孫 波

（中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，武漢430063）

1 引 言

飽和多孔介質(zhì)波動(dòng)方程［1，2］于20世紀(jì)50年代Biot提出以來(lái)，得到廣大學(xué)者的關(guān)注和認(rèn)可，成為飽和地基土動(dòng)力學(xué)研究的基礎(chǔ)。Biot理論包含了彈性力學(xué)部分和動(dòng)力學(xué)部分。其中，彈性力學(xué)部分比均勻各向同性固體多兩個(gè)彈性參數(shù)，這兩個(gè)參數(shù)分別代表流體的彈性與兩相介質(zhì)（彈性介質(zhì)和流體介質(zhì)）間的彈性相互作用；動(dòng)力學(xué)部分采用兩個(gè)相互耦合的矢量方程來(lái)描述。Biot根據(jù)波動(dòng)方程預(yù)測(cè)飽和多孔介質(zhì)中存在三種體波，即P1波、P2波以及S波。其中P2波在各向同性彈性介質(zhì)中不存在。該預(yù)測(cè)在Biot理論提出之初引起了部分學(xué)者的懷疑，但是20多年后得到實(shí)驗(yàn)室證實(shí)［3］。從Biot的開(kāi)創(chuàng)性工作至今，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者從不同角度對(duì)該問(wèn)題做過(guò)研究。Ishihara［4］做了簡(jiǎn)化近似分析，嘗試給出飽和土中彈性波速度的實(shí)用公式；文獻(xiàn)［5，6］試圖給出具有更確切含義的參數(shù)，以克服Biot理論中參數(shù)物理意義不明確的缺陷。

我國(guó)東南沿海地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)，基礎(chǔ)建設(shè)增長(zhǎng)很快，但同時(shí)廣泛分布著飽和地基土，飽和地基土的工程力學(xué)特性差，易引發(fā)工程事故。特別是近年來(lái)，隨著高速鐵路和地鐵的蓬勃發(fā)展，飽和土地基在交通荷載作用下引起了越來(lái)越多的工程問(wèn)題，威脅著人民生命財(cái)產(chǎn)安全，并帶來(lái)了巨大的經(jīng)濟(jì)損失。所以近年來(lái)，飽和地基土在交通荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題越來(lái)越受到關(guān)注，許多國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了理論和試驗(yàn)研究。文獻(xiàn)［7，8］最早開(kāi)始研究多孔彈性介質(zhì)在移動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)，但只考慮了土骨架，沒(méi)有考慮孔隙水的作用，不能算做完全意義上的飽和地基。Lu等［9］通過(guò)方程轉(zhuǎn)化得到了移動(dòng)點(diǎn)荷載作用下的響應(yīng)解析解。胡安峰等［10］通過(guò)函數(shù)傅里葉變換和傅里葉逆變換得到了下臥基巖飽和半平面在移動(dòng)荷載作用下的解析解，并利用數(shù)值技術(shù)分析了波在時(shí)間-空間域的特性。孫宏磊等［11］在其他條件類(lèi)似的情況下，更近一步研究了橫觀各向同性飽和土體的彈性波。金波等［12，13］研究了飽和半空間波的傳播問(wèn)題，給出了位移、應(yīng)力以及孔隙水壓力的解析解。Cai等［14］研究了移動(dòng)矩形荷載作用下飽和土體的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題。綜上所述，目前飽和多孔介質(zhì)在移動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題，研究文獻(xiàn)較多。但是大部分文獻(xiàn)均是通過(guò)變換獲得了半解析解，對(duì)頻率-波數(shù)域以及時(shí)間-空間域的波動(dòng)特性和頻譜成分研究卻很少。實(shí)際上，在工程應(yīng)用中，這些特性反而是最重要和最值得關(guān)注的。本文針對(duì)這些特性進(jìn)行研究，以指導(dǎo)工程的設(shè)計(jì)以及施工。

2 控制方程

Biot在飽和多孔介質(zhì)波動(dòng)方程中，考慮了土骨架以及流體之間的慣性相互作用，但是此項(xiàng)ρa(bǔ)占比很小且實(shí)驗(yàn)有難度，所以之后的大多數(shù)研究將此項(xiàng)忽略不計(jì)。此時(shí)Biot方程可以簡(jiǎn)化為

式中 wi為流體相對(duì)于彈性介質(zhì)的位移，ui為彈性介質(zhì)部分的位移；λ和μ為飽和多孔介質(zhì)的Lame常數(shù)，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定；（·）和（··）為方程對(duì)時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；α和M為考慮兩相材料壓縮性的Biot常數(shù)；ρ＝nρf＋（1－n）ρs，n為土的孔隙率，ρs和ρf分別為彈性介質(zhì)和流體的密度；m＝ρf／n，b表征彈性介質(zhì)和空隙流體的內(nèi)部摩擦力，一般情況下均忽略，取b＝0，則方程可以簡(jiǎn)化為

式中 δij為 Kronecker delta符號(hào)；θ＝ui，i和ζ ＝－wi，i分別為彈性介質(zhì)以及流體的體積應(yīng)變；p和σij分別為流體壓力和總應(yīng)力分量。

位移矢量ui和wi（i＝1，2）可以用6個(gè)勢(shì)函數(shù)

將式（5a，5b）代入式（1，2），可得

為了求解此方程，利用Fourier變換：

對(duì)方程（6）進(jìn)行 Fourier變換，得到關(guān)于1，2，φj（j＝1，2）和Φj（j＝1，2）在波數(shù)-頻率域的常微分方程，求解后得到，

式中 ｛Δ｝＝｛A B C D E F｝T

當(dāng)巖層分布較深，可把上部地基考慮成半空間，此時(shí)｛R（z）｝的正指數(shù)項(xiàng)不存在。即｛R（z）｝＝

此時(shí)｛Δ｝由6個(gè)參數(shù)減少為4個(gè)，即｛Δ｝＝｛A B C D｝T。

3 方程求解

工程中經(jīng)常將大范圍的地基簡(jiǎn)化為半空間，從而使邊界條件容易確定。移動(dòng)荷載作用下的飽和半空間可以簡(jiǎn)化為圖1所示。移動(dòng)荷載假設(shè)為矩形荷載（荷載長(zhǎng)為2a，寬為2b，大小為F，速度為c，頻率為ω0）。t＝0代表移動(dòng)荷載移動(dòng)到x＝0和y＝0處。此時(shí)邊界條件如下，

根據(jù)上述邊界條件，方程（8）的解為

4 動(dòng)力響應(yīng)特性分析

4.1 波的彌散特性

圖1 飽和半空間Fig.1 Saturation half space schematic

r4和r5中的 （λe＋2μe）／ρe和μe／ρe分別為彈性介質(zhì)中的P波波速和S波波速的平方。另外，將式（11）的分母定義為

令Δ＝0，得到

另外，Rayleigh波是面波，則η＝0，式（13）可簡(jiǎn)化為

式（14）即為彈性介質(zhì)的Rayleigh方程。另外從上述分析可知，彈性介質(zhì)的P波、S波和Rayleigh波都與頻率無(wú)關(guān)，不存在彌散性。

同理，飽和方程中的指數(shù)項(xiàng)因子r1，r2和r3中L1，L2和S表達(dá)式分別為飽和土P1波、P2波和S波的復(fù)波數(shù)?？梢钥闯?，飽和土中的P1波、P2波和S波都是頻率相關(guān)函數(shù)。

將式（8）中飽和土的分母定義為Δ，并令η＝0，則經(jīng)整理后，

式（15）代表飽和多孔介質(zhì)的R波方程，也是頻率相關(guān)函數(shù)。

為了給出彌散曲線，飽和土和移動(dòng)荷載賦值列入表1。

表1 飽和土及移動(dòng)荷載相關(guān)參數(shù)Tab.1 Parameters of a soil

飽和地基中P1波、P2波、S波和R波的彌散曲線分別如圖2～圖4所示，其中fc＝nb／（2πρf）。可以看出，P1波、P2波、S波和R波這幾種飽和土波的波速均是f／fc相關(guān)聯(lián)函數(shù)，隨頻率而變動(dòng)，即這幾種波均存在彌散性。

對(duì)P2波（慢縱波）這種飽和土獨(dú)有的體波來(lái)說(shuō)，波速隨著頻率的增加而逐漸增加，彌散性明顯。在頻率較小時(shí)，P2波波速很小，可以忽略。分析波動(dòng)方程，發(fā)現(xiàn)此時(shí)飽和土的滲透性小，孔隙流體與土骨架兩相介質(zhì)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)很小。此時(shí)，土骨架-流體二相介質(zhì)可以當(dāng)做單相彈性介質(zhì)。在f／fc超過(guò)一定值后 （log（f／fc）≥10），P2波波速基本保持不變，此時(shí)飽和土的滲透性好，彈性耦合和慣性耦合作用明顯，兩相介質(zhì)特性明顯。

圖2 P1波（快縱波）的彌散曲線Fig.2 Wave dispersion curve of P1

圖3 P2波（慢縱波）的彌散曲線Fig.3 Wave dispersion curve of P2

圖4 S波和R波的彌散曲線Fig.4 Wave dispersion curve of Sand R

對(duì)于P1波、S波和R波來(lái)說(shuō)，波速呈明顯的階梯狀分布。在log（f／fc）＜0.1和log（f／fc）≥10時(shí)，波速基本保持不變。在log（f／fc）＝1附近時(shí)，波速發(fā)生了很明顯的跳躍式變化，彌散性明顯。所以fc可以定義為飽和土的特征頻率，工程中特征頻率尤為重要。

4.2 波的多普勒效應(yīng)

車(chē)由遠(yuǎn)而近鳴喇叭，聽(tīng)到的聲音越來(lái)越高；遠(yuǎn)去的車(chē)?guó)Q喇叭，聽(tīng)到聲音越來(lái)越低，此即聲波的多普勒效應(yīng)。地基中的彈性波也有這種現(xiàn)象。

依據(jù)Dirac’s函數(shù)和波的特性，得到

即ω＝ω0／（1±MR），為 Rayleigh波的多普勒效應(yīng)。其中MR＝c／cR，c為移動(dòng)荷載的速度。同理，P1波、P2波和S波分別對(duì)應(yīng)為MP1，MP2和MS。圖5形象表達(dá)了ω0＝0以及ω0＝100rad／s時(shí)波的多普勒效應(yīng)。可以看出，P1波的波速＞P2波的波速＞S波的波速＞R波的波速。當(dāng)荷載為移動(dòng)常值荷載 （ω0＝0），從圖5（a）可以看出，c＜cR時(shí)，表征移動(dòng)荷載的直線和幾種波沒(méi)有任何聯(lián)系，地基中沒(méi)有波的傳播；c＞cR時(shí)，此直線和R波有交點(diǎn)，地基中方才開(kāi)始有波傳播。荷載為移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載（ω0≠0）時(shí)的情況如圖5（b）所示?？梢钥闯?，即使荷載速度為0，也有波的傳播。

圖5 波的多普勒效應(yīng)Fig.5 Wave Doppler effect schematic diagram

4.3 波的成分分析

各類(lèi)波攜帶不同比例的能量，地基土在移動(dòng)荷載作用下引起的響應(yīng)均是由這些波疊加而成，在頻率-波數(shù)域中分析各類(lèi)波的組成。

圖6給出了ω＝400rad／s，MR分別為0，0.5，1.5和4時(shí)的頻率-波數(shù)域解的云圖?？梢钥闯觯琈R＝0時(shí)，荷載不移動(dòng)，各類(lèi)波從荷載作用點(diǎn)向外傳播，各波呈圓狀，圓的最外邊為速度最快的P1波，里面依次為P2波、S波和R 波；當(dāng)MR＝0.5時(shí)，荷載開(kāi)始移動(dòng)，云圖呈現(xiàn)橢圓狀，各波分量的大小和位置都發(fā)生了變化；MR＝1.5對(duì)應(yīng)于cR＜c＜cs，R波為雙曲線，P1波、P2波和S波仍為橢圓狀；MR＝4對(duì)應(yīng)于cs＜c＜cP2，R波和S波為雙曲線，P1波和P2波為橢圓，其他的情況依次類(lèi)推。

4.4 地基響應(yīng)頻率

對(duì)頻率-波數(shù)域的解式（8）進(jìn)行逆Fourier變換，并經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化得到時(shí)間-空間域的解為

圖6 ω＝400rad／s時(shí)的頻率-波數(shù)域云圖Fig.6 Cloud map in the wave number-frequency domain whenω＝400rad／s

該解包括位移、應(yīng)力以及空隙水壓力在x和z方向的分量。由于式（17）仍然是積分形式，當(dāng) ξ →∞時(shí)，被積函數(shù)衰減很快，所以可以截?cái)喾e分范圍。采用文獻(xiàn)［11］的方法，對(duì)式（17）進(jìn)行數(shù)值疊加，可以得到時(shí)間-空間域的數(shù)值解。

圖7分別給出了f0＝10Hz和f0＝20Hz時(shí)，地基表面振動(dòng)位移u 與2 MRt／ MR2－1之間的關(guān)系。可以看出，在MR＞1時(shí)，t＜0一側(cè)位移很小，這是因?yàn)閿y帶主要能量的Ralyleigh波速小于荷載移動(dòng)速度，造成Rayleigh波尚未傳播至此點(diǎn)。另外可以看出，圖7（a）的頻率為10Hz，圖7（b）的頻率為20Hz，與移動(dòng)荷載的頻率f0一致，所以地基表層的振動(dòng)頻率為

式（18）可以表示為

式中fbeh為向后傳播的Rayleigh波頻率，ffro為向前傳播的Rayleigh波頻率。方程（19）表明，在移動(dòng)荷載作用下，地基中會(huì)產(chǎn)生一類(lèi)向前傳播的Rayleigh波和一類(lèi)向后傳播的Rayleigh波；當(dāng)移

圖7 地基表面豎向位移與2 MRt／ MR2－1 的關(guān)系Fig.7 Relationship between vertical displacement and 2 MRt／ MR2 －1

動(dòng)荷載速度大于Rayleigh波速時(shí)，這兩類(lèi)Rayleigh波會(huì)在荷載作用點(diǎn)之后發(fā)生疊加，此時(shí)動(dòng)力響應(yīng)頻率f即為這兩種Rayleigh波頻率的疊加。Morse等［15］在研究空氣動(dòng)力學(xué)時(shí)也提出過(guò)類(lèi)似的表達(dá)式。

5 結(jié) 論

（1）相比彈性介質(zhì)，飽和地基中的波具有彌散性，飽和地基比彈性介質(zhì)多一種P2波。

（2）當(dāng)f0＝0，c＜cR時(shí)，飽和地基中沒(méi)有波的傳播；當(dāng)f0＝0，c≥cR時(shí)，地基中開(kāi)始有波傳播。

（3）P1波、S波和R波的波速隨頻率呈明顯的階梯狀分布。在log（f／fc）＜0.1和log（f／fc）≥10時(shí)，波速基本保持不變；在log（f／fc）＝1附近時(shí)，波速發(fā)生了跳躍性變化。所以fc可以定義為飽和土的特征頻率。P2波的波速隨著頻率的增加逐漸增加，彌散性明顯，在頻率較小時(shí)兩相介質(zhì)特性不明顯；在f／fc超過(guò)一定值后，P2波的波速基本保持不變，兩相介質(zhì)特性明顯。

（4）移動(dòng)荷載作用下，地基動(dòng)力響應(yīng)的振動(dòng)頻率為向前和向后傳播的Rayleigh波頻率的疊加，具體為 （2 MR／ MR2－1 ）f0。