■張敏亞

一、認知圖式理論對數(shù)學思維能力建構(gòu)的解釋

認知圖式理論來源于喬治·凱利的《個人建構(gòu)心理學》，認為人認識世界，就像科學家做研究一樣，會不斷地提出認識世界的假設并檢驗，最終形成關于世界的圖式。

在數(shù)學學習中，學生數(shù)學能力的建構(gòu)，也類似做科學研究。在過去學習的基礎上，學生可能會對數(shù)學學習產(chǎn)生幾個假設，如果見到關于數(shù)學的新事物，便會去收集更多的信息，并且把當前信息與之前的假設相比較。如果假設被證實，學生就會繼續(xù)使用它；如果沒有，學生就會放棄這一假設，用一個新假設取代它。最終，學生不斷地證實、修改、發(fā)展個人假設，形成一個層次豐富、界限清晰、細節(jié)豐滿的認知結(jié)構(gòu)。相對穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)使他們具有了相對穩(wěn)定的數(shù)學解釋和預測能力。這一過程很像科學家在實證發(fā)現(xiàn)基礎上保留或拒絕假設的過程。數(shù)學學科是由定義、公理、定理等組成的邏輯大廈，體現(xiàn)了極致的邏輯之美；數(shù)學習題更是在數(shù)學思想下，依據(jù)所給條件的微細變化，在幾個可能的解題方向上做出的恰當?shù)倪x擇。數(shù)學的這些特點既滿足了認知圖式理論所需要的信息，又能夠培養(yǎng)學生的邏輯能力和個人創(chuàng)造能力。

人類思維的原始性是彌散的、無組織的，表現(xiàn)出來的是一種分離的經(jīng)驗，相互之間無聯(lián)系。這樣的思維形態(tài)沒有力量，不利于深入學習。然而當前中小學教育中，忙碌的、刷題式的教學模式助長了這種趨勢。在忙碌、焦慮的狀態(tài)下，學生一般不能從容地產(chǎn)生假設，不能充分地收集信息，不能按著自己的節(jié)奏驗證和發(fā)展假設，無法積極地深入探查思維的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，很難在認知層面覺察它們的存在。即使給予學生充足的探究時間，教師也不要對學生的自主性抱有過高的期待。思維是有惰性的，大多數(shù)學生的學習會陷入一種重復的、不適應的應對模式。學生既沒有能力識別出這種模式，也沒有能力去修正和改變，只能進行不確定的循環(huán)，有時正確，有時不正確，解決問題常處于一種隨機的、混亂的試錯狀態(tài)，而不是清晰的、有序的邏輯狀態(tài)。

可見，應用認知圖式理論進行數(shù)學教學實踐探索具有一定的現(xiàn)實意義，不僅有助于學生數(shù)學學科素養(yǎng)的養(yǎng)成，也有利于學生形成廣泛意義上認知世界的能力。

二、認知圖式理論觀照下數(shù)學思維能力培養(yǎng)的技術路徑

對教師而言，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，既需要一個清晰堅固的行動框架，又需要在理論上有連貫的認識，在實踐上有真切的體驗，掌握實際有用的教學技術。借鑒認知療法，數(shù)學思維能力的培養(yǎng)可以分為四個階段。教師在實際教學中，應注重追求每一個階段的成功，從而使學生從隨機的反應轉(zhuǎn)向正常的、有序的思考。

1.識別圖式。

數(shù)學思維圖式是以數(shù)學思想為解決問題的方向，以數(shù)學概念為思維基點，以數(shù)學方法為解決問題的工具，綜合考查，構(gòu)建解決問題的整體性思路。本質(zhì)上，圖式就是潛在的假設、一系列信息的聯(lián)結(jié)。一般而言，學生片段化的經(jīng)驗形成的聯(lián)結(jié)，構(gòu)成了他們的認知圖式，也構(gòu)成了他們基本的思維能力。

如何識別學生頭腦中的圖式呢？首先，教師需要為學生營造安全的學習心境。猶如嬰兒學步，初中學生最初展示的思維可能都是幼稚的、荒謬的。教師應用欣喜的心態(tài)看待學生每一點的自我探索。只有學生覺得安全的情境，才有利于思維的激活和發(fā)現(xiàn)。其次，從學生的解題行為中捕捉。學生的解題行為揭示了他們的認知圖式。教師講解習題時不應簡單判斷對錯，而應看到文字背后的假設、聯(lián)結(jié)、技能，讓學生闡述初見問題的整體設想，描述思維過程，解釋他所做出的判斷和選擇，從學生的敘述中辨識。這些都有利于教師對學生的認知圖式的精準識別。

2.指導性發(fā)現(xiàn)。

教師的專業(yè)性意味著他更富有彈性，有更大的格局、更豐富的細節(jié)和更多供選擇的認知圖式，并且這樣的認知圖式可以高明地判斷解題方向，擁有豐富的應對策略，這也是極其重要的數(shù)學學科素養(yǎng)。必須反復強調(diào)的是，在一般教學情境中，我們可以解決概念的界定、細節(jié)的完善、知識的鞏固，但無法發(fā)展學生的認知圖式。認知圖式需要的是系統(tǒng)性的解決，需要經(jīng)歷從假設到探索，再到驗證的反復循環(huán)。這是一個曲折幽長的過程，學生較難獨立自主完成，一般的教學也難以促其進步。在學生深入探究知識的時刻，在學生解決問題的細微之處，需要教師的關注和指導。教師既要提供情感支持，也要提供專業(yè)支持，從而促進學生認知圖式的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展。

3.固著思維的轉(zhuǎn)化。

筆者的教學實踐表明，初中學生的數(shù)學認知圖式呈現(xiàn)錯綜復雜的特點。在師生努力之下，確定了新的學習框架后，教和學的活動進入了第三階段：質(zhì)變。在這個階段，面對具體的問題情境，學生反復闡述自己的想法，并對教師指導的內(nèi)容進行驗證。在這樣的過程中，學生增強了對自己認知圖式的察覺，將自己固著的思維方式與新的經(jīng)驗片段進行短暫性、漸進性的融合，形成更大的結(jié)構(gòu)體系。此時，一些學生雖可能會有表面退步的表現(xiàn)，但他們會獲得一種學習的掌控感和價值感，使得他們堅持下去。一段時間之后，量的積累會導致質(zhì)的提升，在某一個時刻，學生會突然覺得那種艱難的感覺不見了，對學習數(shù)學有了真正的信心。

4.技巧訓練。

在學生步入這樣的軌道后，教學就可以進入正常的狀態(tài)。學生會在教師授課、刷題等活動中學到知識。在這一階段，學生需要的是盡可能多的數(shù)學實踐，以利于認知圖式的確認和再造。學生在進入真正的數(shù)學學習之前，需要有一個合理的認知框架，也就是說，他們在探索數(shù)學之前，已經(jīng)有了一些關于數(shù)學的正確認識，不然，學生只能使用他能想到的應對策略，反復用不一定能勝任的模式來應對學習壓力與挑戰(zhàn)，哪怕這些應對方式已經(jīng)無數(shù)次被現(xiàn)實檢驗為錯誤的方法。

三、從認知圖式理論走向數(shù)學教學的實踐策略

北外附校林衛(wèi)民校長說過，一些教師沒有從教學的復雜性本質(zhì)特征來研究和把握課堂教學，一線教師的教學困惑主要源自教育工作本質(zhì)的復雜性。不可否認，即使面對諸多鮮活的生命，一些教師依然會把全班學生視為完全一樣的“內(nèi)存條”，用幾乎完全一樣的指令，讓認知圖示各異的學生個體去穿越充滿眾多險阻的數(shù)學原始森林，導致只能表面達成教學目標。每個教師都遭遇過這樣的情形：面對一道數(shù)學綜合題，當自己聲嘶力竭、傾己所能進行講授時，教室里可能毫無生機，格格不入的學生無處不在，教與學之間充滿混亂和痛苦。有識之士早已指出，教學改革不能局限在具體的技術層面。認知圖式理論為我們的數(shù)學教育提供了一個全新的理論視角和具有可操作性的解決方案。從理論走向?qū)嵺`并非易事，需要教師們遵循一些原則，靈活應用一些策略。

1.無條件支持個人思考。

通常學生考好了，教師就給予表揚；學生考砸了，教師就提出批評。教師對學生的喜歡是有條件的，就是學生要快速地學會教師所教的方法，而不是他們誤打誤撞思考出來東西。有時候教師也明白，問題的情境是變化的，教師所教知識的作用是有限的。但我們在不知不覺中，就營造和強化出這樣一種需要學生聽話的教育環(huán)境。教與學是一個發(fā)展共同體，教師的這一潛在要求自然會影響學生。他們稚嫩的、混亂的思考可能會被嘲笑、譏諷，甚至打擊，個人思考常稍做嘗試就停止了。如果教師教學能像父母看著孩子學走路一樣，對學生每一點的努力和嘗試，都投以贊許的目光，報以欣喜的神情，以一種無條件的支持來鼓勵學生做出思考，以很高的熱情來宣揚學生身上細微的進步之處，營造鼓勵個人獨特思考的班級氣氛，就很可能喚醒學生的內(nèi)在動力。

2.在有價值的地方進行深度思考。

學生常處于任務飽和的狀態(tài)，常忙著完成教師布置的具體作業(yè)，空閑時也可能會去做一些額外的習題，但就是不愿進行深度思考。教師需要在一些值得探究的、有思考價值的地方，引導學生進行深度思考。在實踐初期，教師可以通過師生對話的形式，這不僅有利于推動思維的深入，檢查思維的成效，也有利于學生學會正確的思考的視角和方法，收獲積極的體驗。

3.持續(xù)完善個人思維導圖。

思維導圖是一種很好的承載知識的組織形式。借助思維導圖，學生可以將數(shù)學的思想、概念、具體方法按其內(nèi)在聯(lián)系組合成一個整體，將數(shù)學的知識點串成線連成網(wǎng)，形成完整的體系。這樣，學生能夠在新情境下做出一個快速、自動、恰當?shù)姆磻?。在學生初步能力培養(yǎng)的基礎上，教師可以要求學生持續(xù)努力畫出某些方面的思維導圖，并最終建構(gòu)個人數(shù)學認知圖式，發(fā)展數(shù)學思維能力。

數(shù)學教育更大的目的在于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，提高學生的數(shù)學思維品質(zhì)，這是一個很困難的任務。而個人認知圖式的建構(gòu)是解決這個任務的有效方式之一。只要我們堅持不懈地指導學生進行個人建構(gòu)，學生思維能力的提高便會有發(fā)生的可能。