祁武超， 劉 恒

（沈陽航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部，沈陽110136）

1 引 言

工程結(jié)構(gòu)反演問題的研究始于20世紀70年代，主要是為了更準確地了解飛機飛行過程中的受載情況［1］。工程結(jié)構(gòu)反演問題中，一般將動載荷分為確定性載荷和隨機載荷。最初，隨機動載荷的識別方法是基于直接求逆思想進行；隨后引進了譜分解的理論。Lin等［2］引入譜分解理論，將振動響應(yīng)的功率譜密度矩陣進行譜分解，然后通過構(gòu)造逆虛擬激勵計算得到逆虛擬諧波響應(yīng)，最后識別出隨機動載荷的功率譜密度矩陣。姜金輝等［3］根據(jù)譜分解理論，提出了多點任意相關(guān)的隨機動載荷識別方法。Jia等［4］分析了在隨機動載荷識別過程中誤差的來源及對結(jié)果的影響，并提出了一種考慮識別誤差的隨機載荷識別方法。

外載荷大多具有隨機性，工程結(jié)構(gòu)本身也有很大的不確定性。工程結(jié)構(gòu)的動載荷識別方法中，處理結(jié)構(gòu)不確定性的方法主要有概率模型和區(qū)間模型［5］。當工程結(jié)構(gòu)中的不確定性量具有充足的樣本信息時，使用概率模型是合理的。然而，工程結(jié)構(gòu)中能夠得到的不確定量信息往往較為貧乏。此時，若使用區(qū)間變量來描述結(jié)構(gòu)體系中的不確定性參數(shù)，工程反演問題將得到極大簡化。并且當工程結(jié)構(gòu)中含有不確定性量時，確定不確定性量包含的區(qū)間界值要比確定其統(tǒng)計約束更為容易［6］。

區(qū)間模型在不確定性結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)分析中的應(yīng)用已經(jīng)較為成熟，Qiu等［7，8］利用區(qū)間分析方法對不確定性結(jié)構(gòu)進行了動力學(xué)響應(yīng)分析。Jiang等［9］提出基于區(qū)間分析的不確定性反求方法，并將該方法用于復(fù)合材料層合板的材料參數(shù)識別中。Liu等［10］提出了一種將區(qū)間分析與正則化相結(jié)合的不確定性結(jié)構(gòu)的動態(tài)載荷識別方法。王曉軍等［11］基于格林函數(shù)提出了一種動載荷識別的區(qū)間方法。Xiao等［12］基于區(qū)間有限元與伴隨優(yōu)化，提出了一種結(jié)構(gòu)靜力參數(shù)載荷識別的區(qū)間方法。祁武超等［13］基于一階Taylor展開方法和區(qū)間數(shù)理論，提出了一種不確定性結(jié)構(gòu)簡諧激勵載荷的識別方法。

本文針對貧信息下的不確定性結(jié)構(gòu)隨機載荷識別問題，將不確定參數(shù)描述為區(qū)間變量，在頻域中，使用基于Taylor展開的區(qū)間分析方法處理結(jié)構(gòu)體系中的不確定因素，最后給出待識別隨機載荷的功率譜密度的區(qū)間界值。在頻域中，構(gòu)建頻響函數(shù)矩陣、載荷功率譜密度矩陣和響應(yīng)功率譜密度矩陣之間的傳遞關(guān)系，通過頻響函數(shù)矩陣求逆，計算各不確定性量抽樣點處的待識別載荷功率譜密度。

2 問題描述

對于一個n自由度系統(tǒng)，其振動微分方程通?？梢悦枋鰹橐粋€依賴結(jié)構(gòu)參數(shù)的線性方程，

式中 M，C，K∈Rn×n，F(xiàn) ∈Rn，u∈Rn，h∈Rm，且h為工程結(jié)構(gòu)中的參數(shù)向量，如材料密度和彈性模量等參數(shù)。通常情況下很難給出工程結(jié)構(gòu)參數(shù)的準確值。一般可以根據(jù)實驗方法給出結(jié)構(gòu)參數(shù)的上下界值，滿足

根據(jù)區(qū)間數(shù)學(xué)中的記法，可將約束條件式（2）記為

式中hI＝［h－，h＋］＝［］×，］×…×［］，h為區(qū)間參數(shù)向量，hi為區(qū)間參數(shù)變量。在式（1）所述的n自由度系統(tǒng)中，設(shè)置Ni個加載點，加載方式為平穩(wěn)隨機激勵，加載在位置p1，p2，…pNi處，平穩(wěn)隨機激勵力向量為

測量點的個數(shù)為No個，分別布置在l1，l2，…，lNO處。要對式（4）的隨機激勵力向量進行識別，需要通過實驗測得l1，l2，…，lNO處各測點的隨機響應(yīng)值，且一般要求Ni≤No。

由于隨機激勵有別于確定性激勵，所以一般不能對加載的隨機激勵直接進行載荷識別。在已知隨機激勵作用位置的條件下，通過響應(yīng)信息和結(jié)構(gòu)的傳遞特性來識別隨機激勵的功率譜密度。當式（4）為一個均方連續(xù)的平穩(wěn)隨機過程時，工程結(jié)構(gòu)的隨機激勵與隨機響應(yīng)之間的關(guān)系可表示為

在對式（5）進行載荷識別得到平穩(wěn)隨機激勵的譜密度矩陣的過程中，由于結(jié)構(gòu)參數(shù)具有不確定性，使得反演所得到的譜密度矩陣也具有不確定性。通常情況下，難以在式（3）確定的約束條件下直接反演式（5）的解集。解集合?？杀硎緸?/p>

對具有區(qū)間參數(shù)的工程結(jié)構(gòu)進行載荷識別的目的是找到一個包含Γ的最小區(qū)間SIFF（h，ω），并稱SI

FF（h，ω）為式（5）在式（3）所示約束下的區(qū)間界值。

3 確定性頻域隨機載荷識別方法

不確定性向量h∈hI的一個樣本h＝［h1，h2，…，hm］，可轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€確定性隨機載荷識別問題。記此時系統(tǒng)的第r階固有頻率、模態(tài)振型、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度和模態(tài)阻尼分別為ωr，r，mr，kr和ζr，并記模態(tài)矩陣為Φ，頻響函數(shù)矩陣為H（ω），則在頻域內(nèi)，隨機激勵fp（ω）對位置lj的頻響函數(shù)i為［14］

由頻響函數(shù)的物理意義可知，系統(tǒng)在lj處的位移由隨機激勵力fpi（ω）（i＝1，2，…，Ni）在lj處引起的位移疊加形成，有

對于隨機載荷頻域識別，由上文可知待識別載荷數(shù)為Ni，實測響應(yīng)數(shù)為No，則式（8）隨機激勵力與響應(yīng)之間的關(guān)系由功率譜密度函數(shù)表示為

式（9）可重寫為矩陣形式：

式中 SXX（ω）No×No和SFF（ω）Ni×Ni分別為實驗測得的各響應(yīng)間的功率譜密度矩陣和待識別各載荷間的功率譜密度矩陣。一般在進行載荷識別時，要求的測點個數(shù)多于待識別載荷數(shù)，即Ni≤No，所以式（10）中H（ω）為列滿秩，可使用各響應(yīng)的自功率譜密度來反演各激勵的自功率譜密度，

式中 上標＋為Moore-Penrose偽逆。

4 基于Taylor展開的區(qū)間分析

當系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)包含區(qū)間變量h時，則識別的各載荷間的功率譜密度也將包含不確定性影響，可將式（11）改寫為

將式（12）在區(qū)間向量h的中點向量h0處進行一階Taylor展開，得到

則有向量h0使式（14）的隨機載荷識別系統(tǒng)成立，

根據(jù)式（13）估算待識別隨機激勵力的功率譜密度的區(qū)間界值，還需求出SFF（h，ω）關(guān)于區(qū)間向量h在中值向量h0處的靈敏度 SFF（h0，ω）／ h，并且該靈敏度在工程結(jié)構(gòu)載荷反演過程中也是未知的。工程中常使用函數(shù)的差分代替微分，在此可使用式（15）計算靈敏度，

式中 δh為關(guān)于向量h的攝動，其中SFF（h0＋δh，ω）可通過式（12）計算得到，即

根據(jù)自然區(qū)間擴張定理［15］，可以得到所識別各載荷間的功率譜密度SFF（h，ω）的區(qū)間界值為

由區(qū)間數(shù)相等的充分必要條件，可得待識別各載荷間的功率譜密度SFF（h，ω）一階近似響應(yīng)函數(shù)的界值為

h0－h(huán)－＝h＋－h(huán)0為區(qū)間端點到區(qū)間中值的距離，記為Δh，稱為區(qū)間半徑向量，則式（18，19）可改寫為

上述非概率區(qū)間載荷識別方法在不確定性參數(shù)的名義值點處進行一階Taylor展開，則不確定性結(jié)構(gòu)隨機載荷識別問題變?yōu)椴淮_定性參數(shù)的名義值點處進行隨機載荷識別問題和計算載荷關(guān)于不確定性參數(shù)的靈敏度問題。當系統(tǒng)中的不確定性參數(shù)為m個時，此方法需要進行m＋1次原問題規(guī)模的識別過程。因此，相對于概率方法，區(qū)間方法不僅能在貧信息下有效地進行載荷識別，還能夠提高不確定性結(jié)構(gòu)載荷識別的計算效率。

5 數(shù)值算例

5.1 平面10桿桁架

圖1所示的平面10桿桁架結(jié)構(gòu)中，材料的彈性模量為E，質(zhì)量密度為ρ，截面積為A。在節(jié)點4處y方向施加一隨機激勵力，通過測量其他節(jié)點上的位移響應(yīng)信號，對節(jié)點4處的隨機激勵進行載荷識別。為驗證結(jié)果的正確性，在節(jié)點4處y方向施加一隨機激勵力，其自功率譜密度如圖2所示。然后，計算得到其他節(jié)點上位移響應(yīng)信號的功率譜密度。考慮結(jié)構(gòu)中有可用區(qū)間參數(shù)描述的不確定性量時，使用計算得到的位移響應(yīng)信號功率譜密度反演得到加載在節(jié)點4處隨機激勵的功率譜密度。在進行載荷識別時應(yīng)盡量避開共振頻率，系統(tǒng)阻尼假設(shè)為比例阻尼，比例阻尼系數(shù)分別為a＝0.002，b＝0.0035。

取彈性模量E和質(zhì)量密度ρ為不確定性量，使用區(qū)間參數(shù)EI和ρI描述，即有區(qū)間向量h＝［EI，ρI］，其中A＝1×10－4m2，L＝1m，E和ρ的中值取E ＝2.1×1011Pa，ρ＝7.8×103kg／m3。當區(qū)間向量h＝［EI，ρI］的區(qū)間變差為5%時，分別使用1號節(jié)點x方向的位移響應(yīng)信號、2號節(jié)點y方向的位移響應(yīng)信號和3號節(jié)點y方向的位移響應(yīng)信號來進行隨機載荷識別，結(jié)果如圖3～圖5所示。

圖3～圖5分別給出了區(qū)間向量h＝［EI，ρI］在相同區(qū)間變差下，不同位移響應(yīng)信號時隨機載荷識別結(jié)果的上下界值。可以看出，在不同節(jié)點位移響應(yīng)信號下，載荷名義值都能落在識別結(jié)果的區(qū)間界值中，并且由表1可知，不同識別結(jié)果的區(qū)間半徑都相差很小。該識別方法基于仿真模型的響應(yīng)數(shù)據(jù)測量，在不考慮測量噪聲的基礎(chǔ)上，對節(jié)點選擇的依賴性較小。若基于實測信號進行載荷識別，則應(yīng)將測點布置在載荷作用點附近，并且各測點之間不宜有太大的相關(guān)性。

圖1 平面10桿桁架Fig.1 10-bars truss structure

圖2 節(jié)點4處施加的隨機激勵力的自功率譜Fig.2 Power spectral density of random excitation force of node 4

表1 不同情況下載荷識別結(jié)果區(qū)間半徑（×10－3（kg·m）2·s－3）Tab.1 Interval radii of load identification results in different cases

圖3 依據(jù)1號節(jié)點x方向位移的識別結(jié)果Fig.3 Identification results using horizontal displacement responses of node 1

圖4 依據(jù)2號節(jié)點y方向位移的識別結(jié)果Fig.4 Identification results using vertical displacement responses of node 2

圖5 依據(jù)3號節(jié)點y方向位移的識別結(jié)果Fig.5 Identification results using vertical displacement responses of node 3

圖6 不確定性量在不同變差時的載荷識別結(jié)果Fig.6 Results of the uncertainty of the uncertainties in different variations

考慮區(qū)間向量h＝［EI，ρI］的區(qū)間變差分別為2.5%，5%，7.5%和10%時，使用2號節(jié)點y 方向的位移響應(yīng)信號進行載荷識別。可以看出，當使用相同的位移響應(yīng)信號進行載荷識別時，受到不確定性量區(qū)間變差的影響，載荷識別界值將隨著不確定性量變差范圍的增大而增大。其中，在相同區(qū)間變差下，低頻段識別結(jié)果的區(qū)間半徑要大于高頻段的區(qū)間半徑，這主要是由于系統(tǒng)的共振點在低頻段，并且阻尼系數(shù)引起的誤差累積在共振點附近的低頻段得到放大，而遠離共振頻率的高頻段受阻尼的影響更小，識別結(jié)果更好。

5.2 機翼結(jié)構(gòu)

建立如圖7所示的機翼結(jié)構(gòu)有限元模型，其中材料的彈性模量為E，質(zhì)量密度為ρ，約束機翼一端。在節(jié)點P處z方向施加一隨機激勵，隨機激勵的功率譜密度為馮-卡門譜［16］：

式中 L＝0.01，σ2j＝500，50≤ω≤1000，采用測量得到的節(jié)點M處z方向的位移響應(yīng)信號進行載荷識別，反演節(jié)點P處施加隨機激勵的功率譜密度。

機翼結(jié)構(gòu)參數(shù)中的彈性模量E和質(zhì)量密度ρ為不確定性量，使用區(qū)間參數(shù)EI和ρI進行描述，即可將結(jié)構(gòu)中的不確定性量表示為區(qū)間向量h＝［EI，ρI］，其中E 和ρ的中值分別取為E ＝2.1×1011Pa，ρ＝7.8×103kg／m3。當區(qū)間向量h＝［EI，ρI］的區(qū)間變差分別為2.5%，5%，7.5%和10%時，采用測量得到的節(jié)點M處z方向的位移響應(yīng)信號的功率譜密度來進行識別，得到加載點P處隨機激勵的功率譜密度的上下界值。其中，使用MSC Nastran計算M處測量的z方向位移響應(yīng)信號和頻響函數(shù)矩陣信息。

圖7 機翼結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.7 Finite element model of wing structure

表2 機翼結(jié)構(gòu)模型前十階固有頻率Tab.2 Frequency of the first ten steps of the wing structure model

圖8 不確定性量在不同變差時的載荷識別結(jié)果Fig.8 Results of the uncertainty of the uncertainties in different variations

表2給出了機翼結(jié)構(gòu)的前十階固有頻率，圖8給出了區(qū)間向量h＝［EI，ρI］在不同區(qū)間變差下的識別結(jié)果?？梢钥闯?，載荷名義值都能落在識別結(jié)果的區(qū)間界值中，區(qū)間向量變差越大，得到的識別結(jié)果區(qū)間界值越寬。系統(tǒng)激勵頻率為50≤ω≤1000，不包含機翼結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)基頻。其中，在相同區(qū)間變差下，低頻段低階固有頻率附近的識別結(jié)果較差，這是由于系統(tǒng)的共振點在第二階固有頻率處，由阻尼系數(shù)引起的誤差累積在共振點所在的低頻段得到放大。隨著固有頻率階次的增加，其識別效果越好，這是由于隨著固有頻率階次的增加，系統(tǒng)激勵頻率遠離共振頻率，阻尼對識別精度的影響也越來越小。

6 結(jié) 論

針對貧信息下不確定性結(jié)構(gòu)的隨機載荷識別問題，在頻域中，將結(jié)構(gòu)體系中的不確定性參數(shù)用區(qū)間變量描述。使用基于Taylor展開的區(qū)間分析方法處理結(jié)構(gòu)體系中的不確定因素，給出了一種不確定性結(jié)構(gòu)平穩(wěn)隨機載荷識別的非概率區(qū)間方法。數(shù)值算例結(jié)果表明，在進行載荷識別時，受不確定性量的影響，不確定性量確定的區(qū)間范圍越大，識別出的區(qū)間界值越寬。本文方法可為在貧信息下不確定性環(huán)境中的結(jié)構(gòu)設(shè)計提供更為可靠的載荷工況。