孫新兵

（閩江學(xué)院 科研處，福建 福州 350108）

群體決策廣泛應(yīng)用于社會選擇、文體競技、金融管理以及項目評審等領(lǐng)域.Arrow關(guān)于偏愛公理和不可能性定理的發(fā)表為群體決策的偏愛分析奠定了基本理論基礎(chǔ)[1].此后，以偏愛分析為主的關(guān)于群體決策的理論研究引起學(xué)者們的重視和興趣，并開展了較為深入的探討[2-6].目前大部分方案對偏愛值的刻劃比較粗糙，本文提出了一種新的規(guī)則：α-偏差比較規(guī)則.該規(guī)則可以通過調(diào)節(jié) 來調(diào)節(jié)群體滿意的偏愛，體現(xiàn)了很強的靈活性和應(yīng)用性，并且該規(guī)則滿足4個偏差公理；同時根據(jù)該規(guī)則構(gòu)造出一種排序方法α-偏差法，并將其用于科研項目評審中.

1 群體決策的α-偏差比較規(guī)則

設(shè)X是供選方案集 (X中的方案數(shù)不少于2個)，DMr(r=1,…,l,l≥2)是第 r個決策者，DMr在 X 上的偏愛、嚴(yán)格偏愛及淡漠分別為Rr，Pr和Ir,(Pr,Ir)和Rr互相生成.設(shè)決策群體為G={DM1,…,DMl}，G在X上的偏愛、嚴(yán)格偏愛及淡漠為R、P 和 I，（P，I）和 R 互相生成.

定義1.1設(shè)θr為一個偏差度泛函在DMr在X×X上，則 G 在 X 上的一個偏差度截面即為泛函組:θ1,…,θl，記做(θ1,…,θl).

定義1.2稱是分案對(x,y)關(guān)于偏差度截面(θ1,…,θl)X的偏差數(shù).

對于供選方案集 X={x1,…,xs}(s≥2)，令 m=max{θ(xi,xj),i,j=1,…,s}.

定義1.3設(shè)Rr是DMr在X上的偏愛，R是G在X上的偏愛，(P,I)和R互相生成.u,x,y∈X,其中u為基準(zhǔn)方案，θ(x,y)是方案對(x,y)的偏差度截面(θ1,…,θl)X的偏差數(shù)，α∈(0,l-1].若對任意的x,y∈X，定義：

2 必要條件

定理 2.1(一致性) 設(shè) R=θα(θ1,…,θl),R'=θα(θ'1,…,θ'l)X和(θ'1,…,θ'l)X是 G 在 X 上的兩個偏差度截面，若對?x∈X,?y,z∈X{x}滿足：

則xPy?XP'y.

證明由 θ'r(x,y)≥θr(x,y)r=1,…,l得

若 x≠u，因為 x∈X，?y,z∈X{x},θ'r(y,z)=θr(y,z)r=1,…,l則

故 θ'r(x,u)≥θr(x,u)r=1,…,l，并且其中至少有一為“＞”,則

由 xPy可得 θ(y,u)+m＞α(θ(y,u)+m)，則

即xP'y.

若 x=u，因為 θ'r(x,y)≥θr(x,y),并且其中至少有一為“＞”，r=1,…,l，則

由 xPy 可得 θ(x,u)+m＞α(θ(y,u)+m)，則

即xP'y.

定理 2.2(獨立性) 設(shè) R=θα(θ1,…,θl),R'=θα(θ'1,…,θ'l)，(θ'1…θ'l)X和(θ'1,…,θ'l)X是 G 在 X 上的兩個偏差度截面，集合S?X.若 θr(x,y)=θ'r(x,y)，?x,y∈S,r=1,…,l則 xRy?xR'y.

證明由 θr(x,y)=θ'r(x,y)，?x,y∈S,r=1,…,l可得

則

因為 xRy，所以 θ(x,u)+m≥α(θ(y,u)+m)，則

即xR'y.同理由xR'y可證xRy.

定理2.3(非強加性) 對任意的x,y∈X,x≠y，總存在G在 X 上的一個偏差度截面，使得由生成的

證明記只要對任一 DMr(r=1,…,l)均取(x,y)＞0,α＞1.所以，故

定理 2.4(非獨裁性) 設(shè) R=θα(θ1,…,θl)，m≤(l-1)d，則不存在 t∈{1,2,…,l}，對任意的 x,y∈X，有 xPty?xPy.

證明設(shè) x,y∈X，對某 t∈{1,…,l}有 xPty，則

取 θr(y,u)=d，θr(x,u)=-d,r=1,…,l,r≠t,則 d≤m≤(l-1)d，故

故 yRx，即 -xPy.

3 偏差法及在科研項目評審中的應(yīng)用舉例

步驟如下：

(1)選定參數(shù)α；

(2)在每位決策者對各個科研項目評分的基礎(chǔ)上，進而決定個體偏差度m；

(3)決定基準(zhǔn)方案 xj∈X，由各 DMrr=1,…,l，提供關(guān)于(xi,xj)(xi∈X,i=1,…,s)的個體偏差度 θr(xi,xj)r=1,…,l；

(5)利用定義2.3對各方案進行選優(yōu).

設(shè)有三個科研項目如：x1,x2,x3聘請三位專家對三個科研項目的進行評審.現(xiàn)取α=2.評分如下：

下面根據(jù)α-偏差法進行選優(yōu).

(1)現(xiàn)取 α=2.

(2)θ1(x1,x2)=1,θ1(x1,x3)=-3,θ1(x2,x3)=-4

根據(jù) m=max{θ(xi,xj),i,j=1,…,s}，可以得到 m=12.

(3)現(xiàn)選定x3為基準(zhǔn)方案

即 θ(x3,x3)+m＞α(θ(x1,x3)+m),θ(x1,x3)+m＞α(θ(x2,x3)+m)

由定義1.3可得x3Px1Px2，由此可知最優(yōu)科研項目為x3.