姚 怡，李帥芳，許 威

(同濟大學 數(shù)學科學學院，上海 200092)

本文在Merton跳擴散模型下，提出了基于柳樹結(jié)構(gòu)的定價亞式期權(quán)的方法.柳樹法[10]最初通過構(gòu)造離散的馬爾科夫過程來刻畫幾何布朗運動對歐式期權(quán)定價.圖1展示了一個柳樹結(jié)構(gòu)的簡單例子.該柳樹結(jié)構(gòu)從初始時刻0到T，有5個離散時刻，從第2個時刻起，每個時刻有5個可能的資產(chǎn)價格節(jié)點.圖1為柳樹結(jié)構(gòu)示意圖，在實際應用中每一時刻上的資產(chǎn)價格數(shù)可以根據(jù)模型具體情況任意指定，通常節(jié)點個數(shù)設(shè)為30～50就能夠在期權(quán)定價問題上保證較高的精度.柳樹結(jié)構(gòu)的優(yōu)點是每個時刻上的資產(chǎn)價格數(shù)是常數(shù)，因此，隨著時間步數(shù)的增加，柳樹上節(jié)點的總個數(shù)是線性增長的，而不是二叉樹中的平方增長，提高了數(shù)值方法的效率.

圖1 包含5個時刻、5個資產(chǎn)價格節(jié)點的柳樹結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Graphical depiction of the willow tree lattice with 5 space nodes and 5 time nodes

在Merton跳擴散模型下，本文提出的柳樹構(gòu)造主要分為兩部分：首先在計算對數(shù)資產(chǎn)價格四階矩的基礎(chǔ)上，通過Johnson曲線，將服從標準正態(tài)分布的離散節(jié)點轉(zhuǎn)換成服從跳擴散模型的價格節(jié)點，得到了資產(chǎn)價格的估計；然后根據(jù)跳擴散模型下資產(chǎn)價格滿足的條件概率，推導出每兩個相鄰時刻間的轉(zhuǎn)移概率公式，并對轉(zhuǎn)移概率做了修正，從而保證資產(chǎn)價格滿足鞅的性質(zhì)，同時提高定價精度.在亞式期權(quán)定價過程中，平均價格依賴于價格變化的路徑.不同于文獻[11]中將所有精確的算術(shù)平均價格全部計算出來，本文預先計算出每個時刻平均價格的最大值和最小值，在此區(qū)間內(nèi)通過等差數(shù)列選取給定個數(shù)的平均價格，而對于沒有取到的平均價格節(jié)點，通過線性插值即可對其進行定價，以起到減少計算量的作用，從而解決了亞式期權(quán)定價中的路徑依賴問題.另外，本文分析了柳樹法的截斷誤差和插值誤差，證明了柳樹法的收斂性.最后，本文針對不同參數(shù)下的亞式期權(quán)進行了數(shù)值實驗，并將柳樹法結(jié)果與蒙特卡洛方法進行比較，數(shù)值結(jié)果顯示柳樹法與蒙特卡洛方法有相同的計算精度.由于柳樹法存儲的平均價格節(jié)點個數(shù)遠少于實際的平均價格路徑，從而使得運行時間大大減少.

1 跳擴散模型下亞式期權(quán)的柳樹法定價

在Merton跳擴散模型下，假設(shè)標的資產(chǎn)價格St滿足：

(1)

下文通過構(gòu)造在Merton跳擴散模型下的柳樹結(jié)構(gòu)描述資產(chǎn)價格變化的隨機過程.構(gòu)造柳樹結(jié)構(gòu)包括兩部分：資產(chǎn)價格的估計和轉(zhuǎn)移概率的計算.

1.1 資產(chǎn)價格估計

在Merton跳擴散模型下，基于方程(1)，令X=ln(St/S0)，則時刻t的資產(chǎn)價格St即為St=S0·eX，且滿足

根據(jù)Ballotta和Kyriakou[12]的推導，可以得到X的期望μ，方差υ，偏度κ3和峰度κ4分別為

(2)

本文在Merton跳擴散模型下，利用Johnson曲線轉(zhuǎn)換公式的逆變換，將一個標準正態(tài)分布的隨機變量轉(zhuǎn)換成一個滿足式(2)中X的四階矩的隨機變量，從而估計資產(chǎn)價格的分布.

Johnson提出的方法[13]可以將任意連續(xù)隨機變量X轉(zhuǎn)換成正態(tài)分布的隨機變量Z.其主要原理是通過計算已知變量的四階矩，然后代入統(tǒng)一的公式中估計該變量的離散值.該模型可以靈活地匹配任意變量的期望、方差、偏度和峰度，并且根據(jù)偏度和峰度便可唯一確定模型中所需函數(shù)的具體類型.Johnson曲線公式如下：

基于Hill提出的算法[14]，參數(shù)a、b、c、d和函數(shù)g(·)的類型都可以根據(jù)對應隨機變量的四階矩求得.而根據(jù)Johnson曲線的逆變換，則可以將一個標準正態(tài)分布的隨機變量Z轉(zhuǎn)換成給定的分布X，即

(3)

由此，可以利用Johnson曲線的逆變換，得到基于Merton跳擴散模型(1)的資產(chǎn)價格柳樹.該算法總結(jié)如下：對于一個標的資產(chǎn)，給定其初始價格S0，將時間區(qū)間[0,T]劃分為N個時間步數(shù)，在每個時刻t有m個可能的資產(chǎn)價格，表示為St，且滿足公式(1).時刻t的m個離散值可通過以下步驟得到：

步驟1 定義資產(chǎn)回報X=ln(St/S0)，通過式(2)計算X的期望、方差、偏度和峰度.

1.2 轉(zhuǎn)移概率計算

在獲得資產(chǎn)價格的估計后，本節(jié)構(gòu)造轉(zhuǎn)移概率矩陣來刻畫資產(chǎn)價格的變化.假設(shè)時刻t的資產(chǎn)價格St已知，則在時刻t+Δt，給定lnSt下的lnSt+Δt的概率密度函數(shù)為

μd=lnSt+(r-ρ-λk-0.5σ2)Δt+dαJ

則對應的累積分布函數(shù)為

PJ(lnSt+Δt≤A|lnSt)=

其中，N(·)是標準正態(tài)分布的累積分布函數(shù).

i=1,2,…,m,j=1,2,…,m

由此，x的表達式如下：

完成以上修正后，即可得到t到t+Δt時刻的轉(zhuǎn)移概率矩陣.

通過資產(chǎn)價格的估計和轉(zhuǎn)移概率的計算，構(gòu)造了一棵完整的跳擴散模型下的柳樹.

1.3 定價跳擴散模型下亞式期權(quán)的柳樹法

對于平均價格路徑較多的問題，本文利用插值技術(shù)減少計算量，推導亞式期權(quán)定價過程，解決了路徑依賴問題.

定義歐式亞式期權(quán)的價值為關(guān)于S、A和t的函數(shù)，即Vc=Vc(S,A,t)，則在跳擴散模型下Vc滿足下列積分-微分方程：

(4)

并且存在如下遞推公式：

(5)

假設(shè)時刻tn，每個價格節(jié)點處有ka個平均價格，取等差數(shù)列得到

(6)

(7)

(8)

i=1,2,…,m,k=1,2,…,ka

2 誤差分析

2.1 柳樹法的截斷誤差

在[tn,tn+1]時間內(nèi)，由于平均價格A不變，亞式期權(quán)價格V滿足如下微分方程：

(9)

式中：y服從對數(shù)正態(tài)分布；g(y)是y的概率密度函數(shù).令X=lnS，η=lny，則dy=eηdη，式(9)作變量代換變?yōu)?/p>

(10)

使用柳樹法定價時，在tn時刻，亞式期權(quán)的價格可以由倒推公式求得，即

(11)

定理1假設(shè)資產(chǎn)價格S滿足Merton跳擴散模型，由柳樹法定價公式(11)計算的期權(quán)價值與方程(10)的真實解之間的全局截斷誤差為O(Δt)+O(E[η5])，即全局截斷誤差的大小取決于跳擴散中資產(chǎn)價格S的跳躍幅度lny的五階矩.

證明 在Merton跳擴散模型下，時間區(qū)間[tn,tn+1]內(nèi)下式成立：

(r-σ2/2-λκ+λαJ)Δt

(r-σ2/2-λκ+λαJ)4Δt4

(12)

(13)

將式(12)、(13)代入式(11)中，簡化之后可以得到

(14)

(15)

(16)

因此，將式(15)代入式(14)得

2.2 柳樹法的插值誤差

在柳樹法中，用線性插值所得期權(quán)價值為

(17)

所以

(18)

其中：N=T/Δt.若令ka=C·N，C為常數(shù)，則‖E0‖I≤O(Δt).因此，柳樹法的整體誤差為O(Δt)+O(E[η5])，即整體誤差的大小取決于跳擴散中資產(chǎn)價格S的跳躍幅度lny的五階矩.

3 Merton跳擴散模型下亞式期權(quán)定價的數(shù)值實驗

對不同參數(shù)的亞式期權(quán)進行分析，比較柳樹法與蒙特卡洛方法的數(shù)值結(jié)果.所有數(shù)值實驗的程序均在操作系統(tǒng)為64位Windows 7旗艦版的計算機上運行，內(nèi)存為4 GB，處理器為Intel(R) Core(TM) i5-5200U CPU@2.20GHz，使用的軟件版本為Matlab R2016a.

實驗中，柳樹法中資產(chǎn)價格節(jié)點個數(shù)m=50，平均價格個數(shù)ka=0.6N，離散時間步數(shù)N為初始時刻距離到期日的天數(shù)，蒙特卡洛方法的模擬路徑數(shù)為2×104.實驗比較了不同參數(shù)σ、αJ、σJ、λ以及不同到期日T情況下柳樹法和蒙特卡洛方法的表現(xiàn).

首先，固定跳擴散歐式亞式看漲期權(quán)的初始價格S0=100，敲定價格K=100，利率r=0.05，跳擴散的頻率λ=1，到期日T為90 d.然后選取了不同的波動率σ，Merton跳擴散運動的期望αJ，標準差σJ.從表1可以看出，柳樹法的定價結(jié)果均落在蒙特卡洛模擬的99%置信區(qū)間內(nèi)，說明了柳樹法定價期權(quán)的精確性.從計算時間上看，在給定資產(chǎn)價格節(jié)點個數(shù)m和時間節(jié)點個數(shù)N時，其他參數(shù)的變化并沒有影響柳樹法的計算時間，跳擴散模型的變化對其計算時間影響很小.但是，柳樹法的計算時間則遠遠小于蒙特卡洛方法.

表1不同σ、αJ、σJ下，柳樹法和蒙特卡洛法定價Merton跳擴散亞式期權(quán)的結(jié)果
Tab.1ResultsofwillowtreemethodandMonteCarlomothedatdifferentσ,αJandσJvalues

σαJσJ期權(quán)價值/元時間/s柳樹法99%置信區(qū)間下界上界柳樹法蒙特卡洛法0.20-0.02-0.05-0.100.052.716 72.581 12.720 11.413.20.102.855 52.761 12.910 81.312.70.153.020 92.881 33.048 61.313.10.203.208 63.089 93.299 41.412.80.052.761 62.659 02.798 31.312.70.102.890 92.763 12.900 11.413.30.153.050 42.992 43.160 31.412.30.203.230 23.122 53.317 31.412.80.052.905 52.786 72.930 61.313.30.103.007 22.884 93.032 21.313.20.153.135 93.010 83.169 81.412.50.203.292 13.180 33.359 51.413.50.25-0.02-0.05-0.100.053.280 13.176 73.347 91.413.30.103.400 03.280 63.463 31.413.70.153.569 73.393 53.590 31.412.10.203.755 03.576 43.805 81.312.80.053.320 83.198 33.373 01.312.70.103.431 03.303 93.482 01.413.30.153.578 93.455 93.651 21.312.90.203.758 83.612 93.830 71.312.80.053.442 83.297 73.475 61.313.50.103.527 03.351 03.530 31.313.20.153.564 93.410 93.598 61.412.80.203.815 53.631 93.841 31.413.60.30-0.02-0.05-0.100.053.849 73.679 63.884 81.513.20.103.960 83.754 03.964 31.513.70.154.109 23.982 14.212 91.513.10.204.276 04.153 44.407 51.412.90.053.886 03.708 33.912 31.413.70.103.920 63.733 53.943 51.413.50.154.121 34.016 34.244 11.412.90.204.297 34.101 34.348 01.413.80.053.991 63.848 24.058 41.413.90.104.077 13.895 74.109 41.313.70.154.194 24.041 34.261 71.513.80.204.341 84.157 44.392 81.514.2

接下來，討論跳擴散模型下跳躍的頻率λ對數(shù)值結(jié)果的影響.令λ=1.5和λ=2.0，在固定σ=0.2,S=100,K=100,T=90 d的情況下，分別考慮不同取值的αJ與σJ，結(jié)果如表2所示.表2的結(jié)果表明，用柳樹法定價的結(jié)果完全落在了蒙特卡洛模擬的99%置信區(qū)間內(nèi)，λ的變化并不會影響柳樹法定價跳擴散模型下亞式期權(quán)的準確性.

表2不同λ下柳樹法和蒙特卡洛法定價Merton跳擴散亞式期權(quán)的結(jié)果
Tab.2ResultsofwillowtreemethodandMonteCarlomothedatdifferentλvalues

σαJσJ期權(quán)價值/元時間/s柳樹法99%置信區(qū)間下界上界柳樹法蒙特卡洛法1.5-0.02-0.05-0.100.052.751 82.624 02.763 61.513.20.102.957 82.841 92.998 41.512.70.153.213 63.102 33.291 41.513.10.203.516 93.412 83.646 51.512.80.052.813 72.688 42.849 91.612.70.103.005 62.952 93.105 21.613.30.153.250 83.108 93.288 21.512.30.203.508 73.357 23.572 81.512.80.053.037 02.971 63.122 51.613.30.103.181 13.144 33.301 61.513.20.153.398 43.259 03.417 91.512.50.203.598 73.515 93.719 11.513.52.0-0.02-0.05-0.100.052.785 62.660 52.803 81.513.30.103.058 92.975 23.140 41.413.70.153.404 13.237 03.437 31.512.10.203.802 73.626 43.883 41.412.80.052.874 92.770 92.916 11.412.70.103.129 52.991 03.151 91.413.30.153.444 63.347 63.541 11.312.90.203.793 43.668 73.908 41.412.80.053.174 13.104 23.260 71.413.50.103.342 73.206 53.367 31.413.20.153.578 93.502 73.682 61.512.80.203.899 13.798 04.012 31.413.6

另外，當S0=100時，考慮不同敲定價格對亞式期權(quán)定價的影響.針對敲定價格K=90,K=95,K=100和K=105的情形，選取了一組σ、λ、αJ、σJ，分別為λ=1，σ=0.2，αJ=-0.02，σJ=0.05.將對應的期權(quán)定價結(jié)果和計算時間列于表3.結(jié)果說明，敲定價格K的變化不影響柳樹法定價亞式期權(quán)的表現(xiàn).定價結(jié)果均落在蒙特卡洛模擬的99%置信區(qū)間內(nèi)，而且計算時間也明顯少于蒙特卡洛方法.

最后，考慮期權(quán)到期日時間的不同對柳樹法定價的影響.以上的數(shù)值實驗都基于期權(quán)的到期日為90 d，表4給出了到期日為180 d和365 d的實驗結(jié)果.結(jié)果表明，到期日T的變化不影響柳樹法定價亞式期權(quán)的表現(xiàn).定價結(jié)果均包含在蒙特卡洛模擬的99%置信區(qū)間內(nèi)，而且計算時間也明顯少于蒙特卡洛方法.因此，數(shù)值實驗表明了柳樹法在定價跳擴散模型下的亞式期權(quán)具有更明顯的優(yōu)勢.

表3不同K下，柳樹法和蒙特卡洛法定價Merton跳擴散亞式期權(quán)的結(jié)果
Tab.3ResultsofwillowtreemethodandMonteCarlomothedatdifferentKvalues

K期權(quán)價值/元時間/s柳樹法99%置信區(qū)間下界上界柳樹法蒙特卡洛法9010.571 210.482 510.694 41.313.5956.096 25.970 56.159 21.314.11002.716 72.581 12.720 11.413.21050.877 40.810 60.889 01.313.8

表4 不同到期日下，柳樹法和蒙特卡洛法定價Merton跳擴散亞式期權(quán)的結(jié)果Tab.4 Results of willow tree method and Monte Carlo mothed at different T values

4 總結(jié)

亞式期權(quán)作為目前金融市場上較活躍的新型期權(quán)之一，由于其路徑依賴關(guān)系，定價公式求解復雜，因此亞式期權(quán)的定價問題一直受到眾多研究學者的關(guān)注.本文基于Merton的跳擴散模型，運用柳樹法對亞式看漲期權(quán)進行了定價研究.首先，本文介紹了柳樹的構(gòu)造過程，主要分為兩步：一是利用Johnson曲線轉(zhuǎn)換公式的逆變換，通過計算隨機變量的四階矩，將一個標準正態(tài)分布的隨機變量轉(zhuǎn)換成一個服從跳擴散過程的連續(xù)隨機變量，得到標的資產(chǎn)價格的估計；二是根據(jù)跳擴散模型滿足的條件概率函數(shù)，推導出了相鄰兩個時間節(jié)點間的轉(zhuǎn)移概率矩陣，計算得到相鄰時刻間的轉(zhuǎn)移概率.在亞式期權(quán)定價過程中，引入了插值技術(shù)解決平均價格路徑較多的問題，僅存儲了一定數(shù)量的平均價格節(jié)點，大大減少了計算時間，并給出了一種計算復雜度為O(N2)的柳樹法.另外，本文還對該算法的截斷誤差和插值誤差分別進行了誤差分析，證明了柳樹法的整體誤差為O(Δt)+O(E[η5]).最后，本文用柳樹法定價Merton跳擴散模型下亞式期權(quán)的結(jié)果與蒙特卡洛方法比較，數(shù)值實驗的結(jié)果表明，柳樹法不僅能達到蒙特卡洛方法的計算精度，而且在運行時間上明顯少于蒙特卡洛方法，從而說明了柳樹法在亞式期權(quán)定價中的優(yōu)勢.本文中研究的Merton跳擴散模型只是Levy過程中的一種，除此之外的Levy過程[15]還有Kou提出的雙指數(shù)跳擴散模型，NIG模型和VG模型等，較之Merton跳擴散模型，這些過程的條件概率的密度函數(shù)不存在顯示的表達式，將柳樹法推廣到這些模型，是我們未來的研究方向之一.