☉江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 李 菁

☉江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 劉錫光

一、引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》指出“課程內(nèi)容要符合學(xué)生的認知規(guī)律；學(xué)習(xí)評價的主要目的是為了全面了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程和結(jié)果，評價既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，也要重視學(xué)習(xí)的過程［1］”.即要求教師在教學(xué)中要同時關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果和過程.

不少學(xué)生反映小學(xué)時就對應(yīng)用題束手無策，年級越高題目中的數(shù)量關(guān)系越復(fù)雜，以致不少初中生遇到應(yīng)用題時題目都不看就直接放棄，這是導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)成績不好的重要原因.因此筆者試圖運用ACT-R理論分析學(xué)生解答應(yīng)用題的認知過程，通過設(shè)計適合學(xué)生認知過程的教學(xué)方案讓學(xué)生更自然地掌握教學(xué)內(nèi)容.

二、ACT-R理論概述

ACT-R（Adaptive Control of Thought-Rational）理論是由卡耐基梅隆大學(xué)教授John Robert Anderson提出的一種試圖闡述人類如何獲得和組織知識，以及如何產(chǎn)生智力活動的認知理論.該理論的基本觀點是：復(fù)雜認知是由相對簡單的知識單元所組成的，而這些知識單元是通過相對簡單的原理獲得的［2］.它將知識分為陳述性知識（是什么）和程序性知識（怎么做）兩類，程序性知識其實是提取陳述性知識的指令，稱為產(chǎn)生式.

圖1 ACT-R的symbolic系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)

ACT-R系統(tǒng)包括symbolic系統(tǒng)和sub-symbolic系統(tǒng).能夠顯性表現(xiàn)出來的symbolic系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1［3］所示（矩形表示功能模塊，橢圓表示緩沖塊）.它由六個基本模塊組成，產(chǎn)生式模塊通過產(chǎn)生式規(guī)則操作各個模塊的緩沖塊，從而聯(lián)合了其他所有模塊.

三、問題解決認知過程分析

（一）模型結(jié)構(gòu)介紹

ACT-R認知模型包括視覺模塊（Visual Module）、映像模塊（Imaginal Module）、陳述性知識模塊（Retrieval Module）、目標模塊（Goal Module）、產(chǎn)生式模塊（Production Module）、輸出模塊（Manual Module）等六個模塊.

視覺模塊：感知問題，保留問題原形；

映像模塊：儲存當(dāng)下問題或目的的表現(xiàn)形式或狀態(tài)；

陳述性知識模塊：在長時記憶中檢索相關(guān)信息；

目標模塊：記錄或跟蹤問題解決過程中的目的；

產(chǎn)生式模塊：激活能解決當(dāng)前問題的產(chǎn)生式規(guī)則并作用于相應(yīng)信息塊；

輸出模塊：經(jīng)過操作運算獲取結(jié)果并輸出.

（二）分析內(nèi)容選取

本文選取人教版七年級下冊第八章8.3節(jié)第1課時的課本例題：養(yǎng)牛場原有30頭大牛和15頭小牛，1天約需用飼料675kg；一周后又購進12頭大牛和5頭小牛，這時1天約需用飼料940kg.飼養(yǎng)員李大叔估計平均每頭大牛1天約需用飼料18kg～20kg，每頭小牛1天約需用飼料7kg～8kg.你能通過計算檢驗他的估計是否正確嗎？［4］

（三）認知過程分析

上述例題問題解決的認知過程如表1所示：

（四）教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)引入

教師展示世界杯足球賽和足球的圖片，提問：同學(xué)們喜歡踢足球嗎？觀看過世界杯比賽嗎？觀察過足球的表面由什么形狀構(gòu)成的嗎？

表1“實際問題與二元一次方程組——檢驗估計”問題解決的認知過程

教師給出題目：足球表面由一些正五邊形和正六邊形的皮塊縫合而成，共計32塊，已知正五邊形塊數(shù)比正六邊形塊數(shù)的一半多2塊，問：兩種皮塊各有多少？

教師帶著學(xué)生回顧用方程組解決問題的步驟，按步驟解答上述問題.

2.探索分析，解決問題

師：前面我們結(jié)合實際問題，回顧了用方程組解決簡單實際問題的過程.本節(jié)我們繼續(xù)探究用方程組解決實際問題.

探究1：長18米的鋼材，要鋸成10段，而每段的長只能取“1米或2米”兩種型號之一，小明估計2米的有3段，他的估計是否正確？為什么？（可讓學(xué)生交流討論）

方法1：假設(shè)估計正確，檢驗是否符合條件.（算術(shù)法）

①2×3+1×（10-7）=13≠18；

②（18-2×3）÷1=12≠（10-3）.

上述方法是小學(xué)的算術(shù)法，我們最近學(xué)習(xí)的新知識能不能解決它呢？（引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到借助二元一次方程組）題目問題是“你們認為他的估計是否正確”，我們?nèi)绾闻袛噙@個估計是否正確呢？小明的估計是2米鋼材有3段，若我們能知道2米鋼材有幾段就好了.我們能否利用已知條件計算出2米鋼材的段數(shù)？

方法2：根據(jù)題中條件求出兩種型號鋼材各有多少段（或只求2米鋼材的段數(shù)），再判斷估計是否正確.（方程法）

教師對學(xué)生一題多解的行為表示贊揚之后，提問哪種方法更簡單，大多數(shù)學(xué)生會回答方法1，此時可能有學(xué)生會有疑問：既然方程法比算術(shù)法麻煩，為什么要學(xué)習(xí)用方程組解決實際問題呢？于是引出教材中的例題.

探究2：上述例題.

同學(xué)們嘗試用方法1解決此問題.（使學(xué)生感受到有些題算術(shù)法不適用）接著再用方法2，教師引導(dǎo)：題目中估計了兩個量，應(yīng)假設(shè)兩個未知數(shù)表示這兩個量；題中有哪些已知量？結(jié)合未知量，有怎樣的數(shù)量關(guān)系？采用請學(xué)生填空的方式得到兩個等量關(guān)系：①30頭大牛1天所需飼料+15頭小牛1天所需飼料=原來1天的飼料總量，②42頭大牛1天所需飼料+20頭小牛1天所需飼料=現(xiàn)在1天的飼料總量.

請同學(xué)們將等量關(guān)系用數(shù)字符號表達出來，列出方程組.解方程時請同學(xué)們認真計算，鼓勵學(xué)生靈活交錯使用代入法和加減法解方程組.

再請同學(xué)們思考：以上問題能列出不同的方程組嗎？解是否一致？

檢驗可知方程組的解即實際問題的答案，得到大牛、小牛實際1天所需飼料量，回答問題時別忘了原題是問估計是否正確，因此要比較答案和估計范圍后再回答問題.

解：設(shè)每頭大牛和每頭小牛1天各需用飼料xkg和ykg.

答：每頭大牛1天約需飼料20kg，每頭小牛1天約需飼料5kg.因此，飼養(yǎng)員李大叔對大牛的食量估計較準確，對小牛的食量估計偏高.

3.思考回顧，歸納總結(jié)

（引導(dǎo)學(xué)生一起總結(jié)）回顧一下剛才的解題過程：首先有一個待解決的實際問題，我們通過轉(zhuǎn)化問題形式，找出未知量、已知量及數(shù)量關(guān)系，列出方程組，即將實際問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題，解方程組后就得到數(shù)學(xué)問題的解，經(jīng)驗證，符合實際意義的解即為實際問題的答案.這樣的過程我們稱為“數(shù)學(xué)建模”.

4.簡單應(yīng)用，鞏固提升

劉老師購買運動會的獎品后，向總務(wù)處李主任交賬時說：“我買了兩種書共105本，單價分別為8元和12元，我領(lǐng)了1500元，現(xiàn)在還剩418元.”李主任計算后說：“你肯定搞錯了.”李主任為什么說他搞錯了？

分析劉老師是哪里錯了：由題意可知他花了（1500-418）元買了單價為8元和12元的書共105本，這兩種書各買了多少本？能求出來嗎？假設(shè)8元的買了x本，12元的買了y本，得到等量關(guān)系：①8元書的數(shù)量+10元書的數(shù)量=書本總數(shù)，②8元書的總價+10元書的總價=所花總錢數(shù).由此可得解完方程組，接下來呢？檢驗.x、y的值是小數(shù)，不符合實際意義，故劉老師的話一定出現(xiàn)了錯誤.

5.課堂小結(jié)，思想升華

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家有什么收獲？

二元一次方程組可以幫助我們解決許多實際問題；如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；什么是數(shù)學(xué)建模……

四、教學(xué)啟示

分析學(xué)生的認知過程可以幫助教師更好地了解學(xué)生學(xué)習(xí)過程中可能遇到的困難，掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，并根據(jù)學(xué)生的實際情況設(shè)計教學(xué)方案.比如，檢驗估計問題中沒有直接提問要求的量，學(xué)生解題時可能找不到未知量，因此可設(shè)計題型類似但難度更低的題目為學(xué)生提供可參照的范例，同時幫學(xué)生建立信心.

同時考慮具體的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的認知特點兩方面來設(shè)計引導(dǎo)問題，有助于學(xué)生在認知過程中快速形成正確的產(chǎn)生式規(guī)則.例如，為了讓學(xué)生能更順利地發(fā)現(xiàn)探究2中的未知量，筆者先設(shè)置了更簡單的探究1；探究1中兩種解法對應(yīng)兩個產(chǎn)生式：檢驗估計→假設(shè)估計正確加以驗證；檢驗估計→求出估計的實際值，而前者適合估計為準確數(shù)值類型，后者適用于估計為大致范圍類型.

相關(guān)研究表明，策略的準確性是影響學(xué)生解題策略選擇的因素，且學(xué)生總傾向于用自己認為好的方法解決問題，而不是教師所教授的方法.因此筆者認為讓學(xué)生在課堂上使用他們喜歡的方法，待發(fā)現(xiàn)效果不好甚至錯誤后再進行正確方法的引導(dǎo)和教學(xué)，能使學(xué)生印象深刻且更愿意接受教師的方法，教學(xué)效果會更好，因此有探究2先讓學(xué)生嘗試用方法1的設(shè)計，同時能凸顯方程法的優(yōu)勢.

五、結(jié)語

文中的不足在于“檢驗估計”問題解決認知過程是筆者依據(jù)ACT-R理論的認知觀針對這一具體問題進行的教學(xué)分析嘗試，只是從表層開展模擬驗證，更多停留在理論階段；設(shè)計的教學(xué)過程盡管在實際教學(xué)中實施過，但由于未做課前測試或?qū)φ赵囼灒狈πЧ麑Ρ鹊尿炞C，因此接下來的研究將對學(xué)生認知開展更規(guī)范的模擬實驗，進一步將上述教學(xué)設(shè)計應(yīng)用于教學(xué)實踐，并編制問卷測試實驗效果，以驗證本研究的真實性，在此僅拋磚引玉，企盼得到大家的指正.