趙曉月，趙立純,，劉靜娜，王 歡

(1.遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧大連 116029;2.鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,遼寧 鞍山 114007)

群居有利于物種的生長和存活，但過分稀疏和過分擁擠都可阻礙其生長，從而對物種的生長繁殖產(chǎn)生副作用，每一物種都有自己最適宜的密度，這就是所謂的Allee效應(yīng)[1].植物、哺乳動物、海洋無脊椎動物等產(chǎn)生Allee效應(yīng)現(xiàn)象,該現(xiàn)象一直是生態(tài)學(xué)和保護(hù)生物學(xué)的一個研究熱點.近年來，具有Allee效應(yīng)的物種捕食模型被廣泛研究.魏雪瑩等人研究了麥蚜種群模型的突變控制，利用控制器使麥蚜種群的數(shù)量下降[2].李文霞、許洪建等人建立了食餌含Allee效應(yīng)的最優(yōu)捕獲模型，利用Pontryain最大值原理確定了最優(yōu)捕獲策略[3].付曉閱、劉超等人建立了具有Allee效應(yīng)的食餌-捕食模型，分析了各平衡點的局部漸近穩(wěn)定性，通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)分析了平衡點的全局漸近穩(wěn)定性[4].上述文章從理論上對具有Allee效應(yīng)的捕食-食餌模型進(jìn)行分析和研究，而在麥蚜生態(tài)系統(tǒng)的應(yīng)用很少見.因此本文將具有Allee效應(yīng)的麥蚜種群作為食餌得到麥蚜種群的捕食模型，借助微分方程定性理論和Hopf分岔理論[5,6],對平衡點的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，然后通過狀態(tài)反饋控制消除Hopf分岔抑制了麥蚜種群的突變現(xiàn)象.

1 模型建立

考慮具有Allee效應(yīng)的logistic模型[7]

(1)

其中，x為種群密度，r為種群的內(nèi)稟增長率，K為其環(huán)境容納量，A為其閾值密度.

(2)

其中，0

食餌-捕食模型中，食餌種群可能受自身繁殖或被捕食者的影響而具有Allee效應(yīng).當(dāng)食餌種群具有Allee效應(yīng)時，食餌-捕食模型可能失去穩(wěn)定性而產(chǎn)生突變現(xiàn)象.由于麥蚜種群會產(chǎn)生突變現(xiàn)象從而可以用Allee效應(yīng)刻畫麥蚜種群的增長.在logistic模型[8]的基礎(chǔ)上得到模型如下：

(3)

設(shè)y(t)表示t時刻麥蚜天敵種群的密度，d為麥蚜天敵種群的死亡率，結(jié)合模型(3)得麥蚜種群食餌-捕食模型

(4)

其中，b是天敵種群的捕食率，c是轉(zhuǎn)化系數(shù)，a,b,c,d均為正數(shù).

轉(zhuǎn)化系數(shù)c在麥蚜種群中起著重要作用，因此視其為模型(4)中Hopf分岔分析的主要參數(shù).隨后對模型(4)進(jìn)行定性分析.

2 模型分析

為了方便起見，令

f(x,y)=x[a(k-x)(x-k0)]-bxy，g(x,y)=cxy-dy，

則模型(4)變?yōu)?/p>

(5)

下面討論各個平衡點的穩(wěn)定性：

相應(yīng)的特征方程為

特征根為

且

3 控制器設(shè)計

(6)

對模型(6)，如果自然界中的天敵種群不能達(dá)到調(diào)節(jié)麥蚜種群密度的目的，可以通過人工捕獲麥蚜的方式控制麥蚜種群密度.相應(yīng)的控制模型如下：

(7)

其中，k1是人工捕獲麥蚜種群的捕獲效率.

相應(yīng)的特征根為

根據(jù)Hopf分岔理論，得如下定理1.

從而可得

(8)

根據(jù)式(8)可知，隨著捕食效率k1的增大，模型(7)的轉(zhuǎn)化數(shù)c將增大，即Hopf分岔的臨界點將延后，由于轉(zhuǎn)化系數(shù)c的改變使得麥蚜種群的增長速度漸緩，即使有Hopf分岔引起的突變現(xiàn)象發(fā)生，但其發(fā)生的時間延遲.綜合上述得如下定理2.

定理2對模型(7)，如果控制

4 數(shù)值仿真

對定理1，取k0=100,k=2 900,a=0.000 01,b=7,c=0.000 1,d=0.15,得狀態(tài)反饋控制增益k1=0.8，其時間響應(yīng)圖見圖1.

圖1 定理1 中模型控制前后時間響應(yīng)圖

比較圖1中的兩圖可以看出，通過人工捕獲不僅消除麥蚜的突變現(xiàn)象，而且使麥蚜生態(tài)系統(tǒng)中的麥蚜種群數(shù)量保持在不損害作物的水平.

對定理2，取k0=100,k=2 900,a=0.000 01,b=5,c=0.000 2,d=0.3,得狀態(tài)反饋控制增益k1=7.2,其相應(yīng)的時間響應(yīng)圖見圖2，圖3.

圖3 定理2中模型控制后時間響應(yīng)圖

比較圖2和圖3的局部圖，對于控制前的麥蚜生態(tài)系統(tǒng)，在t≈5時蚜蟲種群開始出現(xiàn)Hopf分岔導(dǎo)致的突變現(xiàn)象；對于控制后的麥蚜生態(tài)系統(tǒng)，在t≈10時蚜蟲種群開始出現(xiàn)Hopf分岔導(dǎo)致的突變現(xiàn)象.這說明通過人工捕獲可以使突變現(xiàn)象發(fā)生延遲，這對于處在灌漿期的麥田生態(tài)系統(tǒng)有著重要的意義.

本文采用兩種控制方法，使麥蚜種群的突變現(xiàn)象消失.由仿真結(jié)果可知定理1的控制效果比定理2的控制效果好，但是在具體實施的過程中外界因素可能會對控制產(chǎn)生影響，所以要根據(jù)具體情況采用不同的方法進(jìn)行控制.