程克玲

(呂梁學(xué)院汾陽(yáng)師范分校 數(shù)學(xué)與科學(xué)系，山西呂梁 032200)

以前我們熟知的實(shí)數(shù)的絕對(duì)值、復(fù)數(shù)的模、直覺空間中的向量的長(zhǎng)度都是范數(shù)的概念原型，在內(nèi)積空間中用內(nèi)積誘導(dǎo)出的一個(gè)范數(shù)是一類特殊的范數(shù)，它們確實(shí)反映了向量長(zhǎng)度的幾個(gè)基本幾何性質(zhì)，即非負(fù)性、齊次性以及三角不等式.[1]那么，在一般的線性空間中，也有類似的基本幾何性質(zhì).

1 向量p-范數(shù)的有關(guān)定理及證明

定理1[2]對(duì)于任意的x=(x1,x2,…,xn)T∈Cn,令

(1)

則‖x‖p是Cn中的一種向量范數(shù)，稱為p-范數(shù).

要證明向量的p-范數(shù)‖x‖p滿足向量范數(shù)的三個(gè)公理，需先證明以下結(jié)論：

引理1[3](Young不等式) 設(shè)實(shí)數(shù)p，q均大于1，則?a,b∈R,有

(2)

證若ab=0,結(jié)論顯然成立.當(dāng)ab≠0時(shí)，構(gòu)造函數(shù)

(3)

由φ′(τ)=τp-1-τ-(q+1)可知，當(dāng)0<τ<1時(shí)，φ′(τ)≤0;當(dāng)1≤τ<+時(shí)，φ′(τ)≥0,因此φ(τ)≥φ(1)=1,取代入式(2)，有

(4)

因此

結(jié)論得證.

(5)

證當(dāng)xk,yk中至少有一個(gè)不為0時(shí)，結(jié)論顯然成立.當(dāng)xk不全為0，yk也不全為0時(shí)，由引理1，有

(6)

于是有

定理3[3](Minkowski不等式) 任取x,y∈Cn,則?p≥1，有

(7)

證當(dāng)p=1時(shí)，式(7)顯然成立.當(dāng)p>1時(shí)，設(shè)q為p的共軛指數(shù)，于是

(8)

式(8)右端兩項(xiàng)各用Holder不等式得

(9)

Holder不等式與Minkowski不等式是泛函分析中的兩個(gè)基本不等式，在向量的范數(shù)中也有其相應(yīng)的表達(dá)形式.它對(duì)有限或無(wú)限維空間均成立，且有離散及連續(xù)兩種類型.[4]下面證明定理1.

(1)正定性.顯然‖x‖p≥0,而x≠0時(shí)至少有一個(gè)分量不為0，因此‖x‖p>0.

(2)齊次性.?k∈C,?x=(x1,x2,…,xn)T∈Cn,有

(3)三角不等式.由Minkowski不等式，有

于是

‖x+y‖p=‖x‖p+‖y‖p

因此，‖x‖p是Cn中的一種向量p-范數(shù).

2 向量范數(shù)的等價(jià)性

定義1[5]設(shè)V是有限維線性空間，‖x‖α與‖x‖β是V中任意兩種范數(shù)，若存在正數(shù)k1及k2，使得對(duì)任意的x∈V,有

k1‖x‖β≤‖x‖α≤k2‖x‖β

(10)

稱‖x‖α與‖x‖β等價(jià).

引理2n維向量空間V中的任一向量x的范數(shù)都是其坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù).

證設(shè)V是n維線性空間，e1,…,en為V中的一組基，則對(duì)于任意的x∈V有唯一表達(dá)式

x=(ξ1e1,…,ξnen)=(e1,…,en)ξ

(11)

|φ(ξ1,…,ξn)-φ(η1,…,ηn)|= |‖x‖-‖y‖|≤‖x-y‖=

(12)

定理4 有限維線性空間中的任意兩種范數(shù)都是等價(jià)的.

(13)

此為Cn中的一個(gè)單位超球面，且S上無(wú)零點(diǎn).

(14)

(15)

其中，ξ為x的坐標(biāo)向量.

k1‖x‖β≤‖x‖α≤k2‖x‖β

向量范數(shù)的等價(jià)性在研究向量序列收斂問題時(shí)表現(xiàn)出了一致性，即有關(guān)按‖?‖α收斂的性質(zhì)，按‖?‖β也相應(yīng)成立.

3 向量序列的收斂性

(16)

向量序列不收斂時(shí)稱為發(fā)散的.

定理6Cn中向量序列{x(k)}收斂于向量x的充分必要條件是，對(duì)于Cn上任一向量范數(shù)，都有

(17)

證由范數(shù)的等價(jià)性，只要對(duì)‖?‖證明即可.

xi(k)-xi→0,i=1,2,…,n

因此

‖x(k)-x‖→0

即

因此

xi(k)-xi→0,i=1,2,…,n,k→+

即

4 結(jié)語(yǔ)

本文在一般向量范數(shù)概念的基礎(chǔ)上，引入了向量的p-范數(shù)的概念，并借助Young不等式、Holder不等式和Minkowski不等式對(duì)向量p-范數(shù)的相關(guān)結(jié)論給與了證明.本文證明了有限維線性空間中的任意兩種范數(shù)都是等價(jià)的結(jié)論，并對(duì)向量序列的收斂性進(jìn)行了探討.