■張敏亞

一、認(rèn)知圖式理論對數(shù)學(xué)思維能力建構(gòu)的解釋

認(rèn)知圖式理論來源于喬治·凱利的《個人建構(gòu)心理學(xué)》，認(rèn)為人認(rèn)識世界，就像科學(xué)家做研究一樣，會不斷地提出認(rèn)識世界的假設(shè)并檢驗，最終形成關(guān)于世界的圖式。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生數(shù)學(xué)能力的建構(gòu)，也類似做科學(xué)研究。在過去學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)生可能會對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生幾個假設(shè)，如果見到關(guān)于數(shù)學(xué)的新事物，便會去收集更多的信息，并且把當(dāng)前信息與之前的假設(shè)相比較。如果假設(shè)被證實，學(xué)生就會繼續(xù)使用它；如果沒有，學(xué)生就會放棄這一假設(shè)，用一個新假設(shè)取代它。最終，學(xué)生不斷地證實、修改、發(fā)展個人假設(shè)，形成一個層次豐富、界限清晰、細節(jié)豐滿的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。相對穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)使他們具有了相對穩(wěn)定的數(shù)學(xué)解釋和預(yù)測能力。這一過程很像科學(xué)家在實證發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)上保留或拒絕假設(shè)的過程。數(shù)學(xué)學(xué)科是由定義、公理、定理等組成的邏輯大廈，體現(xiàn)了極致的邏輯之美；數(shù)學(xué)習(xí)題更是在數(shù)學(xué)思想下，依據(jù)所給條件的微細變化，在幾個可能的解題方向上做出的恰當(dāng)?shù)倪x擇。數(shù)學(xué)的這些特點既滿足了認(rèn)知圖式理論所需要的信息，又能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯能力和個人創(chuàng)造能力。

人類思維的原始性是彌散的、無組織的，表現(xiàn)出來的是一種分離的經(jīng)驗，相互之間無聯(lián)系。這樣的思維形態(tài)沒有力量，不利于深入學(xué)習(xí)。然而當(dāng)前中小學(xué)教育中，忙碌的、刷題式的教學(xué)模式助長了這種趨勢。在忙碌、焦慮的狀態(tài)下，學(xué)生一般不能從容地產(chǎn)生假設(shè)，不能充分地收集信息，不能按著自己的節(jié)奏驗證和發(fā)展假設(shè)，無法積極地深入探查思維的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，很難在認(rèn)知層面覺察它們的存在。即使給予學(xué)生充足的探究時間，教師也不要對學(xué)生的自主性抱有過高的期待。思維是有惰性的，大多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)會陷入一種重復(fù)的、不適應(yīng)的應(yīng)對模式。學(xué)生既沒有能力識別出這種模式，也沒有能力去修正和改變，只能進行不確定的循環(huán)，有時正確，有時不正確，解決問題常處于一種隨機的、混亂的試錯狀態(tài)，而不是清晰的、有序的邏輯狀態(tài)。

可見，應(yīng)用認(rèn)知圖式理論進行數(shù)學(xué)教學(xué)實踐探索具有一定的現(xiàn)實意義，不僅有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的養(yǎng)成，也有利于學(xué)生形成廣泛意義上認(rèn)知世界的能力。

二、認(rèn)知圖式理論觀照下數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的技術(shù)路徑

對教師而言，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，既需要一個清晰堅固的行動框架，又需要在理論上有連貫的認(rèn)識，在實踐上有真切的體驗，掌握實際有用的教學(xué)技術(shù)。借鑒認(rèn)知療法，數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)可以分為四個階段。教師在實際教學(xué)中，應(yīng)注重追求每一個階段的成功，從而使學(xué)生從隨機的反應(yīng)轉(zhuǎn)向正常的、有序的思考。

1.識別圖式。

數(shù)學(xué)思維圖式是以數(shù)學(xué)思想為解決問題的方向，以數(shù)學(xué)概念為思維基點，以數(shù)學(xué)方法為解決問題的工具，綜合考查，構(gòu)建解決問題的整體性思路。本質(zhì)上，圖式就是潛在的假設(shè)、一系列信息的聯(lián)結(jié)。一般而言，學(xué)生片段化的經(jīng)驗形成的聯(lián)結(jié)，構(gòu)成了他們的認(rèn)知圖式，也構(gòu)成了他們基本的思維能力。

如何識別學(xué)生頭腦中的圖式呢？首先，教師需要為學(xué)生營造安全的學(xué)習(xí)心境。猶如嬰兒學(xué)步，初中學(xué)生最初展示的思維可能都是幼稚的、荒謬的。教師應(yīng)用欣喜的心態(tài)看待學(xué)生每一點的自我探索。只有學(xué)生覺得安全的情境，才有利于思維的激活和發(fā)現(xiàn)。其次，從學(xué)生的解題行為中捕捉。學(xué)生的解題行為揭示了他們的認(rèn)知圖式。教師講解習(xí)題時不應(yīng)簡單判斷對錯，而應(yīng)看到文字背后的假設(shè)、聯(lián)結(jié)、技能，讓學(xué)生闡述初見問題的整體設(shè)想，描述思維過程，解釋他所做出的判斷和選擇，從學(xué)生的敘述中辨識。這些都有利于教師對學(xué)生的認(rèn)知圖式的精準(zhǔn)識別。

2.指導(dǎo)性發(fā)現(xiàn)。

教師的專業(yè)性意味著他更富有彈性，有更大的格局、更豐富的細節(jié)和更多供選擇的認(rèn)知圖式，并且這樣的認(rèn)知圖式可以高明地判斷解題方向，擁有豐富的應(yīng)對策略，這也是極其重要的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。必須反復(fù)強調(diào)的是，在一般教學(xué)情境中，我們可以解決概念的界定、細節(jié)的完善、知識的鞏固，但無法發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知圖式。認(rèn)知圖式需要的是系統(tǒng)性的解決，需要經(jīng)歷從假設(shè)到探索，再到驗證的反復(fù)循環(huán)。這是一個曲折幽長的過程，學(xué)生較難獨立自主完成，一般的教學(xué)也難以促其進步。在學(xué)生深入探究知識的時刻，在學(xué)生解決問題的細微之處，需要教師的關(guān)注和指導(dǎo)。教師既要提供情感支持，也要提供專業(yè)支持，從而促進學(xué)生認(rèn)知圖式的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展。

3.固著思維的轉(zhuǎn)化。

筆者的教學(xué)實踐表明，初中學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知圖式呈現(xiàn)錯綜復(fù)雜的特點。在師生努力之下，確定了新的學(xué)習(xí)框架后，教和學(xué)的活動進入了第三階段：質(zhì)變。在這個階段，面對具體的問題情境，學(xué)生反復(fù)闡述自己的想法，并對教師指導(dǎo)的內(nèi)容進行驗證。在這樣的過程中，學(xué)生增強了對自己認(rèn)知圖式的察覺，將自己固著的思維方式與新的經(jīng)驗片段進行短暫性、漸進性的融合，形成更大的結(jié)構(gòu)體系。此時，一些學(xué)生雖可能會有表面退步的表現(xiàn)，但他們會獲得一種學(xué)習(xí)的掌控感和價值感，使得他們堅持下去。一段時間之后，量的積累會導(dǎo)致質(zhì)的提升，在某一個時刻，學(xué)生會突然覺得那種艱難的感覺不見了，對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有了真正的信心。

4.技巧訓(xùn)練。

在學(xué)生步入這樣的軌道后，教學(xué)就可以進入正常的狀態(tài)。學(xué)生會在教師授課、刷題等活動中學(xué)到知識。在這一階段，學(xué)生需要的是盡可能多的數(shù)學(xué)實踐，以利于認(rèn)知圖式的確認(rèn)和再造。學(xué)生在進入真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之前，需要有一個合理的認(rèn)知框架，也就是說，他們在探索數(shù)學(xué)之前，已經(jīng)有了一些關(guān)于數(shù)學(xué)的正確認(rèn)識，不然，學(xué)生只能使用他能想到的應(yīng)對策略，反復(fù)用不一定能勝任的模式來應(yīng)對學(xué)習(xí)壓力與挑戰(zhàn)，哪怕這些應(yīng)對方式已經(jīng)無數(shù)次被現(xiàn)實檢驗為錯誤的方法。

三、從認(rèn)知圖式理論走向數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐策略

北外附校林衛(wèi)民校長說過，一些教師沒有從教學(xué)的復(fù)雜性本質(zhì)特征來研究和把握課堂教學(xué)，一線教師的教學(xué)困惑主要源自教育工作本質(zhì)的復(fù)雜性。不可否認(rèn)，即使面對諸多鮮活的生命，一些教師依然會把全班學(xué)生視為完全一樣的“內(nèi)存條”，用幾乎完全一樣的指令，讓認(rèn)知圖示各異的學(xué)生個體去穿越充滿眾多險阻的數(shù)學(xué)原始森林，導(dǎo)致只能表面達成教學(xué)目標(biāo)。每個教師都遭遇過這樣的情形：面對一道數(shù)學(xué)綜合題，當(dāng)自己聲嘶力竭、傾己所能進行講授時，教室里可能毫無生機，格格不入的學(xué)生無處不在，教與學(xué)之間充滿混亂和痛苦。有識之士早已指出，教學(xué)改革不能局限在具體的技術(shù)層面。認(rèn)知圖式理論為我們的數(shù)學(xué)教育提供了一個全新的理論視角和具有可操作性的解決方案。從理論走向?qū)嵺`并非易事，需要教師們遵循一些原則，靈活應(yīng)用一些策略。

1.無條件支持個人思考。

通常學(xué)生考好了，教師就給予表揚；學(xué)生考砸了，教師就提出批評。教師對學(xué)生的喜歡是有條件的，就是學(xué)生要快速地學(xué)會教師所教的方法，而不是他們誤打誤撞思考出來東西。有時候教師也明白，問題的情境是變化的，教師所教知識的作用是有限的。但我們在不知不覺中，就營造和強化出這樣一種需要學(xué)生聽話的教育環(huán)境。教與學(xué)是一個發(fā)展共同體，教師的這一潛在要求自然會影響學(xué)生。他們稚嫩的、混亂的思考可能會被嘲笑、譏諷，甚至打擊，個人思考常稍做嘗試就停止了。如果教師教學(xué)能像父母看著孩子學(xué)走路一樣，對學(xué)生每一點的努力和嘗試，都投以贊許的目光，報以欣喜的神情，以一種無條件的支持來鼓勵學(xué)生做出思考，以很高的熱情來宣揚學(xué)生身上細微的進步之處，營造鼓勵個人獨特思考的班級氣氛，就很可能喚醒學(xué)生的內(nèi)在動力。

2.在有價值的地方進行深度思考。

學(xué)生常處于任務(wù)飽和的狀態(tài)，常忙著完成教師布置的具體作業(yè)，空閑時也可能會去做一些額外的習(xí)題，但就是不愿進行深度思考。教師需要在一些值得探究的、有思考價值的地方，引導(dǎo)學(xué)生進行深度思考。在實踐初期，教師可以通過師生對話的形式，這不僅有利于推動思維的深入，檢查思維的成效，也有利于學(xué)生學(xué)會正確的思考的視角和方法，收獲積極的體驗。

3.持續(xù)完善個人思維導(dǎo)圖。

思維導(dǎo)圖是一種很好的承載知識的組織形式。借助思維導(dǎo)圖，學(xué)生可以將數(shù)學(xué)的思想、概念、具體方法按其內(nèi)在聯(lián)系組合成一個整體，將數(shù)學(xué)的知識點串成線連成網(wǎng)，形成完整的體系。這樣，學(xué)生能夠在新情境下做出一個快速、自動、恰當(dāng)?shù)姆磻?yīng)。在學(xué)生初步能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)上，教師可以要求學(xué)生持續(xù)努力畫出某些方面的思維導(dǎo)圖，并最終建構(gòu)個人數(shù)學(xué)認(rèn)知圖式，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力。

數(shù)學(xué)教育更大的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，這是一個很困難的任務(wù)。而個人認(rèn)知圖式的建構(gòu)是解決這個任務(wù)的有效方式之一。只要我們堅持不懈地指導(dǎo)學(xué)生進行個人建構(gòu)，學(xué)生思維能力的提高便會有發(fā)生的可能。