黃小琴， 陳 力

（1.福州大學(xué) 機械工程及自動化學(xué)院，福州350116；2.福建省高端裝備制造協(xié)同創(chuàng)新中心，福州350116）

1 引 言

空間機械臂作為航天領(lǐng)域的關(guān)鍵技術(shù)之一，能夠協(xié)助或代替宇航員完成極端空間環(huán)境中的一些艙外活動，如維護和修理故障衛(wèi)星以及補給航天飛行器的物資等，對航天技術(shù)的進步發(fā)揮著愈來愈重要的作用，因此其系統(tǒng)動力學(xué)與控制問題的研究受到密切關(guān)注［1－5］。文獻［6］描述了空間機械臂在時間延遲工況下，笛卡爾空間軌跡跟蹤的控制方法。文獻［7］研究了空間機器人系統(tǒng)捕獲目標(biāo)衛(wèi)星時的沖擊影響及隨后的穩(wěn)定控制問題。

死區(qū)、摩擦及飽和等非線性現(xiàn)象存在于空間機械臂執(zhí)行機構(gòu)的動力傳遞鏈中，這些現(xiàn)象大部分是未知且時變的，對控制精度造成很大的影響。其中，關(guān)節(jié)力矩輸出死區(qū)作為一種重要的非線性現(xiàn)象，已經(jīng)成為高精度傳動控制的一個重點研究內(nèi)容。但以往的研究往往沒有考慮關(guān)節(jié)力矩輸出死區(qū)對空間機械臂系統(tǒng)控制的影響，如果不能消除關(guān)節(jié)力矩輸出死區(qū)的影響，除了會影響跟蹤誤差外，系統(tǒng)還會產(chǎn)生極限環(huán)振蕩，導(dǎo)致性能下降或不穩(wěn)定，從而無法完成空間任務(wù)。因此，研究帶有關(guān)節(jié)力矩輸出死區(qū)的空間機械臂具有重要的現(xiàn)實意義。在地面基機器人的控制研究中，已有學(xué)者考量了死區(qū)的效應(yīng)［8－11］。文獻［12］采用了基于 RBF的前饋網(wǎng)絡(luò)補償系統(tǒng)的非線性耦合控制；文獻［13］設(shè)計了一種用于死區(qū)參數(shù)修正的智能補償滑?？刂品椒?；文獻［14］結(jié)合死區(qū)觀測器，研究了遞歸小腦網(wǎng)絡(luò)控制器。同時，空間機械臂不可避免地會受到運動噪聲、太陽風(fēng)和宇宙射線等干擾因素的影響。綜上，關(guān)節(jié)力矩輸出死區(qū)與外部干擾都必須在研究中加以考慮。

本文在前述研究的基礎(chǔ)上，針對帶有關(guān)節(jié)力矩輸出死區(qū)及外部干擾的空間機械臂系統(tǒng)建立動力學(xué)方程。通過構(gòu)造關(guān)節(jié)力矩輸出死區(qū)的模型和積分切換函數(shù)，借助增廣變量法，提出一種積分滑模神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制算法。在死區(qū)斜率與邊界參數(shù)不確定及最優(yōu)逼近誤差上確界未知的條件下，利用最優(yōu)逼近誤差、死區(qū)及干擾的補償項來克服各自的影響。穩(wěn)定性分析和仿真實驗表明本文控制方法有效。

2 系統(tǒng)動力學(xué)模型

圖1為自由漂浮的雙桿空間機械臂系統(tǒng)，根據(jù)第二類拉格朗日方程，可以得到其載體位置和姿態(tài)都不受控的動力學(xué)方程［6］：

式中 D（q）∈R3×3為對稱正定的質(zhì)量矩陣，H（q，∈R3為包含科氏力和離心力的列向量，τd∈R3為外部擾動列向量，τ∈R2為機械臂兩關(guān)節(jié)鉸控制力矩τ1和τ2組成的列向量，q∈R3為載體姿態(tài)角α0及關(guān)節(jié)角θ1和θ2組成的廣義坐標(biāo)向量。

3 關(guān)節(jié)力矩輸出死區(qū)及其基本性質(zhì)

對于很多物理裝置，在輸入的大小達到某個特定值之前，其輸出為0。這種輸入-輸出關(guān)系稱為死區(qū)。從反饋控制的觀點出發(fā)，死區(qū)可認為是信息丟失?？臻g機械臂系統(tǒng)的關(guān)節(jié)力矩輸出可能含有死區(qū)特性。本文考慮如圖2所示的典型的死區(qū)模型［15］，死區(qū)輸入為ur（t）＝ ［ur1（t），ur2（t）］T，輸出為τ。

式中di－和di＋，mli和mri分別為死區(qū)的左右斷點與左右斜率，設(shè)定mri＝mli＝mzi。死區(qū)參數(shù)di－，di＋和mzi為有界不確定量，且di＋＞0，di－＜0，mzi＞0。

把死區(qū)模型改寫為

式中

cri（uri）≤βi，其中βi是有界的。

圖1 漂浮基雙桿空間機械臂系統(tǒng)Fig.1 Free-floating space robot system

圖2 關(guān)節(jié)力矩輸出死區(qū)模型Fig.2 Joint torque output model with the dead-zone

4 抗關(guān)節(jié)力矩輸出死區(qū)及外部干擾的積分滑模神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制

4.1 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其函數(shù)逼近

徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種三層網(wǎng)絡(luò)，通過局部逼近的總和來實現(xiàn)全局逼近［16］。對各類強非線性函數(shù)具有良好的逼近能力，能夠以任意精度逼近連續(xù)非線性函數(shù)，且具有學(xué)習(xí)速度快和能避免局部極小問題的優(yōu)點。因此，本文采用此類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行控制器設(shè)計，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖3所示。

用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近系統(tǒng)輸出f（x），即

式中 x＝［x1，x2，…，xr］T為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的輸入，χ（x）＝［χ1，χ2…，χn］T為基函數(shù)列向量，UT＝［uij］（i＝1，…，l；j＝1，…，n）為網(wǎng)絡(luò)權(quán)值矩陣，y＝［y1，y2…，yl］T為輸出列向量。

采用的基函數(shù)為高斯函數(shù)，則χ（x）的元素可表示為

式中cj為第j個基函數(shù)的中心位置參數(shù)，σj為第j個基函數(shù)的寬度參數(shù)。

4.2 控制器設(shè)計

設(shè)計空間機械臂的控制方案時，對載體的位置和姿態(tài)都不施加控制，可減少能源的損耗，延長其工作壽命。

此時，系統(tǒng)控制輸出為qr＝［θ1θ2］T，而q∈R3。顯然，該控制輸出向量的維數(shù)小于后者，從而難以繼續(xù)利用式（1）及其相關(guān)性質(zhì)進行后面相關(guān)控制器設(shè)計。為此，本文引入增廣變量思想來解決這一難點。

將式（3）代入式（1），將其寫為狀態(tài)方程的形式為

圖3 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)三層結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Three-layer radial basis function neural network

式中 x1＝q，x·1＝x2＝q·，N＝D－1（x1）u（t），g（x1，x2）＝－D－1（x1）H（x1，x2）x2為未知的有界連續(xù)函數(shù)，h（x1，x2，t）＝－D－1（x1）［c（u）－τd］為系統(tǒng)的外來干擾和死區(qū)特性，c（u）＝［0，crT（u）］T為執(zhí)行機構(gòu)的死區(qū)特性，mz＝diag（0，mz1，mz2）為死區(qū)斜率矩陣，u＝［0，urT］T為增廣關(guān)節(jié)力矩死區(qū)輸入。

設(shè)期望輸出為qrd＝［θ1d，θ2d］T，則增廣期望輸出為qd＝［α0d，］T，那么增廣誤差為

式中er＝qr－qrd＝［（θ1－θ1d） （θ2－θ2d）］T＝［e1e2］T

控制目標(biāo)是設(shè)計關(guān)節(jié)力矩控制律N，讓兩關(guān)節(jié)的qr穩(wěn)定地跟蹤qrd。

定義具有積分的增廣切換函數(shù)：

式中

常數(shù)kvi＞0。

定義光滑函數(shù)為Yφ（t）＝φT（t）Γφ（t）

式中 Γ＝diag［0 1／mz11／mz2］

對Yφ（t）關(guān)于時間t求導(dǎo)可得

因為g（x1，x2）和死區(qū)斜率未知，則y（z）未知，根據(jù)前述神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)式（5）來逼近y（z），設(shè)y（z U）為y（z）的一個逼近，即

式中 UT＝［uij］（i＝1，…，n；j＝1，…，m）為網(wǎng)絡(luò)權(quán)值矩陣，χ（z）＝［χ1，…，χm］T為基函數(shù)列向量，m為基函數(shù)中心點個數(shù)，y＝［y1，…，yn］T為輸出列向量。

χ（z）的元素為高斯基函數(shù)，可表示為

U＊為U的最優(yōu)值，并滿足

式中 ΩU＝ ｛U‖U‖≤MU｝，設(shè)計參數(shù)MU為正的有界常數(shù)，Ωz＝ ｛（xT，ρ）T‖x‖≤Mx｝，Mx＞0。

令

式中ε∈R3為最優(yōu)逼近誤差，‖εi‖≤εyi，εyi為正常數(shù)。

由式（9～12），可得

式中 ‖hi（x1，x2，t）‖≤Ξi，Ξi為已知的正連續(xù)函數(shù)。

設(shè)計如下控制律，

式中 kN∈R3×3為正的設(shè)計參數(shù)，Γm＝diag［0，1／mz1min，1／mz2min］，mzimin為死區(qū)斜率 mzi的最小值，和分別為U＊和εy在t時刻的估計值。

定理 對于式（6）所示的系統(tǒng)，采用式（15）的關(guān)節(jié)力矩控制規(guī)律及如下參數(shù)自適應(yīng)調(diào)節(jié)率，

將使積分切換函數(shù)φ有界，且軌跡跟蹤誤差收斂到0。式中 λr＝diag［λr0λr1λr2λr3λr4］和λy＝diag［λy0λy1λy2］為正定自適應(yīng)調(diào)節(jié)矩陣，F(xiàn)u和Fε為正常數(shù)，abs（φ）為列向量φ中每一項取絕對值。

證明 構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)：

式中

V對時間t求一階導(dǎo)為

將式（13）代入式（18），即

將‖εi‖≤εyi和‖hi（x1，x2，t）‖≤Ξi代入式（19），得

利用不等式

代入不等式（21），得

可得

不等式兩邊同乘ect，并從［0，t］積分可得

式中 b＝δ／c＋V（0）。

因此，V有界，從而φ也有界。選取合適的數(shù)值，將使δ／c充分小。因此，跟蹤誤差收斂到0的某個小鄰域內(nèi)，定理得證。

5 仿真算例

為驗證前述所設(shè)計控制算法的有效性，采用如圖1所示模型進行驗證。取系統(tǒng)慣性參數(shù)l0＝1.5 m，l1＝l2＝1m，m0＝40kg，m1＝2kg，m2＝1kg。中心慣量矩J0＝34.17kg·m2，J1＝J2＝1.5kg·m2。

選取qrd為

系統(tǒng)的外部干擾取為

仿真時，系統(tǒng)參數(shù)矩陣選擇如下，

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)徑向基函數(shù)的參數(shù)取值：基函數(shù)的個數(shù)j＝5，基函數(shù)的中心位置參數(shù)cj根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入的范圍取值，其寬度σj設(shè)置為5。

死區(qū)參數(shù)為d1－＝d2－＝－10，d1＋＝d2＋＝10，mz1＝mz2＝1，mz1min＝mz2min＝0.85。

仿真初始值q（0）＝［3 0.5 1.5］T，（0）取0～0.1的隨機數(shù)，（0）＝［000］T。

仿真時間取t＝10s。圖4和圖5分別為采用積分滑模神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制算法得到的存在關(guān)節(jié)力矩輸出死區(qū)與外部干擾的空間機械臂兩關(guān)節(jié)鉸的qr與qrd及其跟蹤誤差的對比情況，其中圖4還顯示了載體姿態(tài)的軌跡變化?？梢钥闯觯刂扑惴m然沒有控制載體姿態(tài)，但其姿態(tài)變化平穩(wěn)；兩關(guān)節(jié)鉸的qr能很好地跟蹤上qrd，在t＝4s之后基本消除誤差，具有較高的跟蹤精度。

為對比控制方法的有效性，圖6給出了關(guān)閉死區(qū)補償控制器后，空間機械臂兩關(guān)節(jié)鉸的實際運動與期望軌跡變化仿真?？梢钥闯觯P(guān)閉死區(qū)補償，兩關(guān)節(jié)鉸無法跟蹤qrd。

圖4 開啟死區(qū)補償器時的軌跡跟蹤圖Fig.4 Trajectory tracking of the space manipulator

圖5 開啟死區(qū)補償器時兩關(guān)節(jié)鉸的軌跡跟蹤誤差圖Fig.5 Trajectory error tracking of the two joints（open dead-zone compensation）

圖6 關(guān)閉死區(qū)補償器時兩關(guān)節(jié)鉸的軌跡跟蹤圖Fig.6 Trajectory tracking of the two arms’joints（closed dead-zone compensation）

6 結(jié) 論

本文針對空間機械臂存在關(guān)節(jié)力矩輸出死區(qū)及外部干擾的情況，建立了帶有外部干擾的動力學(xué)方程。通過構(gòu)造關(guān)節(jié)力矩輸出死區(qū)的模型，設(shè)計了一種積分滑模神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制方法。具有積分的切換函數(shù)減小了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差；利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近了動力學(xué)方程的未知部分；在死區(qū)斜率與邊界參數(shù)不確定及最優(yōu)逼近誤差上確界未知的條件下，利用最優(yōu)逼近誤差、死區(qū)及干擾的補償項來消除各自的影響；構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)并證明了閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。