孫惠惠

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)過程中，教師要積極了解學(xué)生真實(shí)的思考情況，注意學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，并將這一實(shí)際情況作為教學(xué)的實(shí)際出發(fā)點(diǎn)，為學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)提供一個(gè)良好的環(huán)境。建構(gòu)的過程不是一蹴而就的，在整個(gè)過程中，需要組織活動(dòng)對學(xué)習(xí)對象進(jìn)行充分了解；需要運(yùn)用確切的詞匯表達(dá)對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的相異看法；需要異中求同與同中求異，通過辨析、溝通、建立聯(lián)系，凸顯本質(zhì)，摒棄非本質(zhì)，形成總體看法，進(jìn)行思考活動(dòng)。

一、善用表征策略，促進(jìn)深度建構(gòu)

學(xué)生的學(xué)習(xí)遵循兩條基本原則：一是知識的發(fā)展序列，二是學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)。教師基于這兩條原則，善用表征策略，了解學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的真實(shí)想法，從中發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)推進(jìn)的介入點(diǎn)，實(shí)施針對性的引導(dǎo)和幫助，是實(shí)現(xiàn)深度建構(gòu)的關(guān)鍵。

1.有序表征知識結(jié)構(gòu)，循序抽象巧建構(gòu)。

兒童的表征能力依賴于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的經(jīng)驗(yàn)積累，表征既是數(shù)學(xué)的一部分，又是理解數(shù)學(xué)的手段。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，遵循知識本體的結(jié)構(gòu)，呈現(xiàn)知識在不同學(xué)習(xí)階段的表征，能幫助學(xué)生借助直觀形象素材，形成有序聯(lián)結(jié)的知識體系。

教學(xué)中，教師分別引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)物、圖形、符號的情境下體驗(yàn)2倍的形成過程（見圖1），要求觀察圖形表征，并用語言表征的形式予以表達(dá)。同時(shí)，教師積極引導(dǎo)學(xué)生對不同的表征進(jìn)行比較，“這些圖中的形狀、個(gè)數(shù)都不一樣，但為什么我們說第二行的個(gè)數(shù)都是第一行的2倍呢？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，不管第一行擺幾個(gè)，只要把它看成一份，第二行擺這樣的兩份，第二行的數(shù)量就是第一行的2倍。

圖1 “2倍”知識形成序列圖

在這一過程中，圖形表征為學(xué)生的表達(dá)提供了直觀模型；符號表征避免了冗長繁瑣的敘述，同時(shí)又彌補(bǔ)和超越了圖形語言的局限性，使思維得以準(zhǔn)確清晰地進(jìn)行；文字表征有利于對數(shù)學(xué)對象的意義與內(nèi)涵進(jìn)行概括和提煉，使學(xué)生能夠在運(yùn)用確切的詞匯表達(dá)對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)看法的過程中，實(shí)現(xiàn)對知識的有效建構(gòu)。

2.分層表征思維水平，因生制宜巧建構(gòu)。

在班級授課制的環(huán)境下，班級中的學(xué)生有不同的學(xué)習(xí)水平，合理運(yùn)用表征能清晰呈現(xiàn)學(xué)生的思維水平差異，有助于教師更好地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，讓每一位學(xué)生在原有學(xué)習(xí)起點(diǎn)上獲得發(fā)展。

某位教師在執(zhí)教《除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法》一課中出示了這樣一道題：“為了參加達(dá)標(biāo)運(yùn)動(dòng)會(huì)，王鵬同學(xué)給自己制定了一個(gè)鍛煉的計(jì)劃：“我計(jì)劃4周跑步22.4千米，平均每周應(yīng)跑多少千米？”學(xué)生列出算式后教師繼續(xù)追問“22.4÷4大約等于多少呢？你覺得可以怎么算？把你想到的方法寫在這張紙上?！睂W(xué)生獨(dú)立思考后呈現(xiàn)幾種典型的思維過程（見圖 2）。

圖2 22.4÷4學(xué)生解答過程圖例

學(xué)生在呈現(xiàn)并交流了計(jì)算22.4÷4的多種表征后，在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對這幾種表征進(jìn)行比較，尋找它們之間的聯(lián)系。學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)方法之間是有聯(lián)系的，比較生1和生2的方法后發(fā)現(xiàn)，都是把小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法來計(jì)算的，計(jì)算的時(shí)候可以先擴(kuò)大10倍也可以先擴(kuò)大1000倍，只要計(jì)算后能縮小相應(yīng)的倍數(shù)都能有效解決問題；比較生3和生4的方法后發(fā)現(xiàn)，用豎式計(jì)算小數(shù)除法的算理就是分步求商再求和的過程，都是先算20÷4，再算 2.4÷4，最后合起來。比較生4和生5的方法后發(fā)現(xiàn)，爭議聚焦在22.4-20的余數(shù)在豎式中應(yīng)該記為24還是2.4，在學(xué)生的原生態(tài)表征中明確地揭示了這個(gè)知識的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，通過討論“這里的24表示什么”學(xué)生理解到這個(gè)小數(shù)點(diǎn)不管點(diǎn)還是不點(diǎn)，2還是在（個(gè)位），4還是在（十分位），它們的數(shù)位沒有變，這里的24還是表示24個(gè)十分之一，所以這里的小數(shù)點(diǎn)通常省略不寫，也就是說這兩種想法其實(shí)是一樣的。

通過暴露學(xué)生不同層次的相異構(gòu)想，并將這些不同水平層次的思維作為資源提供給學(xué)生交流與溝通，不僅使學(xué)生對22.4除以4的算理理解更加透徹，而且更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待問題，發(fā)展學(xué)生的思維能力，實(shí)現(xiàn)了深度建構(gòu)。

二、巧用對比策略，促進(jìn)深度建構(gòu)

對比作為一種數(shù)學(xué)教學(xué)策略，能有效溝通知識的聯(lián)系，挖掘知識的內(nèi)涵，辨析方法的優(yōu)劣，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的效用，從而提升教學(xué)實(shí)效。

1.精細(xì)對比相鄰結(jié)構(gòu)，逐層歸納巧建構(gòu)。

三角形的面積計(jì)算公式有多種推導(dǎo)方法，學(xué)生常用的方法有拼組法和割補(bǔ)法。雖然推導(dǎo)的方式途徑眾多（見圖3），但涉及銳角、鈍角、直角，每類角又有不同的割補(bǔ)和拼組方法，在歸納中往往容易顧此失彼，不能直擊問題本質(zhì)，這個(gè)問題該如何解決呢？一位教師在教學(xué)中采用了問題梳理的方式，通過兩個(gè)問題的連續(xù)追問，幫助學(xué)生逐層分類比較，深刻直擊問題本源。

圖3 三角形面積公式推導(dǎo)示意圖

第一個(gè)問題是觀察銳角三角形的三種推導(dǎo)方法，分析為什么都要除以2？學(xué)生經(jīng)過逐類觀察發(fā)現(xiàn)，方法一：除以2是指面積擴(kuò)大兩倍后再縮小兩倍；方法二：除以2是指割補(bǔ)后，高是原來的一半；方法三：除以2是指割補(bǔ)后底是原來的一半?；貧w具體情境進(jìn)行解讀分析，有助于讓學(xué)生清晰地感知到，雖然都是除以2，但操作過程和方法是不同的，更好地進(jìn)行歸納提煉。

第二個(gè)問題是為什么三角形種類不同，卻都可以用“底×高÷2”的方法來進(jìn)行計(jì)算？學(xué)生通過討論后發(fā)現(xiàn)，不管是什么類型的三角形，如果用方法一，除以2都是指等底等高的平行四邊形面積的一半；如果用方法二，除以2都是指高的一半；如果用方法三，除以2都是指底的一半。

知識的形成過程中會(huì)產(chǎn)生本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征，本質(zhì)特征有時(shí)內(nèi)隱，非本質(zhì)特征通常外顯，學(xué)生認(rèn)識能力不同，其在觀察中的表征能力也不同。教學(xué)中，通過對這些相鄰結(jié)構(gòu)的對比分析，有助于學(xué)生更好地把握知識的本質(zhì)特征，豐富問題解決的視角、優(yōu)化問題解決的方法。

2．多元對比相異構(gòu)想，分類梳理巧建構(gòu)。

學(xué)生的每一個(gè)想法，都是一份不可多得的教學(xué)資源。一年級問題解決中有這樣一道題：“從左邊數(shù)起，小軍排第三個(gè)；從右邊數(shù)起，小強(qiáng)排第六個(gè)，這排隊(duì)伍一共有多少人？”學(xué)生交流后呈現(xiàn)以下三種情況。

排隊(duì)問題學(xué)生算式解法匯總表

三種方法都解決了問題，但從其表征中暴露了他們的思維過程，三位學(xué)生的水平層次不一。解法一的學(xué)生，能用算式解決問題，但問題的結(jié)構(gòu)被理解成“藏起來的部分+看得見的部分”，問題雖然解決了，但是題目中提供的信息“小軍排第三，小強(qiáng)排第六”沒有在算式中體現(xiàn)，這兩個(gè)信息僅作一個(gè)線索，成為了問題分析的基礎(chǔ)。解法二的學(xué)生問題結(jié)構(gòu)意識較為清楚，畫圖分解的結(jié)構(gòu)與問題信息完全匹配，合理利用信息分解圖像，利用分解圖像更清楚地顯示問題結(jié)構(gòu)，數(shù)形結(jié)合得當(dāng)。解法三的學(xué)生，思維靈活邏輯性強(qiáng)，已經(jīng)有了初步的一一對應(yīng)意識和集合意識，運(yùn)用了一個(gè)已知信息和一個(gè)分析過程中得到的信息寫出了算式，方法最為簡單。

在表征和計(jì)算之后，通過對話交流的方式讓思維的每一個(gè)步驟都有相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)方式與之對應(yīng)，可以避免學(xué)生盲目解答和胡亂湊數(shù)情況的產(chǎn)生。通過三種不同表征方式的比較，學(xué)生對于基數(shù)、序數(shù)的知識要點(diǎn)有了更深入的理解，并且能根據(jù)自己的實(shí)際學(xué)習(xí)能力選擇合適的方式表達(dá)自己的數(shù)學(xué)想法，不僅實(shí)現(xiàn)了知識的深度建構(gòu)，并且為同類問題的解決積累了方法和策略，為學(xué)習(xí)力的持續(xù)提升奠定了基礎(chǔ)。