑.

圖1

一、教學(xué)實錄

片段1：生疑——答案展示，認(rèn)知沖突

師L：課后作業(yè)題（上述問題）第（Ⅰ）問較簡單，這里不作分析.請大家展示第（Ⅱ）問的答案.

生2：不對，是5.

……

設(shè)置意圖：教師L故意設(shè)置“結(jié)構(gòu)不良”的問題，有利于驅(qū)動課堂的發(fā)展：學(xué)生解答時產(chǎn)生了不同的答案，而這些答案又是學(xué)生經(jīng)過計算實實在在得到的結(jié)果，這讓學(xué)生產(chǎn)生了疑惑，陷入了憤悱狀態(tài)，有利于激發(fā)指向?qū)W習(xí)活動本身的內(nèi)驅(qū)力，為下一步問題的探索、操作和掌握做鋪墊.

片段2：質(zhì)疑——各抒己見，暴露思維

師L：能否說說你們的想法？

生6：如圖2，連接DE.由題意得∠ADE=∠C=90°，故DE//BC，所以△ADE △ACB.又D為AC的中點，可得DE=BC=3.設(shè)AD=4x，則AE=5x，DE=3x，則x=1，AE=5，即圓的直徑為5.

師L：生6的做法，大家聽懂了嗎？

圖2

眾生：懂了.

師L：說說你的做法.

生7：如圖2，連接DO、DE.同生6一樣，可求得DE=3.設(shè)圓的半徑為r，在Rt△ADE中，AD=.因為點D為AC的中點，則AD=DC，AE=EB=2r，故在Rt△DCB中，DB2=DC2+CB2=4r2-9+36=4r2+27.在Rt△ODB中，DB2+OD2=OB2，則4r2+27+r2=9r2，解得，故圓的直徑為3.

師L：生7表述清楚，但答案與生6不同，這是為什么呢？

全班同學(xué)陷入了思考.

師L：得出其他結(jié)果的同學(xué)來說說你們的做法.

生8：如圖2，由DE//BC，得∠EDB=∠DBC.又∠EDB=∠A，所以∠A=∠DBC，故cos∠A=cos∠DBC，則.又BC=6，解得.又點D為AC的中點，顯然DE為Rt△ACB的中位線，則AE=BE.由切割線定理可知：BD2=BE·BA=2AE2，故，即圓的直徑為

師L：生8的思路正確、推理嚴(yán)格，所得答案為什么和生6、生7都不一樣呢？

全班學(xué)生竊竊私語，再一次陷入了思考和討論中.

生9舉手，師L示意生9回答.

師L：答案又不一樣了.

師L：5位同學(xué)的解答思路、邏輯表達(dá)、推理過程都是對的，但得到了5種不同的答案，顯然這與答案唯一相矛盾.能否找到原因呢？

學(xué)生再一次陷入了思考……

設(shè)計意圖：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（下文簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出教師是教學(xué)活動的組織者、引導(dǎo)者，學(xué)生是學(xué)習(xí)活動的主體.［1］教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)民主、和諧的課堂氛圍，將時間、空間、話語權(quán)留給學(xué)生，讓學(xué)生在交流中引發(fā)深入的思考，從而迸發(fā)思維的靈感；讓學(xué)生在表達(dá)中訓(xùn)練數(shù)學(xué)邏輯；讓學(xué)生在傾聽中引發(fā)反思，從而不斷修正、調(diào)整.

片段3：釋疑——刨根問底，追本索源

生11：生6的解答中用了“D是AC的中點”和“AD∶AE=4∶5”這兩個條件，但生7沒有用到AD∶AE=4∶5.

師L：你的意思是AD∶AE=4∶5這一條件多余？

生11：好像是.

生12：但是生10的解答中沒有用到“D是AC的中點”這個條件呀.

師L：“D是AC的中點”也多余？這兩個條件可以去掉嗎？

生13：感覺是多余的，但不能同時去掉.

師L：生8、生9的解答中這兩個條件都用了，但解答結(jié)果都和生6不一樣，這是為什么呢？

生14：難道這是一道錯題？

師L：錯在哪里？

生14：好像條件“D是AC的中點”和“AD∶AE=4∶5”在打架一樣.

師L：打架是什么意思？

生14：感覺不能共存一樣.

師L：生14表達(dá)的意思在數(shù)學(xué)中稱為條件間不相容：由“D是AC的中點”不能推出“AD∶AE=4∶5”，由“AD∶AE=4∶5”不能推出“D是AC的中點”.

眾生：哦.

師L：能否驗證生14的猜測？

生15：生10的解答中僅用“AD∶AE=4∶5”，得到DC=，顯然AD≠CD，不能推出“D是AC的中點”.

師L：講得很好，你在已有的成果的基礎(chǔ)上說明了“AD∶AE=4∶5”不能推出“D是AC的中點”，大家能說明另一種情形嗎？

生16：生7的解答中只用條件“D是AC的中點”，得到DE=3.設(shè)圓的半徑為r，則AD2=CD2=4r2-9.由切割線定理可知：BD2=BE·BA=8r2，在Rt△DCB中，4r2-9+36=8r2，解得.于是AE=3，AD=3，不能推出“AD∶AE=4∶5”.

師L：生15、生16驗證了兩個條件不相容，這正是得到不同答案的原因.

設(shè)計意圖：教師設(shè)置了一系列追問，繞過淺層教學(xué)，直接進(jìn)入知識意義系統(tǒng)的深度教學(xué).具體來講，教師引導(dǎo)學(xué)生通過尋找各種解法間的差異與關(guān)聯(lián)，水到渠成地讓學(xué)生“喊出”試題錯誤和條件“打架”的猜測，并通過“證明”真切認(rèn)識兩個關(guān)鍵條件的不相容關(guān)系，從而消除疑問.

片段4：消疑——優(yōu)化試題，回歸合理

師L：試題中兩個關(guān)鍵條件不相容，能優(yōu)化嗎？

生17：去掉“D是AC的中點”.

生18：去掉“AD∶AE=4∶5”.

師L：很好，刪掉“AD∶AE=4∶5”和“點D為AC的中點”其中一個條件可以使得試題科學(xué)、合理.

師L：刪掉“AD∶AE=4∶5”后的試題，答案是多少呢？

師L：對.去掉“點D是AC的中點”呢？

師L：至此，問題得到了優(yōu)化.

設(shè)計意圖：通過合作交流，去除“多余條件”讓“結(jié)構(gòu)不良”的試題得到優(yōu)化，生成了新的成果，這有利于加深學(xué)生對問題的理解，同時讓學(xué)生真切感受成功的愉悅感，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感和自信心.

二、教學(xué)感悟

反思即元認(rèn)知，是人們以自己的認(rèn)知活動過程及結(jié)果為認(rèn)識對象的認(rèn)識活動.弗賴登塔爾曾提出：“反思是重要的數(shù)學(xué)活動.它是數(shù)學(xué)活動的核心和動力，是一種積極的思維活動和探索行為，是發(fā)現(xiàn)、是再創(chuàng)造”.［2］本案例中，教師L以一道“結(jié)構(gòu)不良”的中考試題為載體，展示了一節(jié)別開生面的講評課.具體來說，教師L設(shè)置了生疑、質(zhì)疑、釋疑、消疑四個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷了在合作中質(zhì)疑、質(zhì)疑中生成的整個過程.同時，學(xué)生在質(zhì)疑、探索、釋疑中真正明白自己所困惑的問題，在自我發(fā)現(xiàn)、解決問題的過程中獲得“實現(xiàn)自我”的快樂，充分暴露學(xué)生的思維歷程，展現(xiàn)自己的思維方法.整個講評過程自然、和諧、民主、有效，引起了研究者深入的思考，以期引起讀者的共鳴.

1.教學(xué)的有效性

有效教學(xué)是指教師在達(dá)成教學(xué)目標(biāo)和滿足學(xué)生發(fā)展需要兩方面都獲得成功或表現(xiàn)俱佳的教學(xué)行為.［3］具體來講，有效教學(xué)的根本目的是學(xué)生的發(fā)展，尤其是思維的發(fā)展.本案例中，學(xué)生思維品質(zhì)得到了發(fā)展，批判精神得到了鍛煉：教學(xué)中，信息流向并非傳統(tǒng)的講—練—講的單一模式，而是在問題驅(qū)動、合作互動的多向流動中引發(fā)不同思維碰撞、各種視域融合，進(jìn)而培養(yǎng)思維的靈活性、深刻性和批判性.試想，若教師L在講評中直接告知學(xué)生試題答案、存在的錯誤及優(yōu)化方式，這將在學(xué)生頭腦中留不下任何痕跡，而通過合作、質(zhì)疑的方式發(fā)展了學(xué)生的認(rèn)知和數(shù)學(xué)思維，堪稱高效.

2.教學(xué)的藝術(shù)性

教學(xué)是一門高超的藝術(shù).整個教學(xué)中教師L表現(xiàn)出了較為高明的教學(xué)藝術(shù).

（1）教師L善于追問.

追問既是學(xué)問，也是一門藝術(shù).追問能提升質(zhì)量，追問能提升品味，追問能開啟智慧，追問能掀起課堂的高潮，追問能演繹課堂的精彩.［3］教師L并沒有直接告知學(xué)生試題是一道錯題、錯在哪里、怎么糾正，而是通過一系列富有針對性、啟發(fā)性、聚焦性的追問啟發(fā)學(xué)生思考、推動教學(xué)活動有序發(fā)展，讓學(xué)生在合作中、質(zhì)疑中達(dá)成共識.

（2）教師L善于營造民主氛圍.

人本主義教學(xué)理論認(rèn)為，良好的師生關(guān)系是有效教學(xué)的基礎(chǔ).心理學(xué)研究表明，在現(xiàn)實的學(xué)校生活中，只有民主、公正、理解、愛護(hù)、尊重學(xué)生的教師，才可能使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的熱情、克服困難的意志和創(chuàng)造的欲望.［4］教師L充分信任學(xué)生、尊重學(xué)生，以平等姿態(tài)與學(xué)生對話，將時間、空間、話語權(quán)交給學(xué)生，整個過程中，教師就是一個組織者、引導(dǎo)者、研究者、合作者.案例中，學(xué)生敢于表達(dá)內(nèi)心所惑、內(nèi)心所思，表現(xiàn)出了較大的學(xué)習(xí)熱情和創(chuàng)造力，這些均得益于民主的氛圍.

3.學(xué)生的主體性

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體.［1］質(zhì)疑是一種“再創(chuàng)造”的思維活動，需要發(fā)揮學(xué)習(xí)者的主體性、自主性與創(chuàng)造性.［5］在教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生“三動”來參與質(zhì)疑活動：

一是行動.所質(zhì)疑的問題能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，引起學(xué)生深度參與，使他們深度融入到質(zhì)疑活動中.案例中的問題“結(jié)構(gòu)不良”，遠(yuǎn)在學(xué)生的意料之外，這有利于調(diào)動學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)動機，使他們感受生疑、質(zhì)疑、釋疑、消疑的認(rèn)知過程.

二是互動.質(zhì)疑活動強調(diào)師生之間的合作、溝通，更強調(diào)生生間的合作與對話，在師生對話、生生對話的過程中形成“互識”與“共識”.本案例中，通過合作給出了四種不同的答案，讓學(xué)生產(chǎn)生了困惑；通過多種方法的梳理，讓學(xué)生對試題產(chǎn)生了質(zhì)疑；通過師生合作，達(dá)成了條件多余、條件不相容的“共識”；通過師生配合，最終優(yōu)化了試題.在整個過程中，師生既有行為參與，還有認(rèn)知參與和情感參與，豐富了思維的內(nèi)容和方式.

三是心動.質(zhì)疑的過程是學(xué)習(xí)者情感、態(tài)度、信念、價值賦予的過程.在經(jīng)歷生疑、質(zhì)疑、釋疑、消疑的過程中，使學(xué)生產(chǎn)生強烈的沖突感、發(fā)現(xiàn)感、成就感與自我存在感、價值感.特別是在釋疑、消疑等環(huán)節(jié)中，學(xué)習(xí)者不斷地感受到新發(fā)現(xiàn)、新成果，將質(zhì)疑活動推向了高潮，極大地發(fā)展了他們的問題意識與創(chuàng)新意識.