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        函數(shù)的奇偶性在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

        2019-01-07 01:36:28王月娉
        關(guān)鍵詞:奇偶性運(yùn)用函數(shù)

        王月娉

        [摘???要]奇偶性是函數(shù)的一個(gè)很重要的性質(zhì).在解數(shù)學(xué)題時(shí),如果能夠準(zhǔn)確運(yùn)用函數(shù)的奇偶性,很多問(wèn)題都能迎刃而解.研究利用函數(shù)奇偶性解決問(wèn)題的方法,對(duì)提高學(xué)生解題能力有很大的幫助.

        [關(guān)鍵詞]函數(shù);奇偶性;運(yùn)用

        [中圖分類號(hào)]????G633.6????????[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]????A????????[文章編號(hào)]????1674-6058(2019)35-0019-02

        奇偶性是函數(shù)的一個(gè)很重要的性質(zhì).利用函數(shù)的奇偶性解題的方法,課本沒(méi)有專門的介紹,學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)有一定的難度.學(xué)生雖然掌握了判斷函數(shù)奇偶性的方法,但是利用函數(shù)的奇偶性解題時(shí)仍會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.因此有必要進(jìn)一步研究其性質(zhì)的運(yùn)用.

        函數(shù)的奇偶性有很多重要的結(jié)論.比如:

        (1)一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)或者偶函數(shù),其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;如果一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,那么它是非奇非偶函數(shù).

        (2)若奇函數(shù)[f(x)]在[x=0]處有定義,則必有[f(0)=0]?.

        (3)若函數(shù)[f(x)]是奇函數(shù),則[f(x)max+f(x)min=0]?.

        (4)奇函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖像關(guān)于[y]軸對(duì)稱.反之也成立.

        (5)奇函數(shù)在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同;偶函數(shù)在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反.

        下面通過(guò)具體實(shí)例來(lái)介紹函數(shù)的奇偶性在解題中的運(yùn)用.

        【類型一】正確把握定義

        函數(shù)具有奇偶性,它的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.所以在解題時(shí)一定要把握好這一知識(shí)點(diǎn).

        [例1]已知[f(x)=ax2+bx]是定義在[[a-1?,2a]]上的偶函數(shù),那么[a+b=]().

        A.?[-13] B.?[13] C.?[12] D.?[-12]

        解:?依題意可知,區(qū)間[[a-1?,2a]]是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的,則[(a-1)+2a=0],?所以[a=13]?.

        又函數(shù)[f(x)]是偶函數(shù),所以[f(-x)=f(x)],即[ax2-bx=ax2+bx]對(duì)定義區(qū)間上的任意[x]恒成立,所以[b=0],所以[a+b=13]?.

        【類型二】求函數(shù)解析式

        求函數(shù)的解析式的方法很多,如果涉及奇偶性,我們一定要抓住“對(duì)稱”這一特點(diǎn).

        [例2]已知函數(shù)[f(x)]是定義在[R]上的奇函數(shù),且當(dāng)[x>0]時(shí),?[f(x)=x2-x],則函數(shù)[f(x)]?的解析式是?????????????.

        解:因?yàn)楹瘮?shù)[f(x)]是定義在[R]上的奇函數(shù),所以[f(0)=0].

        當(dāng)[x<0]時(shí),[-x>0],

        所以[f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x].

        又[f(-x)=-f(x)],所以[f(x)=-f(-x)=-x2-x].

        綜上可得??[f(x)=x2-x?,?x>00??,???????x=0-x2-x,x<0]??.

        【類型三】函數(shù)求值

        求函數(shù)值題型,方法眾多.如果題目給出函數(shù)的奇偶性,那么我們就要充分利用它的性質(zhì)解題.這樣我們就可以避免復(fù)雜的運(yùn)算,達(dá)到快速解題的目的.

        [例3]已知函數(shù)[f(x)]是定義在[R]上的奇函數(shù),當(dāng)[x<0]時(shí),[f(x)=2x3+x2],則[f(2)=]?????????????????????.

        解法一:由題設(shè)可知,對(duì)任意[x∈R],有[f(-x)=]?[-f(x)],即[f(x)=-f(-x)],所以[f(2)=-f(-2)=12]?.

        解法二:當(dāng)[x>0]時(shí),[-x<0],則[f(-x)=2(-x)3+]???[(-x)2=-2x3+x2].

        又[f(-x)=-f(x)],所以?[f(x)=-f(-x)=2x3-x2],

        即當(dāng)[x>0]時(shí),?[f(x)=2x3-x2],所以??[f(2)=12]?.

        [例4]已知[y=f(x)]?是奇函數(shù),當(dāng)[x<0]時(shí),[f(x)=x2+ax],且[f(3)=6],則[a]的值為().

        A.?[5]B.?[1]C.?[-1]D.?[-3]

        解法一:因?yàn)閇y=f(x)]是奇函數(shù),且[f(3)=6],所以[f(-3)=-6],則[9-3a=-6],解得[a=5],??選A?.

        解法二:當(dāng)[x>0]時(shí),[-x<0],則[f(-x)=x2-ax]?,又?[f(-x)=-f(x)],

        所以[f(x)=-f(-x)=-x2+ax],

        即當(dāng)[x>0]時(shí),?[f(x)=-x2+ax],

        由?[f(3)=6]得[-9+3a=6],??解得[a=5],??選A?.

        【類型四】圖像的應(yīng)用

        函數(shù)的圖像能夠直觀地體現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì).因此,解題時(shí)如果依據(jù)題設(shè)條件作出它的簡(jiǎn)圖,借助圖像尋求解題思路,或者直接得到答案,能夠收到事半功倍的效果.

        [例5]若定義在[R]上的奇函數(shù)[f(x)]在[(0?,?+∞)]上為增函數(shù),且[f12=0].則滿足[f(x)>0]的[x]的集合為 ??????????????.

        解:作出簡(jiǎn)圖,如圖1所示依題意[f(0)=0],?[f-12=0],且

        [f(x)]在[(-∞?,?0)]上也為增函數(shù),

        所以滿足[f(x)>0]的[x]的集合為

        [x-1212]?.

        著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說(shuō):“數(shù)學(xué)是一個(gè)原則,無(wú)數(shù)內(nèi)容,一種方法,到處可用.”這就意味著教師在教學(xué)過(guò)程中,要引導(dǎo)學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容、意義和方法,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,要從多角度進(jìn)行分析,認(rèn)真探究,總結(jié)規(guī)律并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法,準(zhǔn)確運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)論,這樣才能提高他們的解題能力.

        (責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān))

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