□ 方蘇云

一、聚焦問題：十年前后“倍的認識”教學現(xiàn)象與困惑

（一）遇見的“倍的認識”的教學現(xiàn)象

筆者在區(qū)級公開教研活動中多次聽“倍的認識”一課，教師的教學流程大致可概括成兩類。

第一類：基于人教版現(xiàn)用教材的主題素材展開

探索新知素材來自現(xiàn)用的人教版教材的情境圖：胡蘿卜2根，紅蘿卜6根，白蘿卜10根，通過逐步討論三者間的幾倍關系，初步理解“倍”的意義；通過改變物體數(shù)量來加深理解“倍”的意義。

第二類：基于人教版實驗教材的主題素材展開

探索新知素材來自人教版實驗教材的情境圖：兩種相同或不同物體比較，感受2個4是4的2倍，初步理解“倍”的意義，然后增加幾倍數(shù)的份數(shù)，或減少一倍數(shù)的個數(shù)來進一步理解“倍”的意義。

筆者十年前用人教版實驗教材上的“倍的認識”的教學流程。

筆者將教材的4個2改成3個2進行初步感知倍，然后進入多倍和1倍的理解，運用線段圖等找“幾倍”，隨機滲透“幾倍多幾或少幾”，最后延伸到倍的應用。

（二）對比十年前后“倍的認識”教學及困惑

面對上述十年前后的課堂教學流程的極其“相似性”，筆者困惑了。

1.十年前后課堂學習材料的來源基本來自“教師”，是否可以改變

十年前后的課堂教學中絕大部分學習材料來自“教師”的事先預設，只在“多倍”理解中有少數(shù)材料來自“學生”。十年前后材料的情境外衣發(fā)生了變化，但實質是“幾個多少”，即“多少的幾倍”，那么我們是否可將這個“干貨”回歸到更簡單質樸的數(shù)學情境中，讓學生參與“創(chuàng)造”知識的過程，在創(chuàng)造知識的過程中又創(chuàng)造學習材料，讓學習真實發(fā)生。

2.十年前后學習方式依然不變，能否可以轉變

十年前后的“倍的認識”學習方式基本不變：都是在教師的啟發(fā)下理解“幾個多少”就是“多少的幾倍”。在新一輪課程改革中，我們能否尊重學生的思維差異，創(chuàng)設“生生互動、生生互利”的學習環(huán)境，讓學生獲得更大的自由表達和展示機會，讓不同的學生都有任務可做，發(fā)生真正意義上的“自主學習、探究學習”，在充分動手操作中積累基本活動經(jīng)驗，提升學生的學習能力。

二、聚焦教材變遷：十年之前和十年之內(nèi)的變與不變

帶著困惑，揣著思辨，筆者又一次翻閱對比了十年前后的教材，以人教版教材為例。

（一）從教材的編排對比中看不變

【十年前教材】

【十年后教材】

從上述對比中可看出，“倍的認識”依然包括“倍的概念”“求一個數(shù)的幾倍是多少”和“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”，在概念學習后進行解決問題的教學；倍概念教材都呈現(xiàn)三個量，一個量為“標準量”，其余兩個量與“標準量”進行比較，從“幾個多少”引出“多少的幾倍”；在解決問題中教材都呈現(xiàn)示意圖和線段圖來幫助學生理解題意和探求方法的策略。

（二）從教材的編排對比中看變化

上表中可以清晰地看到，教材內(nèi)容由比較零散到相對集中；形式由擺一擺的具體形象到圈一圈的更為抽象；策略由階段性的過渡到系統(tǒng)性的逐步提升。倍的教學后移，同時集中教學關于“倍”的數(shù)學問題，教學更富邏輯性與結構性。

三、聚焦教學變遷：十年之前和十年之后重構的變與不變

面對上述教材變遷，十年后筆者再次實踐“倍的認識”，在重構教學過程中思辨其中的“變與不變”。

（一）課堂教學依然不變的

1.學習支撐點的不變

綜觀“倍的認識”一課教材編排的位置，可以說學生學習“倍的認識”的支撐點不變。二、三年級的學生在過去數(shù)學學習中積累了很多數(shù)一數(shù)、比一比、圈一圈、畫一畫等活動經(jīng)驗，基本具有觀察、比較、操作的能力。

“倍的認識”學習支撐點

2.教學內(nèi)容基本不變

從教材的“變與不變”中，我們可以得到啟發(fā)，本節(jié)課教學中依然借助“幾個幾”與“倍”的融會貫通，突出“倍”的本質——兩個量的比較關系，強化概念辨析，深入意義理解。

（二）重構教學過程的變化

1.教學思路的變化

“倍的認識”教學后移，學生在乘除法的學習過程中，已有了“一份數(shù)”與“幾份數(shù)”的經(jīng)驗積累及擺一擺、畫一畫的動手能力。更有一些學生已認識“倍”的含義，因此在十年后的教學重構中以此為切入點，能打開另一種教學思路。

【十年前教學思路】

【十年后教學思路】

從思路對比中可看出，十年后所設想的更注重學生動手操作實踐的經(jīng)驗積累，充分利用圖例“兩次”來直觀理解“2倍”，并建立“2倍”模型，同時延伸至簡單乘除法的解決問題；再從“2倍”過渡到“多倍”，通過變式加深理解“標準量”的重要性；最后由“一題”拓展到“一類”強化理解倍的本質——兩個量的比較關系，使知識結構化；再延伸至“倍數(shù)與因數(shù)”，使知識關聯(lián)化，解題策略模型化。

2.學習材料的變化

一份好的學習材料是組織學生體驗概念形成過程的重要載體。在十年前后實踐中筆者所采用的學習材料的來源發(fā)生了變化。

【十年前的教學材料】

第一環(huán)節(jié)：初步認知倍的學習素材

第二環(huán)節(jié)：再次認知倍的學習素材

第三環(huán)節(jié)：鞏固深化理解運用的學習材料

【十年后的教學素材】

第一環(huán)節(jié)：初步認識倍的學習素材

第二環(huán)節(jié)：表征內(nèi)化倍的學習素材

第三環(huán)節(jié)：鞏固深化倍的學習素材

從十年前后所呈現(xiàn)學習材料的對比中清晰地看出，十年前的教學材料絕大部分是教師“給的”，而十年后所用學習材料基本來自學生，尤其是新知探究學習過程中幾乎所有的學習素材都由學生創(chuàng)作提供，教師選擇學習材料的范圍大大增加，也給教師調控的能力帶來了極大的挑戰(zhàn)！教師要快速參與學生間的學習，選擇合適的學習材料促進學生對“倍”內(nèi)涵的理解。而學生可根據(jù)自己的學習能力獲得不同的學習體會和收獲，有了更大的學習時空和創(chuàng)新機會，充分體現(xiàn)了學生的主體地位。

3.學習方式的變化

“倍”的概念對三年級學生來說還是比較抽象，有必要在實踐操作中調動多種感官參與“創(chuàng)造”知識的過程。

【十年前的教與學方式】

【十年后的教與學方式】

二、三年級學生是以具體形象思維為主，他們對抽象概念本質的領悟，都必須以足夠的直觀材料和充分的實踐經(jīng)驗為基礎。對比上面表格及材料，我們不難發(fā)現(xiàn)，十年前給二年級學生上“倍的認識”時，只有在“再識倍”這個環(huán)節(jié)中放手讓學生操作“擺一擺”多倍。除此以外的教學過程都是由教師“扶”著學生感知理解“倍的意義”，生生互動較少。而十年后在三年級學生學習“倍”時，整節(jié)課學生都處在“數(shù)一數(shù)、擺一擺、畫一畫，再畫一畫、做一做、分一分”的學習中，教師在重點、難點處介入學習，師生、生生互動比較多，學習方式呈現(xiàn)任務驅動化，讓不同的學生在完成任務過程中有不同的體悟。

4.拓展演繹的變化

與十年前相比，筆者設置的練習更是在“創(chuàng)造”性的“做”中鞏固新知，發(fā)展學生的學習能力。

【十年前的拓展方向】

在上面兩幅圖中找倍數(shù)關系，根據(jù)學生回答的情況來確定是否拓展“幾倍多幾”（少幾）”；根據(jù)課堂剩余時間的多少來確定拓展的量，如剩余時間多則拓展下面的解決問題，再延伸出線段圖的解題策略。

【十年后的拓展方向】

利用“一行”圓，涂出“幾倍”，延伸至總量中“部分量”間的比較，豐富倍的內(nèi)涵；且答案多元，讓學生進一步感受“標準量”的重要性，不同的學生積累不同的活動經(jīng)驗。讓學生體驗到有序思考的思想及解題策略。

在前一題的影響下，學生在做左圖時會進行有序思考，在追問中教師整理△的個數(shù)如右圖，學生體會到△既可以是標準量，也可以是比較量，再次內(nèi)化“標準量”的聚焦地位，從這“一題”演繹成“一類”題，再次突破“倍”的本質。最后，通過分類“△少于○的，△與○相同的，△大于○的”，深刻體會“△與○相同”1倍關系的特殊性；從而滲透“因數(shù)和倍數(shù)”的概念，理解6的因數(shù)是有限的、6的倍數(shù)是無限的等相關知識，以探尋概念之間關聯(lián)性的思維路徑。

四、思考提升：“倍”概念教學的一般策略

回顧十年“磨”一課的經(jīng)歷，筆者通過聚焦教材、教學的變與不變，也覓得了“倍”概念教學策略的變與不變。

（一）“倍”概念教學的不變策略

1.將“倍”的概念置于現(xiàn)實背景中去感悟和理解

數(shù)學概念是抽象的、嚴謹?shù)?、系統(tǒng)的，要給學生提供動態(tài)的、豐富的、全面的感知材料，去充實學生的感性材料。

2.“倍”概念的建構需要經(jīng)歷多次反復

建構主義教學觀認為，概念的建構需要經(jīng)過多次反復，經(jīng)歷“建構—解構—重構”的過程。

3.注重“倍”概念的鞏固運用

概念教學一般應遵循“從生活中來—抽象成數(shù)學模型—到生活中去”的過程，強調從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，尋找“倍”概念的縱向或橫向聯(lián)系，形成概念系統(tǒng)，使教材中的數(shù)學知識轉化成為學生頭腦中的認識結構。

（二）“倍”概念教學的重構實現(xiàn)學習策略的轉變

1.學習材料從“教師提供”走向學生的“創(chuàng)作”

在教學中教師習慣性地給學生提供一些豐富的素材，幫助學生理解概念內(nèi)涵。但我們可以看到十年前教師給學生提供的學習材料（見圖1），十年后學生也能創(chuàng)作出類似的素材（見圖2），提供給全班學習，并且能結合自己的動手操作經(jīng)驗進行解釋，感知“2倍”就是這樣的“2份”。

圖1

圖2

2.學習方式從“指令操作”走向“問題引領，任務驅動”

十年前的“倍”通過動畫的演示、動態(tài)的呈現(xiàn)，注重理解“（）是（）的幾倍”，強調誰與誰比，是碎片化指令性極強的學習方式。十年后，筆者嘗試用“你覺得2倍關系是怎樣的？”“你覺得2倍關系可以怎么表示呢？嘗試著擺一擺、畫一畫。”“你要研究幾倍，打算怎么畫？”隨著這三個大問題的展開，以“2倍”為起點與突破口，建立“2倍”模型，再走向“多倍”的理解，很自然地讓學生在任務驅動下逐步感知、深入理解概念的內(nèi)涵，把握“倍”概念的本質。