□王 露 郜舒竹

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，是一種必然而且普遍的現(xiàn)象。教師面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤，如果采用憤怒與指責(zé)的消極態(tài)度，顯然無益于教學(xué)與教育。反過來采用積極的寬容態(tài)度，針對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤開展研究，有效地診斷錯(cuò)誤原因，由此了解學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律，有效地應(yīng)用學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)當(dāng)成為教學(xué)質(zhì)量提升的有效途徑。

一、“越長越大”的錯(cuò)誤

在不同位數(shù)小數(shù)大小的比較中，學(xué)生普遍地會(huì)出現(xiàn)“越長越大”的錯(cuò)誤，即“小數(shù)的位數(shù)越多，看起來越長，小數(shù)的值就越大”，簡稱“越長越大”。如在比較小數(shù)12.178和12.2的大小時(shí)，學(xué)生會(huì)認(rèn)為“12.178＞12.2，因?yàn)?2.178比12.2的位數(shù)多，看起來更長”。

國內(nèi)外的已有研究發(fā)現(xiàn)，不同國家、不同年齡的學(xué)生在學(xué)習(xí)小數(shù)的大小比較時(shí)都會(huì)出現(xiàn)此類錯(cuò)誤。美國教育心理學(xué)家勞倫雷斯尼克（Resnick）對(duì)美國的五年級(jí)學(xué)生、以色列的六年級(jí)學(xué)生和法國的四、五兩個(gè)年級(jí)的共113名學(xué)生進(jìn)行了小數(shù)比較大小的測試。研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生出現(xiàn)“越長越大”的錯(cuò)誤率分別為35%、19%、41%、18%；[1]墨爾本大學(xué)凱文·莫洛尼（Kevin Moloney）教授的研究發(fā)現(xiàn)，澳大利亞一所學(xué)校42%的四年級(jí)學(xué)生和19%的五年級(jí)學(xué)生也會(huì)出現(xiàn)此類錯(cuò)誤；[2]在國內(nèi)，臺(tái)灣學(xué)者阮麗蓉和曹雅玲在研究四、五年級(jí)臺(tái)北小學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)時(shí)的迷思概念時(shí)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生出現(xiàn)“越長越大”的錯(cuò)誤率分別為26%和13%等。[3]可以看出，“越長越大”的錯(cuò)誤具有普遍性，因此，我們需要進(jìn)一步知道為何學(xué)生在小數(shù)大小比較時(shí)會(huì)如此普遍地出現(xiàn)這種錯(cuò)誤？它又是如何形成的？

以色列教授斯塔維（Stavy）和蒂羅什（Tirosh）等人經(jīng)過測試和研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題時(shí)會(huì)遵循一種直覺上的規(guī)律，即學(xué)生會(huì)依據(jù)與題目不相關(guān)的某些明顯的外在特征和生活經(jīng)驗(yàn)來解題，卻沒有看到題目的本質(zhì)，斯塔維（Stavy）等人稱這些規(guī)律為“直覺規(guī)律”，“越A-越B（MoreA-MoreB）”就是其中的一種。

二、直覺規(guī)律

“越A-越B（MoreA-MoreB）”直覺規(guī)律是當(dāng)兩個(gè)系統(tǒng)或者物體在A量上有明顯的不同，表示為A1＞A2，要求學(xué)生去比較另一個(gè)B量的大小時(shí)，會(huì)受到A量的影響而做出B1＞B2的錯(cuò)誤判斷。斯塔維（Stavy）教授對(duì)二、四、六年級(jí)的學(xué)生做了角的大小比較的測試，如圖1所示。兩個(gè)角的大小相同，邊長（A量）表現(xiàn)為∠β兩邊的邊長長于∠α兩邊的邊長，讓學(xué)生判斷哪一個(gè)角（B量）更大時(shí)，87%、88%、38%的二、四、六年級(jí)學(xué)生的回答是“∠β＞∠α，因?yàn)椤夕聝蛇叺倪呴L更長，所以∠β＞∠α”。[4]很明顯，這是受“越A-越B（MoreA-MoreB）”直覺規(guī)律的影響導(dǎo)致的錯(cuò)誤。同樣地，學(xué)生在比較小數(shù)大?。˙量）時(shí)受到具有明顯差異的小數(shù)位數(shù)（A量）的影響，認(rèn)為“小數(shù)的位數(shù)越多越長，小數(shù)的值越大”，這個(gè)錯(cuò)誤也是受“越A-越B（MoreA-MoreB）”直覺規(guī)律的影響產(chǎn)生的?？梢钥闯?，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)受到“越A-越B（MoreA-MoreB）”直覺規(guī)律的影響而出現(xiàn)各種錯(cuò)誤。因此，為了減少錯(cuò)誤的發(fā)生，我們需要知道它是如何形成并影響學(xué)生學(xué)習(xí)的。

圖1角的大小比較

斯塔維（Stavy）教授認(rèn)為，直覺規(guī)律是對(duì)成功經(jīng)驗(yàn)的過度概括，[5]即人們把某些特定的情況下獲得的一些類似的成功經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行過度的概括，形成了一種直覺理解和規(guī)律，習(xí)慣性地應(yīng)用在所有與之相類似的情況中。如學(xué)生將以前“越長越大”“越多越大”或“越大越大”等這一系列類似的成功經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行過度總結(jié)和概括，最終形成了直覺上的“越A-越B（MoreA-MoreB）”規(guī)律，并廣泛地應(yīng)用在生活和學(xué)習(xí)中。本文中“越長越大”的錯(cuò)誤是受“越A-越B（MoreA-MoreB）”直覺規(guī)律的影響產(chǎn)生的，而“越A-越B（MoreA-MoreB）”直覺規(guī)律又形成于“越長越大”的一些成功經(jīng)驗(yàn)，那么學(xué)生在比較不同位數(shù)小數(shù)大小時(shí)所用的“越A-越B（MoreA-MoreB）”直覺規(guī)律是基于哪些“越長越大”的成功經(jīng)驗(yàn)形成的呢？

三、直覺的來源

“越長越大”的錯(cuò)誤反映的是數(shù)量的多少與數(shù)的大小之間的關(guān)系。從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)來看，這種關(guān)系在生活中也可以表現(xiàn)為物體的大小與物體所包含的數(shù)量之間的關(guān)系，而反映這種關(guān)系的“越長越大”的正確經(jīng)驗(yàn)有許多，如學(xué)生知道同一種公交車，越長的越大，里面可以坐更多的人；同一種文具盒，越長的越大，里面可以放更多的文具等等。

從知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來看，反映上述關(guān)系的正確經(jīng)驗(yàn)也有許多，如學(xué)生在一年級(jí)學(xué)習(xí)20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)及大小比較時(shí)，能夠通過插圖直觀地看出某個(gè)物體的長度越長，表示這種物體的個(gè)數(shù)就越多，所代表的數(shù)字也越大，即“越長越大”。若讓學(xué)生比較圖2所示的兩排三角形中哪一排的三角形代表的數(shù)字更大時(shí)，學(xué)生不用數(shù)三角形的個(gè)數(shù)就可以直觀地看出是第一排的三角形，因?yàn)榈谝慌湃切蔚拈L度比第二排長，所包含的三角形的個(gè)數(shù)也就越多，那么它所代表的數(shù)字也越大。學(xué)生在一、二年級(jí)學(xué)習(xí)整數(shù)的大小比較時(shí)，根據(jù)整數(shù)大小的比較規(guī)則形成了“位數(shù)越多越長，數(shù)值越大”的認(rèn)知，即“越長越大”的經(jīng)驗(yàn)；學(xué)生在二年級(jí)學(xué)習(xí)了“認(rèn)識(shí)時(shí)間”這一內(nèi)容后便會(huì)知道，分針走過的小格越多，表示走過的距離越長，走過的時(shí)間越長，那么表示所走過的時(shí)間的數(shù)值也越大，即“越長越大”，如分針從1走到2，表示5分鐘，從1走到6，表示30分鐘等等。

圖2三角形數(shù)量的比較

以上這些“越長越大”的生活和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)都是正確的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生將這些正確經(jīng)驗(yàn)過度概括并作為一種直覺上的規(guī)律——“越A-越B（MoreAMoreB）”直覺規(guī)律，習(xí)慣性地應(yīng)用在生活和學(xué)習(xí)中，導(dǎo)致各種錯(cuò)誤的產(chǎn)生。

四、運(yùn)用直覺進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)

從以上“越A-越B（MoreA-MoreB）”直覺規(guī)律的形成過程來看，直覺規(guī)律的形成是在許多成功經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上慢慢地過度概括而形成的，所以，學(xué)生因直覺規(guī)律的影響而出現(xiàn)的錯(cuò)誤不會(huì)輕易消失。因此，我們可以根據(jù)直覺規(guī)律的功能，將直覺規(guī)律應(yīng)用在教學(xué)中，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)活動(dòng)，以減少錯(cuò)誤的發(fā)生。

以色列學(xué)者斯塔維（Stavy）教授提出，直覺規(guī)律有強(qiáng)大的預(yù)測功能，可以預(yù)測學(xué)生在學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤。[6]因此，教師可以通過直覺規(guī)律，在認(rèn)識(shí)了學(xué)生做題時(shí)的思考過程的基礎(chǔ)上，預(yù)測學(xué)生在做相類似的題目時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，如根據(jù)小數(shù)比較中“越長越大”的錯(cuò)誤，教師可以大膽地預(yù)測學(xué)生在學(xué)習(xí)與比較小數(shù)大小相類似的知識(shí)，如分?jǐn)?shù)、代數(shù)式、負(fù)數(shù)等的大小比較時(shí)可能也會(huì)出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤，并根據(jù)預(yù)測有針對(duì)性地設(shè)計(jì)相關(guān)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，在活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和自主探究能力等，同時(shí)減少錯(cuò)誤的發(fā)生。

斯塔維（Stavy）教授等人根據(jù)直覺規(guī)律的預(yù)測作用，提出了“沖突教學(xué)法”，[7]即給學(xué)生呈現(xiàn)兩道在本質(zhì)上相似的題目，分別引出學(xué)生錯(cuò)誤和正確的答案，并引發(fā)他們對(duì)不同的結(jié)果產(chǎn)生認(rèn)知上的沖突，最后讓學(xué)生自己探索其中的原因并達(dá)到正確的認(rèn)識(shí)，弱化直覺規(guī)律對(duì)他們的影響。

教師在教學(xué)中可以借鑒“沖突教學(xué)法”設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生在認(rèn)知上產(chǎn)生“沖突”，并能夠通過一系列學(xué)習(xí)活動(dòng)認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤的原因，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。如在學(xué)習(xí)小數(shù)大小的比較時(shí)，教師可以這樣設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)：首先設(shè)計(jì)兩組題目，其中一組是不同位數(shù)的小數(shù)大小比較，使學(xué)生在解題時(shí)受“越A-越B（MoreA-MoreB）”直覺規(guī)律的影響出現(xiàn)錯(cuò)誤，如：3.60○3.6，5.783○5.92，8.308○8.38；另外一組是相同位數(shù)的小數(shù)大小比較，讓學(xué)生不受直覺規(guī)律的影響并得出正確的結(jié)論，如：3.60○3.60，5.783○5.920，8.308○8.380。然后通過這兩組題的對(duì)比讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知上的沖突，最后讓學(xué)生在自主的探索與交流中認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)更加深入的理解。