□ 陳小霞

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師通常會通過許多表征方式進(jìn)行教學(xué)活動。數(shù)線作為學(xué)習(xí)“數(shù)”的重要材料，經(jīng)常出現(xiàn)在學(xué)習(xí)整數(shù)、分?jǐn)?shù)以及小數(shù)等內(nèi)容中。在三年級下冊“小數(shù)的初步認(rèn)識”的學(xué)習(xí)中，教材大量運用了數(shù)線這一表征方式幫助學(xué)生理解小數(shù)的意義，在教材配套的練習(xí)冊中也經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)數(shù)線的練習(xí)。學(xué)生在三下已經(jīng)學(xué)過“小數(shù)的初步認(rèn)識”，經(jīng)歷過期末復(fù)習(xí)和期末檢測的學(xué)生，那么他們對“數(shù)線上標(biāo)小數(shù)”這一知識點的理解達(dá)到了什么程度？為了解學(xué)生的真實掌握情況，筆者設(shè)計了相應(yīng)的后測題，對學(xué)生進(jìn)行了測查。

一、后測題

二、測查的對象及過程

筆者選擇兩個班級的學(xué)生作為樣本，共計60人。這些學(xué)生在三年級下冊的最后一個單元學(xué)習(xí)了“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”和“小數(shù)的初步認(rèn)識”，并且已經(jīng)完成了期末復(fù)習(xí)和期末檢測。學(xué)生在期末試卷上考到了“數(shù)線上標(biāo)小數(shù)”的問題，但在測查前教師并沒有對期末試卷上的相關(guān)問題進(jìn)行講解。教師以班級為單位測試上面的題目，不提供任何幫助，也沒有規(guī)定時間，學(xué)生認(rèn)為已經(jīng)完成就上交測試卷，如果認(rèn)為自己不能解決該問題，也可以上交。

三、測查的結(jié)果及分析

通過對測查結(jié)果的統(tǒng)計和分析，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于①號方框和②號方框的解答情況基本一致，所以在下面的水平層次討論中，我們把兩個方框的情況一起進(jìn)行分析。根據(jù)答案是否正確，想法是怎樣的，我們把學(xué)生的回答分成以下5個水平層次。

水平層次具體指標(biāo)百分比水平0 10.0%水平1 6.7%人數(shù) 2 4 2水平2 3.3%水平3 8 7 1 9 31.7%90.0%水平4答案不正確，無視參考點的存在，直接將一小格當(dāng)作1答案不正確，直接將一小格當(dāng)作0.1，但數(shù)的方法有誤答案正確，直接將一小格當(dāng)作0.1，整數(shù)幾過去幾小格就是幾點幾答案正確，先考慮區(qū)間，然后直接將一小格當(dāng)作0.1，整數(shù)幾過去幾小格就是幾點幾答案正確，能從進(jìn)率或十等分的角度思考46.7%11.7%

水平0與水平1：答案錯誤，占10.0%。水平0的兩個學(xué)生（如圖1）無視題目中給定的參考點1、2，覺得0的后面相繼應(yīng)該是1、2、3……所以①號方框里填2，②號方框里填12。這樣的錯誤在前測中出現(xiàn)得較多。

圖1

水平1的四個學(xué)生（如圖2）在數(shù)的方法上存在錯誤，他們將0所對的分隔線當(dāng)作0.1，①號方框箭頭所指的分隔線是0.3；將1所對的分隔線當(dāng)作1.1，②號方框箭頭所指的分隔線是1.3。這樣的錯誤在前測中也大量存在。

圖2

水平2～4答案正確，占了90.0%。正確率高是否說明學(xué)生理解了“數(shù)線上標(biāo)小數(shù)”的實際意義？從對具體想法的統(tǒng)計中，我們發(fā)現(xiàn)并不是如此。水平2的46.7%的學(xué)生認(rèn)為0或1后面幾格就是零點幾或一點幾（如圖3）；水平3的11.7%的學(xué)生先考慮箭頭所指的位置處于哪兩個整數(shù)之間（如圖4），再按照水平2的方式進(jìn)行思考。從中可以看出，這些學(xué)生并不清楚0.1的意義，但也能成功地給出正確答案。

圖3

圖4

只有水平4的31.7%的學(xué)生能夠從相鄰兩個計數(shù)單位間的進(jìn)率或十等分的角度解決問題（如圖5～圖7）。

圖5

圖6

圖7

四、測查的結(jié)論與建議

（一）結(jié)論

本次測查單從結(jié)果上看，正確率高達(dá)90%，但分析學(xué)生的想法，只有31.7%的學(xué)生能從相鄰兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率或十等分的角度思考，說明學(xué)生對于在“數(shù)線上標(biāo)小數(shù)”的實際能力不容樂觀。常犯的錯誤有三種：（1）忽略數(shù)線所給定的參考點，直接將一小格當(dāng)作1；（2）數(shù)格子的方法錯誤；（3）直接將一小格當(dāng)作0.1。其中第三種錯誤最普遍，水平1～3共65%的學(xué)生犯了這個錯誤。

從問卷中學(xué)生的想法和對部分錯誤學(xué)生的訪談中得知，錯誤的學(xué)生缺少解決數(shù)線問題前先尋找整體“1”和確定將整體“1”幾等分的意識。當(dāng)建議部分學(xué)生先找出整體“1”時，又發(fā)現(xiàn)他們對在數(shù)線上找整體“1”存在困難。

（二）建議

根據(jù)以上結(jié)論，對教學(xué)有以下四點建議。

1.培養(yǎng)學(xué)生找整體“1”的意識

從學(xué)生的想法中可以看出，水平0～3的學(xué)生在解決問題時，沒有去分析問題中的整體“1”是什么以及將“1”平均分成幾份。在分?jǐn)?shù)的教學(xué)中，比較強(qiáng)調(diào)把整體“1”進(jìn)行平均分，分母表示“1”平均分成的份數(shù)，分子表示這樣的幾份。因為教學(xué)中強(qiáng)調(diào)，所以學(xué)生在進(jìn)行分?jǐn)?shù)的相關(guān)練習(xí)時能自覺地關(guān)注每個問題的整體“1”。在小數(shù)的學(xué)習(xí)中，由于大多數(shù)教材是在分?jǐn)?shù)與小數(shù)的聯(lián)系中引入小數(shù)的，學(xué)生在理解小數(shù)時，只關(guān)注與分?jǐn)?shù)的對應(yīng)，而小數(shù)的整體“1”往往被忽視。尤其是學(xué)到帶小數(shù)的時候，整體“1”更容易被忽視。

建議教學(xué)中教師在加強(qiáng)小數(shù)與分?jǐn)?shù)聯(lián)系的同時，讓學(xué)生借助多元情境，經(jīng)歷直接描述小數(shù)產(chǎn)生的過程，即“將（）平均分成10份、100份……表示這樣（）份的數(shù)就是零點幾或零點零幾……”在語言描述中讓學(xué)生感受到小數(shù)的整體“1”和分?jǐn)?shù)的整體“1”同等重要，從而形成自動化的意識，即解釋小數(shù)意義時先思考該小數(shù)的整體“1”是什么。聯(lián)系到數(shù)線問題，在解決問題時第一步應(yīng)先思考“把（）進(jìn)行平均分”。

2.凸顯十等分的本質(zhì)

在小數(shù)的符號中，整體“1”被等分成多少等份是隱含在數(shù)位中的，占多少份由小數(shù)點后的部分顯示。當(dāng)整體“1”被分成10的冪次方等份時，才能用小數(shù)表示。從測查中了解到，學(xué)生很難想到小數(shù)符號和10的冪次方等分的關(guān)系。這與學(xué)生在學(xué)習(xí)“小數(shù)的初步認(rèn)識”時所接觸到的問題情境有關(guān)。以人教版教材為例，在“小數(shù)的初步認(rèn)識”的學(xué)習(xí)中，教材呈現(xiàn)的都是十等分的例子：米與分米、元與角、面積形式的十格圖、將整體“1”均分成10份的數(shù)線圖等。這樣的情境，學(xué)生即使不懂一位小數(shù)的意義，也知道0.2就是涂2格，0.5表示數(shù)線中的5小格……所謂“熟悉的地方?jīng)]風(fēng)景”，十等分的情境無形中干擾了學(xué)生對小數(shù)本質(zhì)的關(guān)注與把握。再加上教師在教學(xué)上不斷強(qiáng)調(diào)的對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生只關(guān)注到表示幾份，而忽略了整體“1”被平均分成幾份。

建議教師在使用教材中列舉的十等分的素材后，引導(dǎo)學(xué)生對所有的素材進(jìn)行對比，從而發(fā)現(xiàn)使用的素材不同，但都表示把整體“1”平均分成10份、100份……表示其中的若干份，促使學(xué)生從對個別具體量的感知躍升為對一類現(xiàn)象的感知。在此基礎(chǔ)上增加一些非十等分的問題。如類似圖8的判斷題，讓學(xué)生在判斷和說理中明晰十等分的重要性?；蝾愃茍D9的不是等分成10份的數(shù)線，在錯誤答案0.2和正確答案0.4的辯論說理中再一次聚焦十等分。

圖8

圖9

3.重視表征間的過渡

經(jīng)歷了建議1和建議2的教學(xué)后，學(xué)生可能對于數(shù)線的理解還存在難度。因為之前所接觸的線段模型（如圖10）和面積模型（如圖11），都是把整條線段或整個圖形看作整體“1”，小數(shù)表示的是線段中的一小段或圖形中的一小塊。

圖10

圖11

而數(shù)線上除了0和1這兩個數(shù)，還有2、3、4等數(shù)的存在，這給學(xué)生如何確立整體“1”帶來了困惑。另外，數(shù)線上的小數(shù)表示兩種意思：一是表示數(shù)與數(shù)線上的點之間的一一對應(yīng)，如①號方框所指的點對應(yīng)的數(shù)是0.1；二是一個數(shù)與一段有向線段的對應(yīng)，如0所對應(yīng)的點到①號方框所對應(yīng)的點之間的這一段是0.1。學(xué)生之前接觸的線段模型和面積模型對表示的第一種意思沒有經(jīng)驗積累，對表示的第二種意思有經(jīng)驗積累，但因為數(shù)線問題中并沒有標(biāo)出有向線段，學(xué)生遷移起來有困難。

建議教師在教學(xué)時放慢從其他模型過渡到數(shù)線模型的過程，重視表征間的過渡。教師可以進(jìn)行如下嘗試：課件出示一根米尺，讓學(xué)生用這根米尺量一量彩帶的長度（長1.2米）。學(xué)生通常會想到兩種方法，一是把超過1米的零頭單獨量，二是在原來米尺的后面再增加一根米尺。量出彩帶后讓學(xué)生繼續(xù)思考，如果彩帶超過2米，怎么辦？超過3米呢？課件將4根米尺漸變成數(shù)線，并介紹：數(shù)線上的0、1、2、3、4……都是以前學(xué)過的數(shù)，叫自然數(shù)。接著課件演示將數(shù)線上每一段都平均分成10份的過程，讓學(xué)生填一填0過去的第一個點用小數(shù)表示是多少，并對意義進(jìn)行追問，即0到1之間被平均分成10份，0.1表示0到這里（教師手指數(shù)線上0.1的刻度）的長度，這個點就可用0.1表示。接下去的教學(xué)逐步從一份過渡到幾份、從純小數(shù)過渡到帶小數(shù)。這樣的教學(xué)可以幫助學(xué)生順利地從線段模型過渡到數(shù)線模型。

4.指導(dǎo)數(shù)格子的方法

經(jīng)歷以上三個建議的教學(xué)，學(xué)生還有可能像水平1顯示的那樣數(shù)錯格子。其實這樣的錯誤并不是第一次出現(xiàn)，學(xué)生在一年級上冊解決如圖12的問題時，會錯將鋼筆數(shù)成7格長，將活動鉛筆數(shù)成8格長。

圖12

一年級下冊解決如圖13的“紙片有多長”的問題時，會錯將紙片數(shù)成4厘米長。

圖13

在“方向與位置”單元，描述如圖14的4路公交車路線時，會將“4路公交車從光明路向東行駛2站到商場”錯數(shù)成“行駛3站到商場”。

圖14

各個年級都會出現(xiàn)類似的錯誤，說明教師對此類錯誤不夠重視，也說明對于學(xué)生來說此類錯誤根深蒂固。如何杜絕此類錯誤的發(fā)生？筆者覺得落實數(shù)線上的小數(shù)表示的兩種意思是根本，除此之外可借助邊畫弧線數(shù)格子的方法來突破。如果采用數(shù)分隔線的方法，則強(qiáng)調(diào)起點不數(shù)。